魏生賢，邱學云，晏翠瓊，何禧佳

（1.曲靖師范學院 物理與電子工程學院，云南 曲靖 655011，2.文山學院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

在求解物理問題時，常常因某些物理量分布的非對稱性使問題復雜化，無法利用公式或定理直接求解，致使問題難以求解，甚至無法求解。填補法又稱補償法，就是使一些非對稱分布問題，在與原問題和物理規(guī)律不相違背的前提下，適當補充一些物理條件而變?yōu)閷ΨQ分布，使一些定理或公式得以直接應用，將原來較復雜的問題簡化，并便于求解的方法［1-4］。因此，填補法在力學、電磁學、物理試驗中應用較為廣泛。本文就填補法在大學物理電學非對稱問題中的應用進行詳細分析，具體討論了填補法在電場強度、電場力、電勢、角速度、電通量和電阻求解中的應用。教學中引入填補法，并將其應用于實際問題，可大大簡化問題，便于問題的求解和學生邏輯思維能力的培養(yǎng)，可使教學效果事半功倍。

1 利用填補法計算場強

1.1 缺口金屬圓環(huán)在其圓心處的場強

如圖1所示，將金屬絲AB彎成半徑為R的圓弧，A、B間留有寬度為d的間隙（d＜＜R）。若缺口圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為λ，試計算圓心O處的場強。

圖1 缺口金屬圓環(huán)

為便于分析，建立如圖1所示的極坐標，Ox穿過AB間隙的中心。由于d＜＜R，可將AB間隙帶的負電荷-λd視為點電荷［3,6］。據(jù)點電荷場強公式可得

場強方向由圓心指向AB間隙中心，即Ox正方向。

1.2 挖去小塊面積的均勻帶電球面在其球心處的場強

真空中有一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為Q（Q＞0），電荷面密度為+σ，如圖2所示。今在球面上挖去非常小的一塊面積△S（連同電荷），且假設挖去后不影響原來電荷的分布。計算挖去△S后球心處電場強度的大小和方向。

分析與解答：挖去部分△S的電荷面密度為零，與同時存在面電荷密度+σ與-σ等效。將挖去部分用電荷面密度為+σ的球面補上，使之成為均勻帶電球面。此時，球心處的場強是均勻帶電球面在球心處的場強與挖去部分（電荷面密度為-σ）在球心處的場強的矢量和，即。

由于Q＞0，球面面電荷密度為σ=Q/（4πR2）。由于球面的電荷均勻分布，由靜電場中的高斯定理可知均勻帶電的球面在球心處的場強=0，所以由于挖去部分△S較小，可視為點電荷［8］。為便于分析，建立圖3所示的極坐標，O點位于球心，Ox穿過△S的中心。由△S上的負電荷激發(fā)［7-8］，則

圖2 挖去小塊面積的均勻帶電球面

除上述兩種情況以外，還可利用填補法與高斯定理結合求解無限大均勻帶電平面圓孔軸線上一點的場強［9-10］，均勻帶電偏心球殼內(nèi)外的場強［9，11-13］。

2 利用填補法計算電場力

在球心為O、半徑為R1、電荷體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)偏心地挖去一個半徑為R2的帶電小球（球心為O '），形成如圖3所示空腔球體。設，試計算空腔內(nèi)任意一點電荷q所受的電場力［14］。

分析與解答：將挖去小球的空腔視為是在原來均勻帶電+ρ的球內(nèi)，填進一個均勻帶電-ρ的小球而構成的。由疊加原理，空腔中任意一點電荷q所受的電場力可看成是沒有空腔且電荷體密度ρ均勻分布的帶電球體對點電荷q所施的電場力與體電荷密度為-ρ的空腔球部分對點電荷q所施加的電場力之疊加，即

圖3 偏心球殼內(nèi)點電荷的電場力

上式顯示，點電荷q在空腔內(nèi)受到恒力的作用。

3 利用填補法計算電勢

如圖3所示，一半徑為R1的球體均勻帶電，電荷體密度為ρ，球內(nèi)有一半徑為R2的球形空腔，空腔中心O '與球心O相距為c。試計算空腔中心O '處的電勢。

分析與解答：根據(jù)上一節(jié)的分析可知，球形空腔為勻強電場，場強，其中表示O至O'的距離。由填補法分析可知，空腔中場點P的電勢是半徑為R1、電荷體密度為ρ的大球和半徑為R2、電荷體密度為-ρ的小球產(chǎn)生的電勢之和，即Vp=V1+V2。

取無限遠處的電勢V∞=0，大球電場分布為［9，15］

利用電勢的定義，可得大球內(nèi)任一點的電勢為

對于空腔中心O '右r=c，則大球產(chǎn)生的電勢為

同理，可得小球在O '處產(chǎn)生的電勢為

由電勢疊加原理可得點O '處的電勢為

4 利用填補法計算角速度

如圖4所示，一個絕緣的剛性細圓環(huán)，半徑為R，質量為m，可以繞垂直于紙面的軸O自由旋轉，但不能平動。此環(huán)長度均勻帶電，電荷量為Q。在A點剪下一個小缺口，其空隙長度為l（l＜＜R）。開始時圓環(huán)靜止不動，接通一個勻強電場E，讓E既垂直于軸O，又垂直于半徑OA。試計算圓環(huán)旋轉的最大角速度。

分析與解答：若該細圓環(huán)沒有缺口，由于受到的合力矩為零，將不旋轉。如果將缺口處的不帶電看成是單位長度帶電情況和圓環(huán)帶電情況相同的正負電荷的疊加所致，因為l＜＜R，即可將缺口處的電荷認為是點電荷。因此，有缺口的帶電細圓環(huán)就可等效為一個電荷線密度為Q/2πR的均勻帶電圓環(huán)和一個帶電荷量q=Ql/2πR的負點電荷在缺口處的疊加。顯然，電場只對負點電荷產(chǎn)生力矩，當點A順時針轉過90°時，電場力對它做功最多，對應速度最大，即圓環(huán)的角速度最大［16］。

根據(jù)動能定理有

圖4 缺口線圈角速度的計算

故缺口帶電圓環(huán)的最大角速度為

5 利用填補法計算電通量

如圖5所示，在邊長為a的正方形平面的中垂線上，距中心O點a/2處，有一電量為q的正點電荷，試計算通過該平面的電通量。

分析與解答：依據(jù)題意，正方形平面各面元與源電荷q的距離不等，無法直接利用公式計算q的場強通過該平面的電通量。但可用6個邊長為a的正方形平面將q包圍起來，構成一個邊長為a的正六面體的閉合曲面，q位于正六面體的中心。由高斯定理可知，通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和的1/ε0倍。對于此問題，通過正六面體構成的閉合曲面的電通量為q/ε0。由于q位于正六面體的中心，則通過正六面體任意一個面的電通量為總電通量的1/6，即為q/（6ε0）。

圖5 電通量的計算

6 利用填補法計算電阻

如圖6所示，P是一塊均勻的半圓形薄電阻片，先將它按圖6（a）中的方式連接在電極A、B間，測得其阻值為R。試問：將電阻片P按圖6（b）的方式與電極A、B相連，其電阻值Rx是多少？

圖6 填補法計算電阻值

分析與解答：此題若用積分法則較難求解，用填補法卻能輕易求解。若將圖6（a）的半圓形薄電阻片填補成圖6（c）的方式，它相當于兩阻值為R的電阻的串聯(lián)，其等效電阻值為2R。將圖6（c）中的電阻片順時針旋轉90°可得圖6（d），在圖6（d）中，此圓形電阻片的阻值仍為2R，但它相當于兩個P片的并聯(lián)，即有［4］

以上結果與通過分割法得到的結果一致［5］。

7 結束語

本文利用填補法對大學物理電學中的非對稱物理量（場強、電場力、電勢、角速度、電通量和電阻）進行了實例分析與解答。分析表明，利用填補法可將非對稱物理問題化為對稱的物理問題，便于公式或定理的直接應用。教學中應重視科學方法的教學，將填補法應用于教學，引導學生運用科學的分析方法解決實際問題。一方面可起到拓寬思路，使教學效果事半功倍；另一方面有利于學生探索能力和解決問題能力的培養(yǎng)。

［1］段培同，韓彩芹.補償法在力學和電磁學中的應用［J］.泰安師專學報， 2002（3）： 46-48.

［2］李效峰.補償法在物理學中的應用［J］.吉林建筑工程學院學報，2008（1）： 102-104.

［3］李蓉蓉.補償法在物理學中的應用［J］.南通工學院學報，1998（2）： 21-23.

［4］周繼芳.淺析補償法在物理題解中的應用［J］.西南民族大學學報：自然科學版， 2004（6）： 859-862.

［5］魏嵋.巧用物理模型解題方法初探［J］.甘肅教育學院學報：自然科學版，1999（S2）：62-64.

［6］胡軍權.淺析應用“填補法”構建物理模型［J］.常熟高專學報，2003（6）：121-122.

［7］孫迺疆，胡盤新.普通物理學（第六版）習題分析與解答［M］.北京： 高等教育出版社，2006：160-167.

［8］申緒英.淺談填補法在解決物理問題中的重要作用［J］.四川工業(yè)學院學報， 2002（ S1）： 107-108.

［9］崔覺梅，成城，王曉穎.大學物理學習指導［M］.西安： 西安電子科技大學出版社， 2002：71-82.

［10］馬新莉.物理解題技巧—補償法探討［J］.理工高教研究，2003（2）： 83-84.

［11］房淑芬.電磁學中一種有用的解題方法［J］.遼寧師專學報， 1999（3）： 25-28.

［12］劉海英，何南.模型轉換在普通物理解題中的應用［J］.桂林師范高等?？茖W校學報， 2010（3）： 187-189.

［13］張三慧.大學基礎物理學（第2版）教師用書（習題詳解）［M］.北京： 清華大學出版社， 2007:125.

［14］劉成有.填補法在物理教學中的應用［J］.廣東職業(yè)技術師范學院學報， 1999（4）：92-96.

［15］林福忠.用補償法巧解物理題［J］.龍巖師專學報， 2004（3）： 97-98.

［16］肖建華.巧解競賽題的一種方法——“補償法”［J］.物理通報， 2011（4）： 48-50.