吳登國，李曉明

（武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引言

配電網(wǎng)重構(gòu)是配電自動化系統(tǒng)的重要組成部分，是配電調(diào)度控制的重要依據(jù)，通過改變配電系統(tǒng)中的分段開關(guān)、聯(lián)絡(luò)開關(guān)的組合狀態(tài)來改變網(wǎng)絡(luò)拓撲，實現(xiàn)預(yù)定的目標(biāo)。配電網(wǎng)重構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)有：最小化系統(tǒng)有功功率損耗、負荷平衡、供電恢復(fù)或其中幾項的組合［1］。配電網(wǎng)重構(gòu)是一個有約束的多目標(biāo)大規(guī)模非線性組合優(yōu)化問題，通過重構(gòu)可將負荷轉(zhuǎn)移，以平衡負荷，消除變壓器和線路過載，提高供電可靠性和電壓質(zhì)量，降低網(wǎng)損，提高配電網(wǎng)的經(jīng)濟性，是實現(xiàn)優(yōu)質(zhì)、可靠和經(jīng)濟運行的重要手段。

據(jù)統(tǒng)計，總發(fā)電量的5%～13%損耗在配電網(wǎng)絡(luò)上［2］，因此以最小化網(wǎng)損為目標(biāo)的配電網(wǎng)重構(gòu)具有重要的意義。目前關(guān)于減小網(wǎng)損的算法主要有啟發(fā)式方法、數(shù)學(xué)優(yōu)化理論和人工智能方法等。數(shù)學(xué)優(yōu)化方法如分支定界法［3］、單回路優(yōu)化法［4］等，可以得到不依賴于配電網(wǎng)初始結(jié)構(gòu)的全局最優(yōu)解，但屬于“貪婪”搜索算法，計算時間很長，而且隨著維數(shù)的增多將導(dǎo)致嚴重“組合爆炸”問題，不能處理復(fù)雜的大規(guī)模的電力系統(tǒng)。啟發(fā)式方法有最優(yōu)流模式法［5］和支路交換法［6］等，這些方法雖然加快了速度，但每次系統(tǒng)負荷改變都需要重新計算潮流搜索尋優(yōu)，有時只能使系統(tǒng)達到次最優(yōu)狀態(tài)。人工智能方法主要有模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［1，7-8］、遺傳算法、專家系統(tǒng)等［9］。文獻［1，7-8］利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來描述負荷模式和最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用其強大的非線性學(xué)習(xí)能力，通過對訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)，能夠根據(jù)輸入的負荷模式給出對應(yīng)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)類別，不需要進行潮流計算，可以在很短的時間得出結(jié)果。但它以經(jīng)驗風(fēng)險最小化為原則，其精度取決于樣本，因完整的樣本難以獲得，需要較長的時間來訓(xùn)練樣本，容易出現(xiàn)過學(xué)習(xí)，難以保證泛化性能，且訓(xùn)練結(jié)果不穩(wěn)定。

極限學(xué)習(xí)機ELM（Extreme Learning Machine）是2006年由新加坡南洋理工大學(xué)黃廣斌教授提出的一種新的單隱含層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)SLFNs（Single-hidden Layer Feed-forward neural Networks）的學(xué)習(xí)機［9-10］。ELM保證網(wǎng)絡(luò)具有結(jié)構(gòu)簡單、學(xué)習(xí)速度快的同時，利用Moore-Penrose廣義逆求解網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，獲得較小的權(quán)重范數(shù)，避免了基于梯度下降學(xué)習(xí)方法而產(chǎn)生的諸多問題，如局部極小迭代次數(shù)過多、性能指標(biāo)及學(xué)習(xí)率的確定等，可獲得良好的網(wǎng)絡(luò)泛化性能。ELM可用以反映配電網(wǎng)負荷模式與配電網(wǎng)最優(yōu)結(jié)構(gòu)之間的非線性關(guān)系，已在多個領(lǐng)域得到了應(yīng)用［11-14］。但是ELM仍是基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化原理，在樣本數(shù)量有限情況下會導(dǎo)致過學(xué)習(xí)問題，而且訓(xùn)練結(jié)果不穩(wěn)定。

本文結(jié)合統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中的結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則來改進ELM，提高其泛化能力，并將其應(yīng)用于配電網(wǎng)重構(gòu)，與ELM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機SVM（Support Vector Machine）［15］等方法比較其性能。

1 ELM基本原理

研究證實，對于N個不同實例的有限集，一個最多只需要N個隱含層節(jié)點的具有非線性連續(xù)激勵函數(shù)的SLFNs，就可以無誤差地逼近這N個實例［16-17］?；诖?，黃廣斌提出的ELM算法如下。

給定 N 個學(xué)習(xí)樣本矩陣（xi，yi），ELM 對應(yīng)連續(xù)的目標(biāo)函數(shù) f（xi），向量 xi=［xi1，xi2，…，xin］T?Rn，向量yi=［yi1，yi2，…，yim］T?Rm，i=1，2，…，N，且給定所構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)的L個單隱含層節(jié)點和隱含層節(jié)點激勵函數(shù)g（xi），則存在 βi、wi和 bi，使 SLFNs 能以 0 誤差逼近這N個樣本，則ELM模型由數(shù)學(xué)表示為：

應(yīng)用于二分類的ELM數(shù)學(xué)模型為：

其中，j=1，2，…，N；網(wǎng)絡(luò)輸入權(quán)重向量 wi=［wi1，wi2，…，win］T，表示輸入節(jié)點與第i個隱含層節(jié)點連接權(quán)重；bi表示第i個隱含層節(jié)點的閾值；wi·xj表示向量wi和 xj的內(nèi)積，隱含層節(jié)點參數(shù) wi和 bi隨機在［-1，1］之間產(chǎn)生；網(wǎng)絡(luò)輸出權(quán)重向量 βi= ［βi1，βi2，…，βim］T，表示第i個隱含層節(jié)點與輸出節(jié)點連接權(quán)重；i=1，2，…，L。

由矩陣來表示N個式（1）為：

由文獻［11］定義，H為網(wǎng)絡(luò)隱含層輸出矩陣。由于L?N，H為非方陣，當(dāng)任意給定wi和bi時，由Moore-Penrose廣義逆定理，求得唯一解H-1，則β為：

由線性最小二范數(shù)與式（4），可獲得矩陣H為：

其中，Y=［y1，y2，…，yN］。

由矩陣H及式（5）可得到解β，從而可確定ELM網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，完成ELM網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。由圖1可見，ELM網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（隱含層節(jié)點數(shù)L、激勵函數(shù)g（x）和任意 wi、bi，x泛指任意輸入?yún)?shù)）只需一次設(shè)定，無需迭代調(diào)整，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度得到極大提高。

圖1 ELM網(wǎng)絡(luò)Fig.1 ELM network

2 結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM

由統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論知，實際風(fēng)險包括經(jīng)驗風(fēng)險和置信范圍。在有限的樣本下，置信范圍越大，實際風(fēng)險與經(jīng)驗風(fēng)險之間的差別也越大，這就是機器學(xué)習(xí)會出現(xiàn)過學(xué)習(xí)的原因。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)應(yīng)同時考慮經(jīng)驗風(fēng)險和置信范圍最小，從而使實際風(fēng)險最小，此即結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)約束優(yōu)化模型可表示為：

將式（7）、（8）條件極值問題轉(zhuǎn)化為 Lagrange函數(shù)求解：

其中，α=［α1，α2，…，αN］，αj?Rm（j=1，2，…，N）代表Lagrange乘子。

式（9）分別對 β、ε 和 α 求偏導(dǎo)，并令其為 0，可得最小化條件：

由式（10）得：

其中，I為單元陣。

式（11）中只含有一個 L×L（L?N）矩陣的逆操作，所以計算β的速度非?？?。

3 基于ELM的配電網(wǎng)模型重構(gòu)

配電網(wǎng)絡(luò)多采用輻射型、環(huán)式或網(wǎng)格式結(jié)構(gòu)方式，正常運行時以開環(huán)方式運行，聯(lián)絡(luò)開關(guān)一般處于斷開狀態(tài)。網(wǎng)損最小的配電網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)數(shù)學(xué)模型為：

其中，b為支路數(shù)；ki為開關(guān)i的狀態(tài)變量，是0-1離散量，0代表打開，1代表閉合；ri為支路 i的電阻；Pi、Qi為支路i末端流過的有功功率和無功功率；Ui為支路i末端的節(jié)點電壓；等式（13）為潮流方程，K為控制變量，即網(wǎng)絡(luò)開關(guān)狀態(tài)變量，M為狀態(tài)變量，包括P、Q、U等運行參數(shù)矢量；Ii和Iimax為支路i的電流和最大電流限值；Ujmin和Ujmax為節(jié)點電壓Uj的下限和上限值。

以網(wǎng)損最小化為目標(biāo)的配電網(wǎng)重構(gòu)，由于開關(guān)很多，難以用常規(guī)的數(shù)學(xué)模型直接建立負荷與網(wǎng)損最小時的開關(guān)狀態(tài)之間的關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以反映配電網(wǎng)負荷模式與最優(yōu)結(jié)構(gòu)之間的非線性關(guān)系，可以將配電網(wǎng)負荷模式作為輸入、相應(yīng)的網(wǎng)損最小時的開關(guān)狀態(tài)作為輸出。

對于一個配電網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)每段負荷母線的負荷大小都為確定的負荷水平時就組成了一個負荷模式。若整個配電網(wǎng)有負荷母線n條，負荷劃分為p個水平，假定每條母線負荷變化不受其他因素影響，那么負荷模式就有pn個。若配電網(wǎng)開關(guān)有m個，則ELM輸入向量xi為n維，輸出yi為m維。每一個輸出分量與配電網(wǎng)中的一個開關(guān)相對應(yīng)，用一組二進制數(shù)據(jù)來表示，0表示打開，1表示閉合。負荷水平可按表1劃分，表中負荷值為占峰值的百分數(shù)。

表1 配電網(wǎng)負荷水平分類Tab.1 Load levels of distribution grid

從配電網(wǎng)全部的負荷模式中確定網(wǎng)損最小時的開關(guān)拓撲結(jié)構(gòu)，然后隨機選取一定數(shù)量分別作為訓(xùn)練集和測試集，對ELM網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練和測試，將輸出的開關(guān)狀態(tài)與最優(yōu)拓撲對比，驗證網(wǎng)絡(luò)的性能。具體重構(gòu)流程如下。

a.根據(jù)配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)找出所有的負荷模式，選取一定數(shù)量的訓(xùn)練集（X，Y）和測試集（X′，Y′），X 和 X′代表輸入的負荷模式集，Y和Y′代表輸出的開關(guān)狀態(tài)集。

b.選擇ELM的隱含層節(jié)點數(shù)組合Ls，結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化規(guī)則項常數(shù)集合γs，激勵函數(shù)g（x）選擇RBF函數(shù)：

c.訓(xùn)練ELM，運用交叉驗證法選取最優(yōu)L和γ，得到ELM最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)模型，若未達到要求，則改變集合Ls和γs，重新訓(xùn)練，直至達到要求。

d.保存最優(yōu)ELM網(wǎng)絡(luò)模型，在不改變配電網(wǎng)的情況下，根據(jù)當(dāng)前負荷模式，可快速地輸出網(wǎng)損最小時的開關(guān)組合狀態(tài)。

4 實驗仿真

ELM程序采用黃廣斌教授個人主頁上的ELM程序［18］，將結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的 ELM 在 MATLAB7.0環(huán)境下進行編程仿真測試，實驗電腦配置為Windows XP，Intel（R） Pentium（R） Dual 1.60 GHz，1 G 內(nèi)存。訓(xùn)練和測試的樣本根據(jù)支路交換法原理［6］通過VC++6.0編程實現(xiàn)，得到各種負荷模式下的網(wǎng)損最小時的開關(guān)組合。支路交換法首先計算初始潮流和網(wǎng)損，利用潮流計算的結(jié)果將負荷用恒定電流表示，每次閉合兩端電壓差最大的聯(lián)絡(luò)開關(guān)形成一個環(huán)網(wǎng)，選擇打開環(huán)網(wǎng)中一個分段開關(guān)，使配電網(wǎng)恢復(fù)為輻射網(wǎng)，從而實現(xiàn)負荷轉(zhuǎn)移，達到負荷均衡和降低網(wǎng)損的目的。配電網(wǎng)重構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)當(dāng)前的負荷模式，找到合適的開關(guān)，改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，達到網(wǎng)損最小。

4.1 算例1

選取文獻［7］中的12.66 kV的典型配電網(wǎng)三饋線試驗網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示，含有16個母線節(jié)點（B1，B2，…，B16），13 個母線負荷分段開關(guān)（S1，S2，…，S13），初始斷開的 3 個聯(lián)絡(luò)開關(guān)（T14，T15，T16）。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如表2所示，表中負荷為接在母線末端的峰值負荷。該網(wǎng)絡(luò)為環(huán)狀結(jié)構(gòu)，輻射狀運行。

圖2 配電網(wǎng)典型三饋線試驗網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Typical experimental distribution grid with three feeders

表2 三饋線16節(jié)點網(wǎng)絡(luò)支路、負荷數(shù)據(jù)Tab.2 Branch and load data of a 3-feeder 16-bus grid

根據(jù)表1將負荷水平劃分為7類，共有負荷模式713種，但ELM網(wǎng)絡(luò)無法訓(xùn)練這么龐大的負荷模式。為克服此困難，由文獻［7］知，表現(xiàn)出不同峰值時間的母線負荷具有不同的特征，如居民用電、商業(yè)用電、工業(yè)用電等，分別用1、2和3表示，并對算例1中的負荷類型進行分類，如表2所示。通常，類似的負荷特征具有相似的變化趨勢，配電網(wǎng)絡(luò)中不同的負荷類型只需要取其中一種就可反映整個配電網(wǎng)的變化情況。即使負荷具有混合類型特征，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也能夠識別。因此，將其類型特征考慮進去，對于母線負荷劃分為p個水平的配電網(wǎng)，其負荷水平組合降為p3個。算例1中，其負荷水平組合為73=343種，且此組合與系統(tǒng)大小無關(guān)。仍由文獻［7］知，實際中，通過基于負荷組合訓(xùn)練得到的大量系統(tǒng)最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)是相似的，因此可以得到較少的系統(tǒng)統(tǒng)一的拓撲結(jié)構(gòu)，并且遠小于開關(guān)數(shù)量。

首先在73個負荷水平組合模式下，隨機選擇3500個負荷組合，由支路交換法得到相應(yīng)的最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)。將其中3000個負荷模式和其相應(yīng)的網(wǎng)損最小時的開關(guān)組合，作為ELM的訓(xùn)練集合，另外500個模式作為測試集合。ELM網(wǎng)絡(luò)的輸入為包含13個分量的向量，輸出為16個分量組成的開關(guān)狀態(tài)。激勵函數(shù)選為RBF高斯核函數(shù)，隱含層節(jié)點數(shù)組合Ls=［5，10，15，20，30，35，50］，規(guī)則項常數(shù) γs=［500，100，50，10，1，0.1，0.01］，共有 7×7=49 種集合，采用循環(huán)程序?qū)⒚恳环N組合代入到ELM中，進行交叉驗證參數(shù)尋優(yōu)。

經(jīng)過實驗，可得結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM最優(yōu)參數(shù)組合為：L=62，γ=0.1，測試結(jié)果與支路交換法計算的結(jié)果差異14次，差異率為2.8%，滿足實際要求。若將測試的結(jié)果與實際結(jié)果作比較，一致時為0，差異時為1，則實際結(jié)果和測試結(jié)果誤差如圖3所示。最后將出現(xiàn)差異的測試模式用PSASP程序進行網(wǎng)損計算分析，僅6個模式也即只有1.2%的模式比支路交換法得到的結(jié)果略大，其他模式結(jié)果與支路交換法接近或略小。因此，基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM比支路交換法重構(gòu)的效率更高，錯誤率更低。

圖3 測試誤差結(jié)果Fig.3 Result of test error

另外分別采用基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化的ELM、SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對上述配電網(wǎng)絡(luò)進行重構(gòu)，訓(xùn)練和測試樣本不變，各種方法均在調(diào)試的最優(yōu)情況下進行，性能比較結(jié)果如表3所示?？梢?，與SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM不僅泛化性能更好，而且速度是它們的幾十倍以上，適合于大規(guī)模實時控制；與基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化的ELM相比，其測試正確率大幅提高，速度也基本相當(dāng)。

表3 各種方法的性能比較Tab.3 Comparison of performance among different methods

4.2 算例2

選取美國PG&E的69節(jié)點配電系統(tǒng)［19］，如圖4所示，需要重構(gòu)的配電系統(tǒng)有73條支路，初始斷開5個聯(lián)絡(luò)開關(guān)：T11-66、T13-20、T15-69、T27-54、T39-48（數(shù)據(jù)表示節(jié)點連接編號），構(gòu)成樹形配電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)參數(shù)在此略去，詳見文獻［19］。

圖4 美國69節(jié)點配電網(wǎng)Fig.4 69-bus distribution grid of America

將負荷水平劃分為7類，采用算例1中的壓縮負荷模式的方法，同樣先用支路交換法得到ELM的負荷模式學(xué)習(xí)樣本3500個，分別選取其中2000個和3000個作為訓(xùn)練樣本，另外均選取500個作為測試樣本，并用基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化的ELM、SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來進行網(wǎng)損最小化重構(gòu)比較，用以檢驗基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM重構(gòu)性能。如表4所示，增加訓(xùn)練樣本情況下，雖然各種方法都可以降低重構(gòu)錯誤率，提高泛化性能，實現(xiàn)全局逼近最優(yōu)，但SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間則明顯增加很多，而基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的ELM訓(xùn)練時間只比基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化時稍長一點。

表4 4種方法的重構(gòu)性能比較Tab.4 Comparison of reconfiguration performance among four methods

5 結(jié)論

本文將結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)則應(yīng)用于新型的ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)負荷模式對配電網(wǎng)進行網(wǎng)損最小化重構(gòu)，避免了使用傳統(tǒng)的啟發(fā)式方法每次負荷變化帶來的繁復(fù)迭代尋優(yōu)，并與SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化的ELM的配電網(wǎng)重構(gòu)效果進行比較，克服傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速度慢的問題，泛化性能更好，速度也與基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化的ELM基本相當(dāng)。ELM隨著訓(xùn)練樣本的增加，重構(gòu)效果更好，然而需要通過其他啟發(fā)式方法獲得大量且覆蓋面廣的學(xué)習(xí)樣本作為支持，并且隨著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變而需要重新訓(xùn)練。