李小磊，梁軍軍

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

隨著冷原子實(shí)驗(yàn)的發(fā)展，人們已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了利用激光囚禁費(fèi)米子氣體來模擬凝聚態(tài)理論中的一些理論模型［1］，如Hubbard模型.由于光學(xué)晶格的結(jié)構(gòu)以及冷原子間相互作用的可調(diào)節(jié)性，使光學(xué)晶格中的費(fèi)米子氣體非常適合用于研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的各種特性，這就使得在實(shí)驗(yàn)上研究Hubbard模型的強(qiáng)關(guān)聯(lián)行為成為可能，進(jìn)而成為研究高溫超導(dǎo)體的超導(dǎo)機(jī)理的簡單模型.由于形成庫伯對需要費(fèi)米子之間有等效的吸引作用，因而人們對吸引作用的費(fèi)米氣體超流做了大量的研究［2－4］，但是實(shí)際上粒子間的排斥相互作用也有可能產(chǎn)生等效的吸引相互作用［5］，近期人們對排斥相互作用的費(fèi)米氣體做了大量的研究［6－7］.文獻(xiàn)［5］研究了處在外加簡諧磁場的光學(xué)晶格中超冷費(fèi)米氣體的基態(tài)性質(zhì).在這樣的系統(tǒng)中外加勢場會(huì)使得粒子向勢阱中心匯聚，而粒子間的排斥作用又會(huì)使得粒子向勢阱兩邊分散，所以，當(dāng)外加勢場足夠大時(shí)，費(fèi)米子就會(huì)向勢阱的中心聚集，形成一種類似穹頂狀的密度分布，每個(gè)格點(diǎn)可能會(huì)有兩個(gè)原子占據(jù)，出現(xiàn)雙占據(jù)態(tài).但是隨著粒子間排斥相互作用的增加，粒子會(huì)向勢阱兩側(cè)運(yùn)動(dòng)，使得勢阱中心每個(gè)格點(diǎn)只占據(jù)著一個(gè)粒子，粒子密度的分布就會(huì)在勢阱中心變得非常平坦，出現(xiàn)了Mott絕緣態(tài).通過對束縛能的研究我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)排斥相互作用大于一定值時(shí)，費(fèi)米子間會(huì)有配對出現(xiàn)，并且在勢阱的中心部分有Mott絕緣態(tài)的出現(xiàn).該結(jié)論是在格點(diǎn)總數(shù)小于22的情況下得到的，這是因?yàn)樵撟髡呤褂玫氖蔷_對角化方法，無法處理更大尺度的晶格.我們利用密度重整化群方法討論了相同的配對問題，發(fā)現(xiàn)對于大尺度晶格，上面的結(jié)論是不準(zhǔn)確的.

在本文中，我們計(jì)算了晶格中粒子數(shù)小于半填充時(shí)密度的分布以及相互作用不同時(shí)的基態(tài)能量，并分析了兩個(gè)粒子間的束縛能.

1 理論模型

當(dāng)存在外加勢場時(shí)囚禁于光學(xué)晶格中的一維費(fèi)米氣體可以用如下的一維（Fermi－Hubbard Model）哈密頓量描述［8］：

我們設(shè)自旋向上費(fèi)米子為n↑，自旋向下費(fèi)米子數(shù)為n↓，總費(fèi)米子數(shù)n＝n↑＋n↓，同時(shí)只限于討論費(fèi)米子小于半占據(jù)的情況.我們利用密度重整化群方法來計(jì)算兩個(gè)費(fèi)米子之間的束縛能Eb.如果Eb＜0，費(fèi)米子之間會(huì)存在等效的吸引相互作用，這表明費(fèi)米子之間形成庫伯配對，進(jìn)而意味著費(fèi)米超流的存在.

2 模擬結(jié)果與分析

利用下面的公式Eb來計(jì)算費(fèi)米子間的束縛能［5］：

其中Eg（n↑，n↓）表示系統(tǒng)中自旋向上的粒子數(shù)為n↑、自旋向下的粒子數(shù)為n↓的基態(tài)能量.我們首先重復(fù)了文獻(xiàn)［5］的工作，利用密度重整化群方法計(jì)算了兩費(fèi)米子間的束縛能Eb，粒子數(shù)密度分布n（i）.在費(fèi)米子小于半填充情況下，束縛能Eb在排斥作用增大到一定值時(shí)會(huì)由正值變?yōu)樨?fù)值，同時(shí)在勢阱中心出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，而在勢阱兩邊是存在庫伯對的超流態(tài).我們發(fā)現(xiàn)利用密度重整化群方法與該文獻(xiàn)利用精確對角化方法得到的結(jié)果完全一致，這表明我們的方法是可靠的.

在不改變填充因子的情況下把格點(diǎn)總數(shù)增加為N＝70的情況，討論了自旋向上費(fèi)米子數(shù)n↑＝25、自旋向下費(fèi)米子數(shù)n↓＝25的密度分布以及束縛能Eb與排斥相互作用的關(guān)系，如圖1所示.

圖1 （a）費(fèi)米子密度分布（b）和束縛能Eb隨著U／t的變化Fig.1 Variation of density（a）and binding energy Eb（b）with repulsive interaction

由圖1（a）可知，當(dāng)排斥相互作用比較?。║／t＜5.5）時(shí)，諧振子勢阱起主導(dǎo)作用，把費(fèi)米子擠向勢阱中心，雙占據(jù)態(tài)（n（i）＞1）主要存在于勢阱的中心；隨著排斥相互作用增強(qiáng)（U／t≥5.5），排斥作用起主導(dǎo)作用，費(fèi)米子之間的排斥作用迫使勢阱中心每個(gè)格點(diǎn)只能有一個(gè)費(fèi)米子.在勢阱中心n（i）＝1，雙占據(jù)態(tài)完全消失，出現(xiàn)Mott絕緣態(tài).在圖1（b）中，束縛能Eb在U／t≥5.5時(shí)為負(fù)值，表明系統(tǒng)在勢阱兩側(cè)存在超流態(tài)，而在勢阱中心存在Mott絕緣態(tài)，這正是文獻(xiàn)［5］的結(jié)論.與文獻(xiàn)［5］不同的是，當(dāng)U／t＝4.5時(shí)，束縛能Eb也為負(fù)值，但從圖1（a）中可以看出系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，這在格點(diǎn)總數(shù)小于22的系統(tǒng)中是沒有的.由此我們可以說文獻(xiàn)［5］的結(jié)論實(shí)際上只對較小的晶格系統(tǒng)成立.

通過測試我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)格點(diǎn)總數(shù)N小于22時(shí)，只有在勢阱的中心出現(xiàn)Mott絕緣相時(shí)，束縛能Eb才會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，這與采用精確對角化的方法得到的結(jié)果是一致的.一旦格點(diǎn)總數(shù)增大，即使在勢阱的中心沒有出現(xiàn)Mott絕緣相，束縛能Eb也會(huì)出現(xiàn)負(fù)值.

為了進(jìn)一步說明束縛能取正負(fù)的區(qū)別，我們討論了當(dāng)系統(tǒng)增加兩個(gè)費(fèi)米子后，粒子數(shù)密度的變化，如圖2（P206）所示.當(dāng)排斥相互作用比較小（U／t＝2.5）時(shí)，由圖2（a）可知增加的兩個(gè)費(fèi)米子使得勢阱中心雙占據(jù)態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)變多，所以束縛能Eb為正值.圖2（c）描繪了排斥相互作用比較大（U／t＝5.5）時(shí)，費(fèi)米子密度的變化情況，增加的兩個(gè)費(fèi)米子為了使粒子間的排斥作用變小只是出現(xiàn)在了Mott絕緣態(tài)的兩側(cè)，所以只有在勢阱的邊緣出現(xiàn)了粒子數(shù)密度的波動(dòng)，所以粒子間的束縛能Eb才會(huì)變成負(fù)值.這與文獻(xiàn)［5］的結(jié)論一致，但是在圖2（b）中，系統(tǒng)沒有很強(qiáng)的排斥相互作用，勢阱中心也沒有出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，但是增加的兩個(gè)費(fèi)米子也沒有使勢阱中心雙占據(jù)態(tài)增多，反而使勢阱邊緣出現(xiàn)了粒子數(shù)密度的波動(dòng)，這也使得粒子間的束縛能Eb變成了負(fù)值.

圖2 當(dāng)粒子數(shù)小于半填充時(shí)，在不同的排斥相互作用影響下，系統(tǒng)增加兩個(gè)費(fèi)米子前后的密度分布Fig.2 Density profile before and after adding two atoms below the half-filling with different repulsiveinteraction

同時(shí)，我們還分析了填充因子與文獻(xiàn)［5］不同時(shí)費(fèi)米子的密度分布以及束縛能Eb與排斥相互作用的關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)改變填充因子時(shí)（N＝50，n↑＝20，n↓＝20），依然能夠得到與上文相同的結(jié)論.

保持格點(diǎn)總數(shù)和填充因子不變，改變外加磁場，由圖3（a）可知，當(dāng)外加磁場非常小時(shí)（V／t＝1.0），無論粒子間的排斥相互作用如何變化，結(jié)合能Eb都為正值.隨著外加磁場的增加（V／t＝4.0，V／t＝6.0），只有當(dāng)排斥相互作用大于某一值時(shí)（U／t＝3.0，U／t＝4.0），費(fèi)米子間的結(jié)合能才會(huì)出現(xiàn)負(fù)值.繼續(xù)增大外加磁場，由圖3（b）可知，對于V／t＝8.0，曲線有1個(gè)孤立的極小值，而對于V／t＝9.0，孤立的極小值點(diǎn)有2個(gè)，這些極小值點(diǎn)均為負(fù)值，表明在該處也存在庫伯對.可以看出，在出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)之前Eb出現(xiàn)負(fù)值的次數(shù)隨著外勢的增大逐漸變多，并且震蕩也變得更加激烈.經(jīng)過測試，當(dāng)填充因子發(fā)生變化時(shí)，依然能夠得到同樣的結(jié)論.

圖3 外加勢場不同時(shí)束縛能Eb隨排斥相互作用U／t的變化Fig.3 Variation of binding energy Ebwith repulsive interaction at different trap potential

由此可知，不僅僅是外加勢場和粒子間的相互作用會(huì)對粒子間的庫伯配對與超流產(chǎn)生影響，同時(shí)格點(diǎn)總數(shù)的增加也會(huì)使得粒子間的束縛能發(fā)生新奇的變化.它們?nèi)咧g的關(guān)系對系統(tǒng)超流性質(zhì)的影響是一個(gè)非常值得研究的問題.

3 結(jié)論

我們利用密度重整化群的方法研究了在粒子數(shù)小于半填充的情況下囚禁于光學(xué)晶格中的超冷費(fèi)米氣體的超流特性.外加磁場會(huì)使費(fèi)米子向勢阱中心集中，而排斥作用則會(huì)使費(fèi)米子在光學(xué)晶格中均勻分布.我們發(fā)現(xiàn)不同的格點(diǎn)總數(shù)對光學(xué)晶格中費(fèi)米子氣體的超流有很大影響.在格點(diǎn)總數(shù)小于22情況下，只有在系統(tǒng)存在Mott絕緣態(tài)時(shí)，粒子間才會(huì)出現(xiàn)庫伯對，從而表明超流的存在.但是隨著格點(diǎn)總數(shù)的增加，即使在系統(tǒng)中不存在Mott絕緣態(tài)，粒子間也會(huì)出現(xiàn)庫伯對.因此在格點(diǎn)總數(shù)大于22時(shí)，當(dāng)排斥作用滿足某一個(gè)特定值時(shí)，不論是否存在Mott絕緣態(tài)，系統(tǒng)中都可能會(huì)有超流態(tài)的存在.

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