劉 令，王國銘，謝嘉寧

（1.吉林建筑大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)部，長春130118；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長春130012；3.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連116025）

0 引 言

考慮如下初邊值問題：

為方便，引進(jìn)如下符號(hào)：

這里

設(shè)Lr（·）（Ω）表示如下可測函數(shù)空間：

其范數(shù)為

易驗(yàn)證Lr（·）（Ω）是Banach空間［4，6］.由范數(shù)定義有

根據(jù)文獻(xiàn)［4，6］可知

令B1＝max｛B，m1／p｝.定義

則

1 引 理

引理1 函數(shù)E（t）關(guān)于時(shí)間變量t是非增的.

證明：由問題（1）及式（8），對(duì)函數(shù)E（t）求導(dǎo)得

證明：由式（5），（8）有

其中α＝‖▽um‖.易驗(yàn)證h（α）在區(qū)間（0，α1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（α1，＋∞）上單調(diào)遞減且h（α）→－∞，當(dāng)α→＋∞時(shí)，h（α1）＝E1，其中E1，α1的定義如式（6），（7）.由于E（0）＜E1，故存在α2＞α1，使得h（α2）＝E（0）.令α0＝‖▽‖，由式（11）有h（α0）≤E（0）＝h（α2），進(jìn)一步還可證明α0≥α2.

假設(shè)式（9）不成立，即存在t0＞0，使得‖▽um（·，t0）‖＜α2.由于‖▽um（·，t）‖關(guān)于時(shí)間t連續(xù)，故可選取t1＞0，使得‖▽um（·，t1）‖＞α1.進(jìn)一步，根據(jù)函數(shù)h（α）的單調(diào)性，有

這與引理1矛盾.

定義 H（t）＝E1－E（t）.

引理3 對(duì)所有t＞0，均有

證明：由引理1，有H′（t）≥0，即 H（t）≥H（0）＞0，?t≥0.根據(jù)式（8），（11）有

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)r（x）滿足式（2），（3），且如下條件成立：

則問題（1）的解在有限時(shí)刻爆破.

由式（8），（12），有

其中

由式（4），有

由Lr（·）＋m（Ω）?Lm＋1（Ω），有

又根據(jù)式（15）～（17），有

［1］Levine H A.Some Nonexistence and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of the FormPut＝－Au＋F（u）［J］.Arch Rationale Mech Anal，1973，51（5）：371－386.

［2］LIU Wen－jun，WANG Ming－xin.Blow－up of the Solution for a p－Laplacian Equation with Positive Initial Energy［J］.Acta Appl Math，2008，103：141－146.

［3］Dibenedetto E.Degenerate Parabolic Equations［M］.New York：Springer－Verlag，1993.

［4］Ruzicka M.Electrorheological Fluids：Modelling and Mathematical Theory ［M］.Lecture Notes in Math.Vol.1748.Berlin：Springer，2000.

［5］Acerbi E，Mingione G，Seregin G A.Regularity Results for Parabolic Systems Related to a Class of Non－Newtonian Fluids［J］.Annal del’Institut Henri Poincare：Analyse Non－lineaire，2004，21：25－60.

［6］Diening L，Harjulehto P，Hasto P，et al.Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents［M］.Lecture Notes in Math.Vol.2017.Berlin：Springer－Verlag，2011.

［7］Ferreira R，Pablo A，de，Prez－Llanos M，et al.Critical Exponents for a Semilinear Parabolic Equation with Variable Reaction［J］.Proc Roy Soc Edinburgh：Sect A，2012，142（5）：1027－1042.

［8］WU Xiu－lan，GUO Bin，GAO Wen－jie.Blow－up of Solutions for a Semilinear Parabolic Equation Involving Variable Exponent Source and Positive Initial Energy［J］.Appl Math Lett，2013，26（5）：539－543.

［9］YIN Jing－xue，LI Jing，JIN Chun－h(huán)ua.Non－extinction and Critical Exponent for a Polytropic Filtration Equation［J］.Nonlinear Anal：Theory，Methods ＆ Applications，2009，71（1／2）：347－357.

［10］MU Chun－lai，ZENG Rong，CHEN Bo－tao.Blow－up Phenomena for a Doubly Degenerate Equation with Poitive Initial Energy［J］.Nonlinear Anal，2010，72（2）：782－793.