秦 亮 ，亓秀梅，高創(chuàng)寬

QIN Liang1,QI Xiu-mei1,GAO Chuang-kuan2

（太原理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，太原 030024；2. 杭州萬向職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

齒輪傳動應(yīng)用廣泛，在機械傳動中具有重要的地位。齒輪設(shè)計是以齒面接觸疲勞強度及齒根彎曲疲勞強度為設(shè)計準(zhǔn)則進(jìn)行尺寸計算和校核。傳統(tǒng)的設(shè)計方法設(shè)計周期長，效率低并與齒輪傳動的實際工況有一定差異，因為絕大多數(shù)齒輪傳動都在混合潤滑狀態(tài)下工作，即接觸載荷由潤滑油膜和齒面粗糙峰的直接碰撞共同承擔(dān)。這樣作用在每個嚙合點的齒面接觸載荷必然是隨機分布載荷。近年來，一些學(xué)者借助ANSYS軟件的強大分析功能及求解功能分析了齒輪彎曲應(yīng)力[1～6]，但分析過程中并未考慮潤滑作用。2010年，張延化和王優(yōu)強[7]分析了油膜壓力作用下的齒根彎曲應(yīng)力，然而仍未計及齒面粗糙度效應(yīng)。

本文首先基于實測所得試件的表面粗糙度數(shù)據(jù)，得出其數(shù)學(xué)模型；再利用多重網(wǎng)格法、多重網(wǎng)格積分法、逐列掃描法求得了油膜壓力；然后，在Pro/E中基于參數(shù)化功能進(jìn)行三維實體模型的建立，并將齒輪實體模型導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行有限元分析求解，獲得了真實粗糙齒面在混合彈流潤滑狀況下的齒輪彎曲疲勞強度的情況。從理論上探討了潤滑油膜與齒面粗糙度對齒輪彎曲疲勞強度的綜合影響。

1 粗糙齒面壓力分布計算

1.1 基本方程

1.1.1 Reynolds方程

潤滑劑選Ree-Eyring型非牛頓流體，其非穩(wěn)態(tài)線接觸彈流潤滑的Reynolds方程為[8]：

Reynolds方程的邊界條件為：

式中，xin、xout分別為計算域始、終點坐標(biāo)。

1.1.2 油膜厚度方程

假設(shè)齒輪a為粗糙齒面，齒輪b為光滑齒面，則齒面間的油膜厚度為：

式中，h∞(t)—剛體中心膜厚；

R( t)—嚙合點處的綜合曲率半徑；

Sa(x,t)—齒面a的粗糙度函數(shù)；

E'— 兩輪齒材料的綜合彈性模量。

本文應(yīng)用Taylor Hobson公司生產(chǎn)的粗糙度輪廓測量分析儀，選用輪廓算術(shù)平均偏差Ra=0.26（μm)的試塊，測得其表面真實粗糙度數(shù)據(jù)；然后借助MATLAB中的Curve Fitting功能，利用快速傅立葉變換獲得了形如下式的齒面粗糙度函數(shù)：

由式（4）可得粗糙度函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 粗糙度函數(shù)曲線

1.1.3 黏度方程

需要說明的是，基本方程中還包括密度方程、能量方程、熱傳導(dǎo)方程及載荷方程等，其推導(dǎo)與建立詳見文獻(xiàn)[8,9] ，在此不再贅述。

1.2 粗糙齒面油膜壓力計算示例

某工業(yè)齒輪傳動及其所用潤滑劑參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動及潤滑劑基本參數(shù)

基于表1中參數(shù)，采用多重網(wǎng)格法、多重網(wǎng)格積分法、逐列掃描法[8]獲得了沿齒輪傳動嚙合線五個特殊點：嚙入點、雙齒變單齒、節(jié)點、單齒變雙齒、嚙出點處的粗糙齒面油膜壓力分布。圖2為五個特殊嚙合點處的計算結(jié)果。

圖2 五個特殊點處齒面油膜壓力分布

2 齒輪建模及有限元分析

2.1 齒輪參數(shù)化建模

在齒輪三維建模中，輪廓漸開線的生成是最核心、最重要的環(huán)節(jié)，齒輪模型的準(zhǔn)確與否直接影響到有限元計算結(jié)果的正確性。本文在Pro/E中進(jìn)行了齒輪參數(shù)化建模，在Pro/E中根據(jù)式（6）所示方程繪制了漸開線曲線，創(chuàng)建完整的齒輪模型。應(yīng)用Pro/E的全參數(shù)化特性，可直接修改參數(shù)值，再生之后，生成另一齒輪。

2.2 ANSYS有限元分析

鑒于本文的載荷施加區(qū)為單個輪齒的Hertz區(qū)域，且計算所關(guān)注的區(qū)域僅為輪齒的齒根部位。根據(jù)圣維南原理，可只取整個齒輪模型的3個輪齒作為研究對象。簡化后的計算模型如圖3所示。本文將Pro/E文件以IGES保存，并在ANSYS中通過Import導(dǎo)入文件。

圖3 簡化的齒輪三維模型

2.2.1 前處理

選擇單元類型為solid185，定義材料彈性模量和泊松比分別為2.1E5 (MPa)與0.28。利用輔助圓柱面使其分為兩部分，采用體掃掠生成網(wǎng)格，最終生成了160280個單元、173102個節(jié)點。生成后的網(wǎng)格如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格劃分

對齒輪軸孔圓柱面施加全約束，兩個切割面施加對稱約束。齒輪在傳動中，理論上為線接觸，但因在齒面壓力作用下會產(chǎn)生彈性變形，故將加載區(qū)域設(shè)置成寬為兩個Hertz半寬的狹窄接觸帶，在區(qū)間表面施加如前計算所得的粗糙齒面油膜壓力。

2.2.2 求解及后處理

下文以輪齒在節(jié)點嚙合為例進(jìn)行闡述。對齒輪進(jìn)行靜力學(xué)分析，應(yīng)力云圖如圖5所示，可見最大應(yīng)力在加載處，最大等效應(yīng)力值為652.261(MPa)，最大位移為0.042 (mm)。

圖5 齒輪應(yīng)力云圖

2.2.3 五個特殊嚙合點處計算結(jié)果比較與分析

對于表1所給齒輪傳動，沿其傳動嚙合線五個特殊嚙合點處的計算結(jié)果如表2所示。

表2 五個特殊點的計算結(jié)果

為了獲取不同齒輪模型的計算結(jié)果，本文在完成上述算例的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了兩個算例的計算。兩個算例計算的絕大多數(shù)輸入?yún)?shù)維持表1所給參數(shù)不變，僅對少數(shù)參數(shù)做了變動，變動條件分別如下：算例2的變動參數(shù)為：齒數(shù)分別為50、200，模數(shù)為10（mm），小齒輪轉(zhuǎn)速為446.7244(r.p.m)，單位齒寬載荷為1.2072×106(N/m)；算例3的變動參數(shù)為：齒數(shù)分別為30、60，模數(shù)為 10（mm），小齒輪轉(zhuǎn)速744.5407 (r.p.m)，單位齒寬載荷為6.0358×105(N/m)。計算結(jié)果分別列于表3和表4中。

表3 算例2五個特殊點的計算結(jié)果

表4 算例3五個特殊點的計算結(jié)果

2.3 不同加載方式下計算結(jié)果的比較與分析

為了比較、分析不同加載方式對齒根彎曲應(yīng)力的影響，在單齒變雙齒嚙合點施加Hertz壓力進(jìn)行有限元計算；與此同時，按照現(xiàn)行的齒根應(yīng)力計算方法[10]進(jìn)行了相應(yīng)對比。對應(yīng)的計算結(jié)果列于表5表6中。

表5 不同加載方式下最大齒根彎曲應(yīng)力

表6 理論計算值

3 結(jié)論

1）在齒輪傳動過程中，考慮了齒面粗糙度的影響，應(yīng)用彈流潤滑理論，以油膜壓力作為加載項，齒根彎曲應(yīng)力隨著嚙合位置不同而不斷變化，沿著嚙合線從嚙入點到嚙出點呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。齒根彎曲應(yīng)力的最大值發(fā)生在單齒嚙合變?yōu)殡p齒嚙合的臨界點。

2）粗糙齒面的油膜壓力對于齒根彎曲應(yīng)力的影響遠(yuǎn)大于Hertz應(yīng)力對于齒根彎曲應(yīng)力的影響，以粗糙齒面油膜壓力作為加載項時計算的齒根彎曲應(yīng)力最接近理論計算結(jié)果。

3）傳統(tǒng)計算方法所得的應(yīng)力值最大，所以以此進(jìn)行齒根彎曲應(yīng)力的校核計算是偏安全的。

4）通過實例可知以油膜壓力作為加載項計算齒根彎曲應(yīng)力更符合實際工況，計算結(jié)果較為精確，對于齒輪傳動過程中的應(yīng)力分析具有一定借鑒作用。

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