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        用八進(jìn)制解課本的一道數(shù)列題

        2013-10-16 06:26:52陳保軍
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年7期

        陳保軍

        人教版必修5第34頁有一道數(shù)列題:下圖中的三個(gè)正方形

        塊中,著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng),請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)及其通項(xiàng)公式。

        通過觀察圖像特點(diǎn)

        相鄰的兩項(xiàng)有如下的關(guān)系:an=8an-1+1(n≥2)(1)

        求該數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),我們習(xí)慣用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。設(shè)an+x是公比為8的等比數(shù)列,則有an+x=8(an-1+x),整理得:an=8an-1+7x,與(1)式比較得x=■,新數(shù)列的首項(xiàng)為a1+x=■,構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)公式為an+■=■×8n-1,所以,an=■。

        除了上述解法,我們來探索一種新的解法。通過(1)式的特點(diǎn),我們是不是可以用八進(jìn)制來表示該數(shù)列呢?首先讓我們來熟悉一下八進(jìn)制及其簡單運(yùn)算性質(zhì)。

        八進(jìn)制縮寫OCT或O,是一種計(jì)數(shù)法,采用0,1,2,3,4,5,6,7八個(gè)數(shù)碼,逢八進(jìn)位。以下用()8表示八進(jìn)制數(shù),沒有標(biāo)識(shí)的為十進(jìn)制數(shù)。例如:9在八進(jìn)制中記為(11)8,8記為(10)8,(32)8=3×81+2×80=26,9×8=(11)8×(10)8=(110)8,(111)8×7=(777)8,(1000)8=1×83。

        我們來用八進(jìn)制來表示該數(shù)列的每一項(xiàng),

        a1=1=(1)8,

        a2=8×a1+1=(1)8×(10)8+1=(11)8,

        a3=8×a2+1=(11)8×(10)8+1=(111)8,

        (上式特點(diǎn)a3共三位,每一位都為1)

        an=8×an-1+1=■8×(10)8+1=■8,

        下來我們探討一下求解的方法,我們知道十進(jìn)制中逢十進(jìn)一,999+1=1000=103,類比十進(jìn)制,■8+1=■8=8n,■8=

        8n-1。

        an=■8=■×■8=■,

        接下來對(duì)(1)式稍作變動(dòng),進(jìn)一步理解利用八進(jìn)制解決類似的數(shù)列問題。

        (2)式a1=1

        an=8an-1+2

        (3)式a1=2

        an=8an-1+1

        先用八進(jìn)制表達(dá)(2)式數(shù)列

        a1=1=(1)8,

        a2=8×a1+2=(1)8×(10)8+2=(12)8,

        a3=8×a2+2=(12)8×(10)8+2=(122)8,

        a4=8×a3+2=(122)8×(10)8+2=(1222)8,

        (上式特點(diǎn)a4共四位,首位為1,2占3位)

        an=8×an-1+2=■8×(10)8+2=■8=■8

        再利用八進(jìn)制求解,

        an=■8=■8+■8=8n-1+■×(8n-1-1)=■

        對(duì)(3)式的求解,請(qǐng)有興趣的讀者自己寫一寫,這里不再

        贅述。

        本題的遞歸思想在其他領(lǐng)域中又有何意義呢?

        它提供我們一種近似求不規(guī)則物體體積的方法。想象一個(gè)立方體,我們最少可以切成多少個(gè)相同等分的小立方體呢?答案是8個(gè)。對(duì)于一個(gè)物體,我們總可以將它封裝在一個(gè)正方體中,先切成八個(gè)小立方體,不妨稱為子塊。子塊分三類,不含任何物體的子塊稱為“白塊”,子塊部分中含有物體的稱為“灰塊”,完全含有物體的子塊稱為“黑塊”。對(duì)于每次分割子塊,我們作如下處理:排除掉白塊,將黑塊體積累加,灰塊繼續(xù)切成8個(gè)的小立方體……,如此下去。利用計(jì)算機(jī),按照這種思路,我們?cè)O(shè)定一個(gè)體積數(shù),低于該體積值,就停止計(jì)算。這樣我們就能近似計(jì)算物體的體積了。同樣,按照這種思路,我們四等分正方形,就可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積了。同樣,在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域內(nèi)的八叉樹等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),都與八進(jìn)制有關(guān),請(qǐng)有興趣的讀者自己研究。

        (作者單位 河北省保定市鐵路第一中學(xué))

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