楊曉英, 劉 新

(四川信息職業(yè)技術學院 基礎教育部, 四川 廣元 628017)

分塊矩陣的加權Moore-Penrose逆*

楊曉英, 劉 新

(四川信息職業(yè)技術學院 基礎教育部, 四川 廣元 628017)

給出分塊矩陣關于子塊在加權M-P逆意義下的廣義Schur補的加權M-P逆的表示和分塊矩陣加權M-P逆表示的一個充要條件.

分塊矩陣；廣義Schur補；加權M-P逆；正定矩陣

1 概 述

設Cm×n是m×n階復矩陣的集合,Crm×n是秩為r的m×n階復矩陣的集合,A*表示矩陣A的共軛轉置，A+表示矩陣A的M-P逆.

加權廣義逆問題已經引起許多學者的注意，它可應用于數(shù)值計算，統(tǒng)計學，控制系統(tǒng)與分析和鞍點問題等.近年來，許多學者對加權Moore-Penrose逆的表示做了研究[1-4].2006年,張燕等學者給出矩陣加權Moore-Penrose逆存在的一些充分必要條件[2]； 2009年, 國欣榮等得到環(huán)上矩陣存在關于M,N加權Moore-Penrose逆的一個充要條件[3]； 2010年, 劉聲等給出塊對角矩陣的加權廣義逆的表達式[4]； 周立仁利用奇異值分解，給出了矩陣15種加權Penrose型廣義逆的通式與表達式[5]； 章里程等利用加權Moore-Penrose逆的定義和性質， 獲得了2×2、1×2和2×1分塊矩陣關于加權Moore-Penrose逆塊獨立的一些充分必要條件[6,7]； 2012年, 何興月等用環(huán)論的方法, 得到Qu{mtale上矩陣存在加權M-P廣義逆的一些等價刻畫及顯式表達式[8].主要用定義驗證的方法，給出分塊矩陣的加權M-P逆表示的充要條件，并給出廣義Schur補與加權M-P逆子塊的幾個關系式.

首先介紹一些基本的定義.

定義1[9]設A∈Cm×n,M∈Cm×m,N∈Cn×n是Hermite正定矩陣, 如果存在唯一矩陣X∈Cm×n, 滿足下列4個方程：

下面給出廣義Schur補的定義, 以備后面加權廣義逆表示之用.

設矩陣H∈C(m+p)×(n+q), 分塊為：

(1)

其中A∈Cm×n,B∈Cm×q,C∈Cp×n,D∈Cp×q

2 主要結果

下面首先給出分塊矩陣H關于A和D在加權M-P逆意義下的廣義Schur補的表示.

定理2.1 若H具有形如(1)的分塊形式，M1和M2分別是m×m和p×p階的正定矩陣，N1和N1分別是n×n和q×q階的正定矩陣，且滿足：

那么

證明： 由矩陣加權M-P逆的定義容易驗證.

下面給出分塊矩陣加權M-P逆表示的一個充要條件.

(2)

當且僅當

(3)

當且僅當

其中

即：

其中

所以

所以

結合4個等式成立的充要條件是

故式(2)成立.

用同樣的方法可以證明式(3)成立.

3 結 論

首先給出廣義Schur補的表示,然后根據加權M-P逆需滿足的4個等式給出分塊矩陣加權M-P逆表示的一個充要條件.

[1] DRAGANA S, CVETKOVI I. Expression of the Drazin and MP-inverse of partitioned matrix and quotient identity of generalized Schur complement[J].Applied Mathematics and Computation,2009,213：18-24

[2] 張燕,郭鵬江,魯靜華.關于一般矩陣的加權Moore-Penrose逆[J].西南科技大學學報,2006,2l(1)：91-94

[3] 國欣榮,岑建苗.環(huán)上矩陣加權Moore-Penrose 逆存在的條件[J].寧波大學學報：理工版,2009,22(3)： 383-386[4] 劉聲,何淦瞳.分塊對角矩陣的加權廣義逆[J].貴州大學學報：自然科學版,2010,27(4)：19-21

[5] 周立仁.矩陣加權Moore-Penrose 逆的通式[J].青海師范大學學報：自然科學版,2010,2：1-6

[6] 郭華.全轉置正交矩陣[J].重慶工商大學學報：自然科學版,2013,30(1)：18-20

[7] 章里程,廖祖華.分塊矩陣加權Moore-Penrose逆的塊獨立性[J].數(shù)學雜志,2010,30(5)：921-925

[8] 何興月,廖祖華,胡淼涵,等.Quantale矩陣的加權M-P廣義逆[J].四川師范大學學報：自然科學版，2012,35(3)：340-344

[9] 程云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論[M].西安：西北工業(yè)大學出版社,2007

[10] 周立新.分塊廣義冪等矩陣的廣義Schur補的一些性質[J].賀州學院學報,2011,27(2)：129-131

Keywords：block matrix；generalized Schur complement；weighted M-P inverse；positive definite matrix

Weighted Moore-Penrose Inverse of Block Matrix

YANGXiao-ying,LIUXin

(Department of Basic Education,Sichuan Information Vocational College, Sichuan Guangyuan 628017, China)

This paper gives weighted M-P inverse representation of generalized Schur complement under the meaning of weighted M-P inverse about the block of block matrix and presents a sufficient condition for the representation of weighted M-P inverse of block matrix.

1672-058X(2013)10-0013-04

2013-03-17；

2013-04-25.

四川信息職業(yè)技術學院自然科學基金(2012C04).

楊曉英(1984-)，女，山西祈州人，講師，碩士，從事矩陣理論與應用研究.

O151.21

A

責任編輯：田靜