吳登國，李曉明

（武漢大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430072）

0 引言

配電網重構是配電自動化系統(tǒng)的重要組成部分，是配電調度控制的重要依據，通過改變配電系統(tǒng)中的分段開關、聯絡開關的組合狀態(tài)來改變網絡拓撲，實現預定的目標。配電網重構的優(yōu)化目標有：最小化系統(tǒng)有功功率損耗、負荷平衡、供電恢復或其中幾項的組合［1］。配電網重構是一個有約束的多目標大規(guī)模非線性組合優(yōu)化問題，通過重構可將負荷轉移，以平衡負荷，消除變壓器和線路過載，提高供電可靠性和電壓質量，降低網損，提高配電網的經濟性，是實現優(yōu)質、可靠和經濟運行的重要手段。

據統(tǒng)計，總發(fā)電量的5%～13%損耗在配電網絡上［2］，因此以最小化網損為目標的配電網重構具有重要的意義。目前關于減小網損的算法主要有啟發(fā)式方法、數學優(yōu)化理論和人工智能方法等。數學優(yōu)化方法如分支定界法［3］、單回路優(yōu)化法［4］等，可以得到不依賴于配電網初始結構的全局最優(yōu)解，但屬于“貪婪”搜索算法，計算時間很長，而且隨著維數的增多將導致嚴重“組合爆炸”問題，不能處理復雜的大規(guī)模的電力系統(tǒng)。啟發(fā)式方法有最優(yōu)流模式法［5］和支路交換法［6］等，這些方法雖然加快了速度，但每次系統(tǒng)負荷改變都需要重新計算潮流搜索尋優(yōu)，有時只能使系統(tǒng)達到次最優(yōu)狀態(tài)。人工智能方法主要有模擬退火法、神經網絡法［1，7-8］、遺傳算法、專家系統(tǒng)等［9］。文獻［1，7-8］利用神經網絡來描述負荷模式和最優(yōu)網絡結構之間的映射關系。神經網絡利用其強大的非線性學習能力，通過對訓練樣本的學習，能夠根據輸入的負荷模式給出對應的最優(yōu)網絡結構類別，不需要進行潮流計算，可以在很短的時間得出結果。但它以經驗風險最小化為原則，其精度取決于樣本，因完整的樣本難以獲得，需要較長的時間來訓練樣本，容易出現過學習，難以保證泛化性能，且訓練結果不穩(wěn)定。

極限學習機ELM（Extreme Learning Machine）是2006年由新加坡南洋理工大學黃廣斌教授提出的一種新的單隱含層前向神經網絡SLFNs（Single-hidden Layer Feed-forward neural Networks）的學習機［9-10］。ELM保證網絡具有結構簡單、學習速度快的同時，利用Moore-Penrose廣義逆求解網絡權重，獲得較小的權重范數，避免了基于梯度下降學習方法而產生的諸多問題，如局部極小迭代次數過多、性能指標及學習率的確定等，可獲得良好的網絡泛化性能。ELM可用以反映配電網負荷模式與配電網最優(yōu)結構之間的非線性關系，已在多個領域得到了應用［11-14］。但是ELM仍是基于經驗風險最小化原理，在樣本數量有限情況下會導致過學習問題，而且訓練結果不穩(wěn)定。

本文結合統(tǒng)計學習理論中的結構風險最小化原則來改進ELM，提高其泛化能力，并將其應用于配電網重構，與ELM、BP神經網絡和支持向量機SVM（Support Vector Machine）［15］等方法比較其性能。

1 ELM基本原理

研究證實，對于N個不同實例的有限集，一個最多只需要N個隱含層節(jié)點的具有非線性連續(xù)激勵函數的SLFNs，就可以無誤差地逼近這N個實例［16-17］。基于此，黃廣斌提出的ELM算法如下。

給定 N 個學習樣本矩陣（xi，yi），ELM 對應連續(xù)的目標函數 f（xi），向量 xi=［xi1，xi2，…，xin］T?Rn，向量yi=［yi1，yi2，…，yim］T?Rm，i=1，2，…，N，且給定所構造網絡的L個單隱含層節(jié)點和隱含層節(jié)點激勵函數g（xi），則存在 βi、wi和 bi，使 SLFNs 能以 0 誤差逼近這N個樣本，則ELM模型由數學表示為：

應用于二分類的ELM數學模型為：

其中，j=1，2，…，N；網絡輸入權重向量 wi=［wi1，wi2，…，win］T，表示輸入節(jié)點與第i個隱含層節(jié)點連接權重；bi表示第i個隱含層節(jié)點的閾值；wi·xj表示向量wi和 xj的內積，隱含層節(jié)點參數 wi和 bi隨機在［-1，1］之間產生；網絡輸出權重向量 βi= ［βi1，βi2，…，βim］T，表示第i個隱含層節(jié)點與輸出節(jié)點連接權重；i=1，2，…，L。

由矩陣來表示N個式（1）為：

由文獻［11］定義，H為網絡隱含層輸出矩陣。由于L?N，H為非方陣，當任意給定wi和bi時，由Moore-Penrose廣義逆定理，求得唯一解H-1，則β為：

由線性最小二范數與式（4），可獲得矩陣H為：

其中，Y=［y1，y2，…，yN］。

由矩陣H及式（5）可得到解β，從而可確定ELM網絡參數，完成ELM網絡如圖1所示。由圖1可見，ELM網絡參數（隱含層節(jié)點數L、激勵函數g（x）和任意 wi、bi，x泛指任意輸入參數）只需一次設定，無需迭代調整，網絡訓練速度得到極大提高。

圖1 ELM網絡Fig.1 ELM network

2 結構風險最小化的ELM

由統(tǒng)計學習理論知，實際風險包括經驗風險和置信范圍。在有限的樣本下，置信范圍越大，實際風險與經驗風險之間的差別也越大，這就是機器學習會出現過學習的原因。神經網絡學習應同時考慮經驗風險和置信范圍最小，從而使實際風險最小，此即結構風險最小化準則。數學約束優(yōu)化模型可表示為：

將式（7）、（8）條件極值問題轉化為 Lagrange函數求解：

其中，α=［α1，α2，…，αN］，αj?Rm（j=1，2，…，N）代表Lagrange乘子。

式（9）分別對 β、ε 和 α 求偏導，并令其為 0，可得最小化條件：

由式（10）得：

其中，I為單元陣。

式（11）中只含有一個 L×L（L?N）矩陣的逆操作，所以計算β的速度非常快。

3 基于ELM的配電網模型重構

配電網絡多采用輻射型、環(huán)式或網格式結構方式，正常運行時以開環(huán)方式運行，聯絡開關一般處于斷開狀態(tài)。網損最小的配電網絡重構數學模型為：

其中，b為支路數；ki為開關i的狀態(tài)變量，是0-1離散量，0代表打開，1代表閉合；ri為支路 i的電阻；Pi、Qi為支路i末端流過的有功功率和無功功率；Ui為支路i末端的節(jié)點電壓；等式（13）為潮流方程，K為控制變量，即網絡開關狀態(tài)變量，M為狀態(tài)變量，包括P、Q、U等運行參數矢量；Ii和Iimax為支路i的電流和最大電流限值；Ujmin和Ujmax為節(jié)點電壓Uj的下限和上限值。

以網損最小化為目標的配電網重構，由于開關很多，難以用常規(guī)的數學模型直接建立負荷與網損最小時的開關狀態(tài)之間的關系。神經網絡可以反映配電網負荷模式與最優(yōu)結構之間的非線性關系，可以將配電網負荷模式作為輸入、相應的網損最小時的開關狀態(tài)作為輸出。

對于一個配電網絡，當每段負荷母線的負荷大小都為確定的負荷水平時就組成了一個負荷模式。若整個配電網有負荷母線n條，負荷劃分為p個水平，假定每條母線負荷變化不受其他因素影響，那么負荷模式就有pn個。若配電網開關有m個，則ELM輸入向量xi為n維，輸出yi為m維。每一個輸出分量與配電網中的一個開關相對應，用一組二進制數據來表示，0表示打開，1表示閉合。負荷水平可按表1劃分，表中負荷值為占峰值的百分數。

表1 配電網負荷水平分類Tab.1 Load levels of distribution grid

從配電網全部的負荷模式中確定網損最小時的開關拓撲結構，然后隨機選取一定數量分別作為訓練集和測試集，對ELM網絡進行訓練和測試，將輸出的開關狀態(tài)與最優(yōu)拓撲對比，驗證網絡的性能。具體重構流程如下。

a.根據配電網結構找出所有的負荷模式，選取一定數量的訓練集（X，Y）和測試集（X′，Y′），X 和 X′代表輸入的負荷模式集，Y和Y′代表輸出的開關狀態(tài)集。

b.選擇ELM的隱含層節(jié)點數組合Ls，結構風險最小化規(guī)則項常數集合γs，激勵函數g（x）選擇RBF函數：

c.訓練ELM，運用交叉驗證法選取最優(yōu)L和γ，得到ELM最優(yōu)網絡模型，若未達到要求，則改變集合Ls和γs，重新訓練，直至達到要求。

d.保存最優(yōu)ELM網絡模型，在不改變配電網的情況下，根據當前負荷模式，可快速地輸出網損最小時的開關組合狀態(tài)。

4 實驗仿真

ELM程序采用黃廣斌教授個人主頁上的ELM程序［18］，將結構風險最小化的 ELM 在 MATLAB7.0環(huán)境下進行編程仿真測試，實驗電腦配置為Windows XP，Intel（R） Pentium（R） Dual 1.60 GHz，1 G 內存。訓練和測試的樣本根據支路交換法原理［6］通過VC++6.0編程實現，得到各種負荷模式下的網損最小時的開關組合。支路交換法首先計算初始潮流和網損，利用潮流計算的結果將負荷用恒定電流表示，每次閉合兩端電壓差最大的聯絡開關形成一個環(huán)網，選擇打開環(huán)網中一個分段開關，使配電網恢復為輻射網，從而實現負荷轉移，達到負荷均衡和降低網損的目的。配電網重構的關鍵在于根據當前的負荷模式，找到合適的開關，改變網絡結構，達到網損最小。

4.1 算例1

選取文獻［7］中的12.66 kV的典型配電網三饋線試驗網絡，如圖2所示，含有16個母線節(jié)點（B1，B2，…，B16），13 個母線負荷分段開關（S1，S2，…，S13），初始斷開的 3 個聯絡開關（T14，T15，T16）。網絡參數如表2所示，表中負荷為接在母線末端的峰值負荷。該網絡為環(huán)狀結構，輻射狀運行。

圖2 配電網典型三饋線試驗網絡Fig.2 Typical experimental distribution grid with three feeders

表2 三饋線16節(jié)點網絡支路、負荷數據Tab.2 Branch and load data of a 3-feeder 16-bus grid

根據表1將負荷水平劃分為7類，共有負荷模式713種，但ELM網絡無法訓練這么龐大的負荷模式。為克服此困難，由文獻［7］知，表現出不同峰值時間的母線負荷具有不同的特征，如居民用電、商業(yè)用電、工業(yè)用電等，分別用1、2和3表示，并對算例1中的負荷類型進行分類，如表2所示。通常，類似的負荷特征具有相似的變化趨勢，配電網絡中不同的負荷類型只需要取其中一種就可反映整個配電網的變化情況。即使負荷具有混合類型特征，神經網絡也能夠識別。因此，將其類型特征考慮進去，對于母線負荷劃分為p個水平的配電網，其負荷水平組合降為p3個。算例1中，其負荷水平組合為73=343種，且此組合與系統(tǒng)大小無關。仍由文獻［7］知，實際中，通過基于負荷組合訓練得到的大量系統(tǒng)最優(yōu)拓撲結構是相似的，因此可以得到較少的系統(tǒng)統(tǒng)一的拓撲結構，并且遠小于開關數量。

首先在73個負荷水平組合模式下，隨機選擇3500個負荷組合，由支路交換法得到相應的最優(yōu)拓撲結構。將其中3000個負荷模式和其相應的網損最小時的開關組合，作為ELM的訓練集合，另外500個模式作為測試集合。ELM網絡的輸入為包含13個分量的向量，輸出為16個分量組成的開關狀態(tài)。激勵函數選為RBF高斯核函數，隱含層節(jié)點數組合Ls=［5，10，15，20，30，35，50］，規(guī)則項常數 γs=［500，100，50，10，1，0.1，0.01］，共有 7×7=49 種集合，采用循環(huán)程序將每一種組合代入到ELM中，進行交叉驗證參數尋優(yōu)。

經過實驗，可得結構風險最小化的ELM最優(yōu)參數組合為：L=62，γ=0.1，測試結果與支路交換法計算的結果差異14次，差異率為2.8%，滿足實際要求。若將測試的結果與實際結果作比較，一致時為0，差異時為1，則實際結果和測試結果誤差如圖3所示。最后將出現差異的測試模式用PSASP程序進行網損計算分析，僅6個模式也即只有1.2%的模式比支路交換法得到的結果略大，其他模式結果與支路交換法接近或略小。因此，基于結構風險最小化的ELM比支路交換法重構的效率更高，錯誤率更低。

圖3 測試誤差結果Fig.3 Result of test error

另外分別采用基于經驗風險最小化的ELM、SVM和BP神經網絡對上述配電網絡進行重構，訓練和測試樣本不變，各種方法均在調試的最優(yōu)情況下進行，性能比較結果如表3所示。可見，與SVM和BP神經網絡相比，基于結構風險最小化的ELM不僅泛化性能更好，而且速度是它們的幾十倍以上，適合于大規(guī)模實時控制；與基于經驗風險最小化的ELM相比，其測試正確率大幅提高，速度也基本相當。

表3 各種方法的性能比較Tab.3 Comparison of performance among different methods

4.2 算例2

選取美國PG&E的69節(jié)點配電系統(tǒng)［19］，如圖4所示，需要重構的配電系統(tǒng)有73條支路，初始斷開5個聯絡開關：T11-66、T13-20、T15-69、T27-54、T39-48（數據表示節(jié)點連接編號），構成樹形配電網絡，系統(tǒng)參數在此略去，詳見文獻［19］。

圖4 美國69節(jié)點配電網Fig.4 69-bus distribution grid of America

將負荷水平劃分為7類，采用算例1中的壓縮負荷模式的方法，同樣先用支路交換法得到ELM的負荷模式學習樣本3500個，分別選取其中2000個和3000個作為訓練樣本，另外均選取500個作為測試樣本，并用基于經驗風險最小化的ELM、SVM和BP神經網絡來進行網損最小化重構比較，用以檢驗基于結構風險最小化的ELM重構性能。如表4所示，增加訓練樣本情況下，雖然各種方法都可以降低重構錯誤率，提高泛化性能，實現全局逼近最優(yōu)，但SVM和BP神經網絡訓練時間則明顯增加很多，而基于結構風險最小化的ELM訓練時間只比基于經驗風險最小化時稍長一點。

表4 4種方法的重構性能比較Tab.4 Comparison of reconfiguration performance among four methods

5 結論

本文將結構風險最小化準則應用于新型的ELM神經網絡，根據負荷模式對配電網進行網損最小化重構，避免了使用傳統(tǒng)的啟發(fā)式方法每次負荷變化帶來的繁復迭代尋優(yōu)，并與SVM、BP神經網絡和基于經驗風險最小化的ELM的配電網重構效果進行比較，克服傳統(tǒng)神經網絡學習速度慢的問題，泛化性能更好，速度也與基于經驗風險最小化的ELM基本相當。ELM隨著訓練樣本的增加，重構效果更好，然而需要通過其他啟發(fā)式方法獲得大量且覆蓋面廣的學習樣本作為支持，并且隨著網絡結構的改變而需要重新訓練。