朱 福，戰(zhàn)高峰，董偉智

（1.吉林建筑工程學(xué)院 交通科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130118；2.吉林大學(xué) 建設(shè)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130026）

高等級(jí)公路瀝青路面對(duì)面層的要求越來越高，對(duì)礦料組成設(shè)計(jì)要求精度也越來越高。按現(xiàn)行規(guī)范中熱拌瀝青混合料礦料組成設(shè)計(jì)方法的規(guī)定：高速公路和一級(jí)公路瀝青路面可利用電子計(jì)算機(jī)的電子表格試配法（簡(jiǎn)稱：表格試配法）進(jìn)行。高等級(jí)公路工程中混合料礦料組成設(shè)計(jì)常用方法還有正規(guī)方程法。將表格試配法與正規(guī)方程法單獨(dú)應(yīng)用于吉草高速公路瀝青路面礦料組成設(shè)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種方法存在不足：①表格試配法雖然能夠在計(jì)算機(jī)上顯示合成級(jí)配及級(jí)配曲線，再根據(jù)目標(biāo)級(jí)配進(jìn)行隨時(shí)調(diào)整，直至滿意為止，但是該方法耗時(shí)耗力、工作量大。②正規(guī)方程法未考慮設(shè)計(jì)級(jí)配曲線的范圍要求，也不能保證計(jì)算結(jié)果為非負(fù)數(shù)。針對(duì)以上兩種方法不足之處，采用兩種解決方案：①正規(guī)方程法廣義逆求解與Microsoft office軟件Excel電子表格結(jié)合，首先建立正規(guī)方程式，利用Matlab7.0中廣義逆函數(shù)模塊（pinv）求取原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)初值，再將初值代入自編Excel電子計(jì)算表格進(jìn)行試配，可迅速得到滿意的礦料組成設(shè)計(jì)值。②引入模糊數(shù)學(xué)隸屬度函數(shù)，將線性規(guī)劃問題化為非線性二次規(guī)劃問題，利用自編程序模塊與Matlab7.0中二次規(guī)劃函數(shù)模塊（quadprog）求取礦料組成設(shè)計(jì)值。

1 問題提出

1.1 已知條件

設(shè)計(jì)混合料的篩孔種類數(shù)為m，設(shè)計(jì)級(jí)配曲線的上限值、下限值及中值，用矩陣表示為

式中：gi1，li1，bi1（i＝1，2，…，m）分別為設(shè)計(jì)級(jí)配曲線上限值、下限值和中值在第i種篩孔的累計(jì)通過百分率。

合成礦料的原材料種類數(shù)為n，各種原材料的篩分結(jié)果用矩陣表示為

式中：pij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）為第j種原材料在第i種篩孔的累計(jì)通過百分率。

1.2 求解的問題

根據(jù)n種原材料配制符合設(shè)計(jì)級(jí)配的混合料，即計(jì)算合成礦料中各種原材料的摻配質(zhì)量比例系數(shù)，用矩陣表示為

式中：xj1（j＝1，2，…，n）為第j種原材料在合成礦料中所占的質(zhì)量比例系數(shù)。

1.3 解的約束條件

式中：式（6）、式（7）給出合成礦料級(jí)配的上、下界范圍，式（8）限定原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)之和等于1，式（9）限定計(jì)算結(jié)果為非負(fù)數(shù)。

2 解決方法

2.1 正規(guī)方程法與表格試配法結(jié)合

1）正規(guī)方程法廣義逆求解。正規(guī)方程法基本思想是利用最小二乘原理，不要求合成礦料級(jí)配完全滿足條件式（6）、式（7），但應(yīng)使合成礦料各篩孔的篩分量值與目標(biāo)設(shè)計(jì)級(jí)配偏差平方和達(dá)到最小。原材料在合成礦料中所占的質(zhì)量比例系數(shù)應(yīng)滿足的方程式

應(yīng)用Matlab7.0 廣義逆函數(shù)求解初值X0表達(dá)式

2）表格試配法編制公式。分計(jì)篩余百分率ai，在第i種篩孔上的篩余質(zhì)量占試樣總質(zhì)量的百分率，可求得

式中：mi為存留在第i種篩孔上的試樣質(zhì)量，g；m為風(fēng)干試樣的總質(zhì)量，g。

累計(jì)篩余百分率Ai，第i種篩孔的分計(jì)篩余百分率和大于第i種篩孔的分計(jì)篩余百分率總和，可求得

式中：a1，…，ai為各篩的分計(jì)篩余百分率，%。

通過百分率pi，通過第i種篩孔的質(zhì)量占試樣總質(zhì)量的百分率，即100與第i種篩孔累計(jì)篩余百分率之差，可求得

將式（11）計(jì)算得到的初值X0代入式（12）、式（13）、式（14）編制的Excel電子計(jì)算表格試配，僅需微小調(diào)整即可獲得滿意的各種原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)。

2.2 二次規(guī)劃法

1）數(shù)學(xué)模型。令合成礦料級(jí)配在第i種篩孔通過率fi1（X），令Pi＝［pi1，pi2，…，pin］，以fi1（X）代替bi1，式（10）變?yōu)?/p>

引入模糊數(shù)學(xué)隸屬度函數(shù)Ai（fi1（X）），將合成礦料級(jí)配在各種篩孔的通過率效果模糊化，其表達(dá)式為

令Ui（X）＝Ai（fi1（X））代入式（16），再將式（15）代入式（16）得

其中：

2）程序模塊解題步驟。①輸入已知數(shù)據(jù)矩陣：設(shè)計(jì)級(jí)配上限值矩陣G，設(shè)計(jì)級(jí)配下限值矩陣L，設(shè)計(jì)級(jí)配中值矩陣B，原材料的篩分結(jié)果矩陣P；②編寫程序計(jì)算系數(shù)矩陣H，F(xiàn)，C；③寫出約束條件系數(shù)矩陣A，B；Aeq，Beq；LB，UB；④調(diào)用二次型規(guī)劃函數(shù)模塊quadprog求解X。

3 工程算例及分析

3.1 工程算例

吉草高速公路瀝青路面下面層采用的混合料ATB－25。所用原材料為石灰?guī)r及礦粉，種類數(shù)n＝6，篩孔種類數(shù)m＝13，各原材料的篩分結(jié)果，設(shè)計(jì)混合料的設(shè)計(jì)級(jí)配曲線上限值、下限值和中值見表1。

表1 原材料篩分結(jié)果數(shù)據(jù)及設(shè)計(jì)級(jí)配

3.2 計(jì)算結(jié)果

1）原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)計(jì)算結(jié)果。分別采用正規(guī)方程法、表格試配方法、二次規(guī)劃法計(jì)算設(shè)計(jì)混合料中各種原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)，其結(jié)果見表2。

表2 原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較

2）合成礦料級(jí)配計(jì)算結(jié)果。根據(jù)表2所得各原材料的摻配質(zhì)量比例系數(shù)合成礦料，并分別計(jì)算合成礦料的級(jí)配，結(jié)果如表3所示。

3.3 計(jì)算結(jié)果分析

由表2可知，正規(guī)方程法的計(jì)算結(jié)果不能滿足原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)之和等于1，即式（8）。通過表格試配法微小調(diào)整后可迅速得到滿足式（8）及其它約束條件的計(jì)算結(jié)果。由表3可見，雖然正規(guī)方程法合成礦料級(jí)配與設(shè)計(jì)礦料級(jí)配偏差平方和最小，其中篩孔尺寸為31.5mm 的累計(jì)通過百分率計(jì)算值為100.75%，超過設(shè)計(jì)級(jí)配曲線上限值100%。

由表2可知，二次規(guī)劃法的計(jì)算結(jié)果滿足約束條件。由表3可以看出，采用二次規(guī)劃法的計(jì)算結(jié)果合成的礦料級(jí)配篩孔尺寸為31.5 mm 的累計(jì)通過百分率計(jì)算值為100.01%超過設(shè)計(jì)級(jí)配曲線上限值100%，但偏差值非常小，實(shí)際應(yīng)用中是可以接受的。二次規(guī)劃法的計(jì)算結(jié)果與表格試配法計(jì)算結(jié)果，兩者合成的礦料級(jí)配與目標(biāo)級(jí)配吻合的很好，均符合設(shè)計(jì)要求。

表3 合成礦料級(jí)配計(jì)算結(jié)果（累計(jì)通過百分率）／%

4 結(jié)論

1）結(jié)合吉草高速公路瀝青路面礦料組成設(shè)計(jì)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，提出工程常用的人機(jī)對(duì)話方式的電子表格試配法存在著耗時(shí)耗力、工作量大；正規(guī)方程法未考慮設(shè)計(jì)級(jí)配曲線的范圍要求，出現(xiàn)原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)和大于1，也不能保證計(jì)算結(jié)果為非負(fù)數(shù)的問題。

2）采用正規(guī)方程法計(jì)算合成礦料的原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)做初值，再將初值代入編制的Excel計(jì)算表格，僅需微小調(diào)整即可得到滿足約束條件的計(jì)算結(jié)果。該方法公式簡(jiǎn)單無需編程，具有很好的工程適用性。

3）將模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)概念引入高速公路瀝青路面礦料組成設(shè)計(jì)中，以設(shè)計(jì)級(jí)配范圍為論域，將合成級(jí)配在論域上的取值模糊化，將線性規(guī)劃轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性規(guī)劃中的二次規(guī)劃問題，通過編寫程序模塊與Matlab7.0中的二次規(guī)劃函數(shù)模塊相結(jié)合，計(jì)算得出令人滿意的原材料摻配質(zhì)量比例系數(shù)和合成礦料級(jí)配。從實(shí)例計(jì)算看出，二次規(guī)劃法具有計(jì)算速度快，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，考慮問題全面的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)推廣使用。

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