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(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

講清數(shù)學(xué)道理揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)
——提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的教學(xué)策略

●李金興

(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

高三學(xué)生學(xué)得辛苦，但由于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，常常事倍功半，在重復(fù)與茫然的訓(xùn)練中效率不高．因此，教師的指導(dǎo)作用應(yīng)該體現(xiàn)在“講清數(shù)學(xué)道理,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)”上.通過(guò)教師自身或集體研究，幫助學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)背景，從數(shù)學(xué)知識(shí)的根源開始，沿著習(xí)題變式的途徑理清每一類問(wèn)題的來(lái)龍去脈，使得數(shù)學(xué)知識(shí)“拎起來(lái)成一串、撒下去鋪一片”，這樣才能讓學(xué)生舉一反三，實(shí)現(xiàn)教學(xué)輕負(fù)高質(zhì)的目的.

本文就高三復(fù)習(xí)階段如何講道理、揭本質(zhì)例舉幾個(gè)典型問(wèn)題，以期拋磚引玉.

1 新授課講不清的道理，到復(fù)習(xí)課來(lái)講

用斜二測(cè)畫法畫幾何體的直觀圖，操作步驟十分簡(jiǎn)單：畫軸后，使平行于x軸或z軸的線段長(zhǎng)不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)減半．但按上述方法畫的直觀圖是幾何體的“平行投影”嗎？如果是，投影面和投影線方向如何確定呢？如何描述投影線方向？

文獻(xiàn)[1]對(duì)此作了闡述，得到結(jié)果：此時(shí)投影線與投影面成arctan2角．但這一結(jié)果并不能完全確定投影線的方向,可進(jìn)一步作如下探究：

將水平放置的長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖(如圖1)看作一個(gè)平面圖形(投影)，考慮到平面四邊形ABB′A′、平面四邊形DCC′D′與原圖形全等，因此投影面與長(zhǎng)方體側(cè)面ABB′A′平行.特別地，不妨以長(zhǎng)方體側(cè)面DCC′D′所在平面為投影面．

圖1 圖2

圖3

設(shè)M(2,0,0)，則

從而投影線與投影面成arctan2角(文獻(xiàn)[1]的結(jié)論)．同理，設(shè)j=(0,1,0),k=(0,0,1)，可求得

反思斜二測(cè)畫法新授課學(xué)習(xí)時(shí)還沒(méi)有引入空間向量，因此可以在高三復(fù)習(xí)課階段補(bǔ)充該知識(shí).

2 學(xué)生一錯(cuò)再錯(cuò)的道理，將錯(cuò)就錯(cuò)地講

2.1 從反例來(lái)辨別

先仿照此類錯(cuò)誤解法，舉例“對(duì)于函數(shù)y=x2+1(x>0)，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，x2+1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x=1時(shí)，ymin=2”，這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的(明確指出這種解法是錯(cuò)誤的).

2.2 分析反例錯(cuò)因

讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中比較y=x2+1和y=2x的圖像，便知“x2+1≥2x”只說(shuō)明y=x2+1的圖像始終在y=2x圖像的上方，“當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”只說(shuō)明2個(gè)圖像相切于點(diǎn)x=1處，切點(diǎn)并非圖像的最低點(diǎn)(如圖4)，y=2也并非函數(shù)y=x2+1(x>0)的最小值.

圖4 圖5

2.3 反思錯(cuò)解成因

3 解題方法巧妙的道理，辯證透徹地講

數(shù)學(xué)題經(jīng)常能一題多解，除了常規(guī)解法，教師應(yīng)對(duì)“巧思妙解”作辯證分析：有些巧解很難想到，實(shí)用性不強(qiáng)；有些巧解變換情景后可能成為錯(cuò)解，應(yīng)謹(jǐn)慎采用.

3.1 這樣的巧解對(duì)不對(duì)

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

巧解(錯(cuò)解) 兩邊求導(dǎo)，得

-sinα+2cosα=0，

從而

tanα=2.

3.2 為何有這樣的“巧思妙解”

例2已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(a≤0).

(1)若2a+b+1=0，討論函數(shù)的單調(diào)性；

參考答案簡(jiǎn)述如下：

(2)證明取a=-1,b=1，則

f(x)=lnx-x2+x.

當(dāng)k取遍1,2,3,…,n并相加，即得

分析對(duì)于第(2)小題的答案，學(xué)生普遍感到取a=-1,b=1來(lái)構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x2+x，非常巧妙但很難想到.事實(shí)上，若嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明第(2)小題，則由假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立推證n=k+1時(shí)結(jié)論也成立的過(guò)程中，只要證明不等式

即

因此只要證當(dāng)x>1時(shí)，lnx

反思對(duì)于一些難度較大的問(wèn)題，若答案過(guò)于“巧妙”，則學(xué)生容易對(duì)這類問(wèn)題產(chǎn)生“敬畏”之心，不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng).教師應(yīng)該讓“巧解”自然呈現(xiàn)其真面目，讓學(xué)生有信心去創(chuàng)造“巧妙”解法.

4 學(xué)生會(huì)而不全的道理，放大細(xì)致地講

“細(xì)節(jié)決定成敗”很多時(shí)候能解釋學(xué)生“會(huì)而不全”的道理，教師講授時(shí)要將這些細(xì)節(jié)放大后細(xì)致地講.

圖6

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(2t,t)，由點(diǎn)差法易得直線AB方程為

代入橢圓方程,整理得

3x2-12tx+16t2-3=0,

設(shè)f(t)=(3-4t2)(1-t)2，則

f(t)=-4t4+8t3-t2-6t+3，

從而

f′(t)=-16t3+24t2-2t-6.

至此，不少學(xué)生因?yàn)椴荒軐?duì)f′(t)的表達(dá)式進(jìn)一步因式分解，導(dǎo)致解題不全.事實(shí)上，由f(t)=(3-4t2)(1-t2)得

f′(t)= -8t(1-t)2-2(3-4t2)(1-t)=

-2(t-1)(8t2-4t-3),

反思將f(t)=(3-4t2)(1-t)2的表達(dá)式先展開再求導(dǎo)這一細(xì)節(jié)是導(dǎo)致解題失敗的關(guān)鍵因素，教師也可在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)專門對(duì)此進(jìn)行針對(duì)性復(fù)習(xí).

又如2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(一試)第7題：

例4直線x-2y-1=0與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn)，∠ACB=90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

分析聯(lián)立方程，消去x得

y2-8y-4=0，

因此以AB為直徑的圓，其圓心為(9,4)，半徑為

聯(lián)立

即可求得點(diǎn)C坐標(biāo).該方程組消去x，整理得

y4-56y2-128y-48=0.

至此，不少學(xué)生因?yàn)椴粫?huì)解四次方程而無(wú)法完成解題.事實(shí)上，因?yàn)辄c(diǎn)A,B的坐標(biāo)也是方程組的解，所以上述四次方程必有因式y(tǒng)2-8y-4,從而由

y4-56y2-128y-48=

(y2-8y-4)(y2+8y+12)=0,

解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-2)或(9,-6).

反思不能利用“A,B的坐標(biāo)都是方程組的解”這一細(xì)節(jié)是導(dǎo)致解題失敗的關(guān)鍵因素，類似問(wèn)題在高考題中也有出現(xiàn)，教師應(yīng)將這種細(xì)節(jié)放大，培養(yǎng)學(xué)生閱讀題意、挖掘隱含條件的意識(shí).

5 類比探究的道理，深入本質(zhì)地講

從而

即點(diǎn)M與短軸頂點(diǎn)B1,B2的連線的斜率之積為定值.設(shè)MB1,MB2與長(zhǎng)軸分別交于點(diǎn)P,Q，則

因此

xP·xQ=a2，

而這恰恰就是|OP|·|OQ|=a2的數(shù)學(xué)本質(zhì).

即

從而同樣有定值|OP|·|OQ|=b2.

利用坐標(biāo)和線段長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，同樣可研究拋物線相關(guān)問(wèn)題.例如，拋物線y2=2px(p>0)，點(diǎn)A,B,C在拋物線上，BC⊥x軸，AC,AB與x軸交于點(diǎn)D,E，則xD+xE=0，即|OD|=|OE|.

反思典型例題之所以典型在于它反映了數(shù)學(xué)知識(shí)間的一種本質(zhì)聯(lián)系，使解題者能通過(guò)一道習(xí)題的研究掌握一類問(wèn)題的解法，使教師能以此為例清晰地剖析出數(shù)學(xué)知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，不僅在內(nèi)容上還能在方法上有利于進(jìn)一步探究新知.

高中數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的道理遠(yuǎn)不止本文例舉的幾類.通過(guò)教學(xué)，教師向?qū)W生展示各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則、性質(zhì)、結(jié)論，其目的是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其然”；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行推理論證、應(yīng)用推廣是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其所以然”；而向?qū)W生講清數(shù)學(xué)道理、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其所以所以然”.

“數(shù)學(xué)要講推理，更要講道理”，如果在教學(xué)中只講推理不講道理，那么教師教給學(xué)生的僅僅是數(shù)學(xué)解題的方法和技術(shù)，缺乏數(shù)學(xué)思想的滲透，從而難以提高教學(xué)質(zhì)量.

[1] 沈建剛．斜二測(cè)畫法的一次“尋根”之旅[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2010(1/2):26．