鄧 紅 彥

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

廣義非擴(kuò)張映象的不動(dòng)點(diǎn)定理

鄧 紅 彥

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

引入一類更廣泛于非擴(kuò)張映象的一種映象，推廣了Bogin和Gregus的結(jié)論，并對(duì)完備度量空間和完備凸度量空間上該映象的不動(dòng)點(diǎn)定理給出了證明.

不動(dòng)點(diǎn)；壓縮；非擴(kuò)張；凸度量空間

1922年，在Banach首次提出了壓縮映象之后，人們相繼提出非擴(kuò)張映象、漸進(jìn)非擴(kuò)張映象、漸進(jìn)擬非擴(kuò)張型映象等概念，并取得了大量成果. 受文獻(xiàn)[1-3]的啟發(fā)，引入一種更廣義的映象替代原來(lái)的映象，并得到相同的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,d)是度量空間，滿足：?x,y∈X,有d(Tx,Ty)≤kd(x,y),k∈[0,1).則映射T：X→X,T為壓縮映象,若k=1，則稱T是非擴(kuò)張映象.

定義1[1]T：C→C是Banach空間的子集C上的映射，稱T滿足“條件”(C)，如果

顯然條件(C)弱于非擴(kuò)張映象.

定理1[2]設(shè)(X,d)是非空完備度量空間，映射T：X→X，滿足：

d(Tx,Ty)≤ad(x,y)+b[d(x,Tx)+d(y,Ty)]+c[d(x,Ty)+d(y,Tx)]

其中a≥0,b>0,c>0且a+2b+2c=1，則T有唯一一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

定義2[3]設(shè)(X,d)是度量空間，映射W：X×X×[0,1]→X，稱W為X的凸結(jié)構(gòu)，若滿足：

d(u,W(x,y,λ))≤λd(u,x)+(1-λ)d(u,y);?(x,y,λ)∈X×X×[0,1],?u∈X

存在此類映射W的度量空間稱為凸度量空間.

顯然,在凸度量空間中可得到d(x,W(x,y,λ))≤(1-λ)d(x,y),d(y,W(x,y,λ))≤λd(x,y).

定理2[2]設(shè)C是Banach空間B中的非空閉凸完備度量空間，映射T：C→C，滿足：

‖Tx-Ty‖≤a‖x-y‖+b(‖x-Tx‖+‖y-Ty‖),?x,y∈C

其中a>0,b>0且a+2b=1，則T有唯一一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)論

d(Tx,Ty)≤a1d(x,y)+a2d(x,Tx)+a3d(y,Ty)+a4d(x,Ty)+a5d(y,Tx)

證明設(shè)dn=d(Tnx,Tn+1x)，其中d0=d(x,Tx).

所以

(1)

即{dn}是不增序列.

下證?x∈X，?k∈(0,2)，使得d(Tx,T3x)≤kd(x,Tx)成立.

第二種情況：d(x,T2x)

令a1+a2+a3+a4k=m，則有?x∈X,d2≤md0(m<1).

矛盾.證畢.

下證?y∈X，k<1，使得d(y,Ty)

下證T的不動(dòng)點(diǎn)的唯一性.

d(u,v)=d(Tu,Tv)≤a1d(u,v)+a2d(u,Tu)+a3d(v,Tv)=a1d(u,v)

矛盾.證畢.

[1] POPESCU O.Two generalizations of some fixed point theorems[J].Computers and Mathematics with Applications, 2012(62)：3912-3919

[2] BOGIN J.A generalization of a fixed point theorem of Goebel[J].Kirk and Shimi Canad Math Bull,1976(19)：7-12

[3] TAKAHASHI W.A convexity in metric space and nonexpansive mappings[J].Kodai Math,1970(20)：142-149

[4] GREGUS M.A fixed point theorem in banach spaces[J].Boll Unione Mat Ital Sez A,1980(17)：193 -198

[5] FUKHA H.Fixed point results for a generalized nonexpansive map in uniformly conxex metric spaces[J]. Nonlinear Analysis,2012(75)：4747-4760

[6] JONG S J.Strong convergence of iterative methods fork-strictly pseudo-contractive mappings in Hilbert spaces [J].Applied Mathematics and Computation,2010(215)：3746-3753

Keywords：fixed point；contraction；non-expansion；convex metric space

Fixed Point Theorem of Generalized Non-expansive Mapping

DENGHong-yan

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

This paper introduces a kind of mapping from a class of generalized non-expansive mapping, extends the results by Bogin and Gregus, and gives proofs for the fixed point theorem on complete metric space and complete convex metric space.

1672-058X(2013)10-0008-05

2013-04-10；

2013-05-06.

鄧紅彥(1988-)，女，重慶人，碩士研究生，從事不動(dòng)點(diǎn)理論及其應(yīng)用研究

O177

A

責(zé)任編輯：李翠薇