孟智慧，王 昌

MENG Zhi-hui,WANG Chang

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，包頭 014010）

0 引言

滾動軸承作為機械設(shè)備中最常用的零部件之一，其運行狀態(tài)直接影響到整臺機器的性能。在工程實踐中，滾動軸承的故障缺陷往往都不是單一的，常常同時發(fā)生幾種故障，形成復(fù)合故障。復(fù)合故障的特征分離和故障識別是故障診斷領(lǐng)域中一大難點，亦是一個亟待解決的問題[1]。

奇異值分解[2]（Singular value decomposition,SVD）主要用于信號降噪處理及周期成分的提取[3]，在機電設(shè)備振動信號處理和故障診斷領(lǐng)域已有應(yīng)用[4]。對于一維信號進(jìn)行SVD處理時要首先將信號構(gòu)造為矩陣的形式[5]，一般包括對信號連續(xù)截斷方式構(gòu)造的矩陣和重構(gòu)吸引子矩陣，為此趙學(xué)智對不同構(gòu)造形式矩陣的SVD分解進(jìn)行了研究，提出的多分辨SVD[6,7]可以獲得不同分辨率的近似和細(xì)節(jié)信號，在奇異性檢測和消噪方面都有一定優(yōu)勢，此外還有微弱特征提取的能力；同時利用SVD差分譜[8,9]可以自動的判定SVD分解有效分量的個數(shù)，保留了信號中有用成分，同時又最大限度的消除了噪聲。

本文提出基于多分辨SVD分解和SVD差分譜消噪的聯(lián)合SVD的故障診斷方法，首先利用多分辨SVD將復(fù)合故障信號進(jìn)行分解，然后再利用SVD差分譜對其進(jìn)行降噪，即可實現(xiàn)復(fù)合故障的特征信息分離和提取。通過對滾動軸承內(nèi)外圈復(fù)合故障信號的分析表明，該方法可以有效地分離和提取故障特征信息。

1 多分辨SVD

實矩陣A∈Rm×n,不論其行列是否相關(guān)，必定存在一對正交矩陣U=∈Rm×m和一個正交矩陣V=∈Rn×n，使得：

其中S=(diag(ó1,ó2,......óq),0)或者其轉(zhuǎn)置，這取決于m＜n還是m＞n，其中，A ∈Sm×n，0代表零矩陣，q=min(m,n),ó1≥ ó2≥......óq≥0,0,它們稱為矩陣A的奇異值。

借鑒小波多分辨分解的研究思想，利用SVD方法來獲得信號在不同層次空間、具有不同分辨率的分解結(jié)果，從而實現(xiàn)類似于小波分析那樣的可將信號分解到一系列不同層次子空間的多分辨率分解，稱為多分辨SVD分解[7]。

進(jìn)行SVD分解時首先要將一維信號序列構(gòu)造成矩陣的形式，欲實現(xiàn)信號的多分辨率SVD分解，矩陣的構(gòu)造采用了二分遞推構(gòu)造思想，即對信號序列Y=(y (1),y (2),......,y(N))按如下方式構(gòu)造矩陣

矩陣經(jīng)過SVD處理后，產(chǎn)生兩個奇異值，第一個奇異值較大，第二個奇異值較小，由此得到的信號分量對原始信號的貢獻(xiàn)量也有輕重之分。多分辨SVD的主要思想是先分離出對原始信號貢獻(xiàn)較小的分量，類似于小波分解時的細(xì)節(jié)信號（稱其為SVD細(xì)節(jié)信號，記為Dj），對原始信號貢獻(xiàn)較大的分量類似小波分解的近似信號（稱其為SVD近似信號，記為Aj），再對Aj繼續(xù)取行數(shù)為2構(gòu)造矩陣進(jìn)行下一層的SVD分解，逐次遞推，將原始信號分解為一系列SVD細(xì)節(jié)信號和近似信號，設(shè)原始信號為A0，其遞推SVD分解過程如圖1所示。

多分辨SVD可實現(xiàn)對信號的多層次分解，這種分解方法矩陣結(jié)構(gòu)簡單，計算量較小，不存在矩陣行數(shù)和列數(shù)選擇的難題。同時每次分解過程中分量始終為2個，不會造成能量的泄漏，即可將原信號的細(xì)節(jié)特征和主體信號以多層次展現(xiàn)出來，最后通過逆運算將一系列分解所得SVD近似及細(xì)節(jié)信號重構(gòu)出來。

圖1 信號二分遞推SVD分解過程

2 SVD差分譜

利用SVD對信號降噪，往往將信號構(gòu)造為Hankel矩陣，此時降噪效果最好[8]，離散數(shù)字信號構(gòu)造形式為：

式中1＜n＜N。令m=N-n +1，則A∈Rm×n，上述矩陣稱為重構(gòu)吸引子軌道矩陣。為實現(xiàn)對信號各成分的充分分離，要求Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)盡可能達(dá)到最大，故n=N/2，m=N/2+1。

對于SVD分解后的奇異值，按照從大到小的順序形成的序列為：

bi組成的序列稱為奇異值的差分譜，含噪信號構(gòu)造的Hankel 矩陣奇異值分解后，后面的q-k個奇異值明顯小于前k個奇異值，也就是說奇異值在第k個點發(fā)生突變，而前k個奇異值代表了要提取的理想信號。由于每一個奇異值對應(yīng)著一個分量信號，因此，只要選擇前面k個分量進(jìn)行簡單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號，而差分譜就可以有效的自動判斷最大突變點bk。

3 復(fù)合故障試驗分析

試驗系統(tǒng)由軸承試驗臺、壓電式加速度傳感器（美國PCB公司生產(chǎn)的627A61型ICP加速度傳感器）、數(shù)據(jù)采集儀（杭州億恒科技有限公司的MI6008型數(shù)據(jù)采集分析儀）、筆記本電腦組成。故障試驗臺如圖2所示，將正常和有故障軸承依次安裝在軸承試驗臺上，進(jìn)行試驗數(shù)據(jù)采集，將采集數(shù)據(jù)傳到電腦中，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析。

圖2 滾動軸承故障試驗臺

該試驗的滾動軸承型號為6307，電機轉(zhuǎn)速為1496r/min，采樣頻率為15360Hz，采樣點數(shù)是4096。利用線切割技術(shù)在軸承內(nèi)外圈各加工了一條寬為0.5mm，深為0.5mm的槽來模擬裂紋故障，從而形成復(fù)合故障，將故障軸承安裝在試驗臺末端軸承座上，加速度傳感器垂直安裝在末端軸承座上。經(jīng)計算，內(nèi)圈特征頻率為122.738Hz，外圈的特征頻率為76.728Hz。

圖3為滾動軸承內(nèi)圈裂紋和外圈裂紋復(fù)合故障信號的原始時域波形及希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜，從波形圖中可以看出信號有一定的沖擊，在希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜中，雖然可以找到75Hz和123.8Hz的頻率成分，但有強烈的干擾成分。將原始信號進(jìn)行4層多分辨SVD分解得到5個分量的波形如圖4所示。

圖3 軸承復(fù)合故障時域波形和希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

圖4 4層多分辨SVD分解

對D2分量構(gòu)造Hankel矩陣并進(jìn)行SVD分解，求其差分譜曲線如圖5所示，由于奇異值差分譜曲線的最大突變點在前段部分，后面的都趨于0。故只畫出前100個點的曲線。可以清楚的看到在第6個點出現(xiàn)了最大突變，故保留前6個奇異值，其余的置為0進(jìn)行SVD重構(gòu)，即可得到降噪后的信號波形如圖6所示，可以看到明顯的周期性沖擊，圖7所示為降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜，在圖中可以清楚的看到123.8Hz、243.8Hz...等頻率成分，與軸承內(nèi)圈的特征頻率122.738Hz及其倍頻非常接近，故可判斷滾動軸承存在內(nèi)圈故障。

圖5 D2分量的奇異值差分譜曲線

圖6 D2分量的奇異值差分譜降噪后的波形

圖7 D2分量降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

同樣，圖8所示為A4分量構(gòu)造Hankel矩陣后進(jìn)行SVD分解所求差分譜曲線，最大突變點為4，保留前4個奇異值進(jìn)行重構(gòu)得到降噪后的波形如圖9所示，對應(yīng)的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜如圖10所示。同樣圖中可以清楚的看到75Hz、153.8Hz...等頻率成分，這與軸承外圈的特征頻率76.728Hz及其倍頻非常接近，故可判斷該軸承外圈存在故障。上述結(jié)果表明，聯(lián)合SVD的復(fù)合故障診斷方法可以有效地分離和提取復(fù)合故障特征信息。

圖8 A4分量的奇異值差分譜曲線

圖9 A4分量的奇異值差分譜降噪后的波形

圖10 A4分量降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

4 結(jié)論

本文研究了將多分辨SVD分解和SVD差分譜降噪結(jié)合的聯(lián)合SVD復(fù)合故障診斷方法，通過對滾動軸承內(nèi)圈、外圈裂紋的復(fù)合故障試驗分析表明。該方法可以有效地分離軸承復(fù)合故障的特征頻率。

1）鑒于小波變換的思想，利用多分辨SVD的方法可以將信號分解為近似信號和細(xì)節(jié)信號，可用來分離信號。

2）利用SVD可以對含噪聲振動信號進(jìn)行有效降噪，而差分譜在降噪時可以自動確定SVD重構(gòu)時有效奇異值的個數(shù)。

3）將多分辨SVD分解和SVD差分譜降噪結(jié)合的聯(lián)合SVD故障診斷方法應(yīng)用于復(fù)合故障診斷中，可以有效地分離和提取滾動軸承復(fù)合故障特征信息。

[1] 王曉冬,何正嘉,訾艷陽.多小波自適應(yīng)構(gòu)造方法及滾動軸承復(fù)合故障診斷研究[J].振動工程學(xué)報,2010,23(4):438-443.

[2] AKRITAS A G,MALASCHONOK G I. Applications of singular value decomposition (SVD)[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2004,67(1):15-31.

[3] 呂志民,張武軍,徐金梧.基于奇異譜的降噪方法及其在故障診斷技術(shù)中的應(yīng)用[J].機械工程學(xué)報,1999,35(3):85-88.

[4] 李建,劉紅星,屈梁生.探測信號中周期性沖擊分量的奇異值分解技術(shù)[J].振動工程學(xué)報,2002,15(4):415- 418.

[5] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.矩陣構(gòu)造對奇異值分解信號處理效果的影響[J].華南理工大學(xué)學(xué)報,2008,36(9): 86-93.

[6] Xuezhi Zhao,Bangyan Ye. Similarity of signal processing effect between Hankel matrix-based SVD and wavelet transform and its mechanism analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2009,23(4):1062-1075.

[7] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.多分辨奇異值分解理論及其在信號處理和故障診斷中的應(yīng)用[J].機械工程學(xué)報,2010,46(20):64-75.

[8] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.基于小波—奇異值分解差分譜的弱故障特征提取方法[J].機械工程學(xué)報,2012,48(7):37-47.

[9] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.奇異值差分譜理論及其在車床主軸箱故障診斷中的應(yīng)用[J].機械工程學(xué)報,2010,46(1):100-108.