姚嬌嬌，張樹(shù)文

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建廈門(mén)361021)

0 引言

隨著人類的進(jìn)步，由工業(yè)生產(chǎn)和其他人類活動(dòng)所造成的環(huán)境污染問(wèn)題變得日益嚴(yán)重，并受到人們的廣泛關(guān)注.各污染物排放對(duì)生物的正常生存造成了很大的威脅.近年來(lái)，有許多學(xué)者對(duì)污染環(huán)境下的捕食-食餌系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究［1-2］，并得到了許多的結(jié)論.這些研究大多采用的是確定性的模型，如模型

其中:x(t)表示t時(shí)刻食餌種群數(shù)量;y(t)表示t時(shí)刻捕食者種群數(shù)量;C0(t)表示該時(shí)刻生物個(gè)體體內(nèi)的毒素的濃度;r0表示不存在毒素時(shí)食餌種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率;r1，r2表示生物增長(zhǎng)對(duì)毒素的反應(yīng)強(qiáng)度;d表示捕食者的死亡率.由于生物種群是生活在不斷變化的環(huán)境中，陽(yáng)光、溫度、水分等對(duì)種群產(chǎn)生了微小影響，以及洪水、地震、海嘯對(duì)種群產(chǎn)生了瞬間影響，環(huán)境的噪音也對(duì)種群產(chǎn)生一定的影響.所以，研究脈沖效應(yīng)［3-4］和隨機(jī)環(huán)境［5-6］的種群動(dòng)力學(xué)行為，成為現(xiàn)代生物數(shù)學(xué)中的一個(gè)主要研究課題，而考慮脈沖與環(huán)境噪音同時(shí)對(duì)種群作用的成果不多.

對(duì)模型 (1)考慮食餌種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率r0和捕食者種群的死亡率d同時(shí)受到白噪聲的干擾，即:a→a+αB1(t)，d→d+βB2(t)，其中:B1(t)，B2(t)是相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng);α，β表示白噪聲的強(qiáng)度. 本文中，(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)是具有濾子{Ft}t≥0的完備概率空間，F(xiàn)t是右連續(xù)的，并且F0包括P-null集合.則得到脈沖輸入毒素隨機(jī)擾動(dòng)的捕食-食餌模型:

其中:T為脈沖周期;p為脈沖大小，p＞0.假設(shè)模型中所有的參數(shù)均為正數(shù).模型 (2)有兩個(gè)子系統(tǒng):

和

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 子系統(tǒng) (4)有一個(gè)周期解(t)=pe-h(t-nT)/(1-e-hT)，t∈(nT，(n+1)T］，且該周期解是漸近穩(wěn)定的，即對(duì)任意解C0(t)都有

從引理1中可以得到:1)對(duì)任意ε＞0，存在T1＞0，當(dāng)t＞T1時(shí)，有(t)-ε＜C0(t)＜(t)+ε;2)〈(t)〉=p/hT，t＞ 0.

引理2 對(duì)于任意的初值x0＞0，y0＞0，系統(tǒng) (2)存在局部正解(x(t)，y(t)).

考慮下列非自治隨機(jī)Logstic模型:

其中a(t)，b(t)，α(t)在［0，+∞)上連續(xù)有界函數(shù)，且a(t)＞0，b(t)＞0.

2 主要結(jié)果

定理1 系統(tǒng) (2)有滿足初始條件x0＞0，y0＞0的唯一正的全局解(x(t)，y(t))，且存在函數(shù)φ(t)，ψ(t)，Φ(t)，Ψ(t)，滿足φ(t)≤x(t)≤Φ(t)，ψ(t)＜y(t)＜Ψ(t)a.s.t≥0.

的解，且由隨機(jī)方程比較定理得:x(t)≤Φ(t)，a.s.t∈［0，+∞).根據(jù)引理2可知，對(duì)任意ε＞0，存在 T1＞0，當(dāng) t＞T1，有

定理2 系統(tǒng) (2)滿足任意正初始值的解(x(t)，y(t))具有如下性質(zhì):

定理3 對(duì)模型 (2)，種群x(t)滿足:1)若r0-α2/2＜r1p/(hT)，則x(t)趨于滅絕;2)若r0-α2/2=r1p/(hT)，則x(t)是隨機(jī)非平均持久的;3)若r0-α2/2＞r1p/(hT)，則x(t)是隨機(jī)弱平均持久的.

證明1)對(duì)系統(tǒng) (2)第一個(gè)方程使用It?公式得到:d ln x(t)=［r0-α2/2-r1C0(t)-ax(t)-by(t)］dt+αdB1t，兩邊積分，得:

2)由式 (8)及式 (11)可以得到:［ln x(t)-ln x(0)］/t≤ r0-α2/2-r1〈(t)-ε〉-a〈x(t)〉+αdB1t. 由引理4有:因?yàn)棣攀侨我獾模杂?

由于r0-α2/2=r1p/(hT)和〈x〉*≥0，就得到〈x〉*=0.所以種群x(t)是隨機(jī)非平均持久的.

定理4 對(duì)模型 (2)的捕食者種群y(t)，有如下結(jié)論:1)若Δ＜Kp/(hT)，則y(t)將趨于滅絕;2)若Δ＞Kp/(hT)，則y(t)是隨機(jī)弱平均持久的.

當(dāng)r0-α2/2-r1〈〉＜0時(shí)，由定理3的1)有〈x〉*=0.再由式 (13)可得:［ln y(t)/t］*＜即

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