陳保軍

人教版必修5第34頁有一道數(shù)列題：下圖中的三個(gè)正方形

塊中，著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)及其通項(xiàng)公式。

通過觀察圖像特點(diǎn)

■

相鄰的兩項(xiàng)有如下的關(guān)系：an=8an-1+1（n≥2）（1）

求該數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們習(xí)慣用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。設(shè)an+x是公比為8的等比數(shù)列，則有an+x=8（an-1+x），整理得：an=8an-1+7x，與（1）式比較得x=■，新數(shù)列的首項(xiàng)為a1+x=■，構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)公式為an+■=■×8n-1，所以，an=■。

除了上述解法，我們來探索一種新的解法。通過（1）式的特點(diǎn)，我們是不是可以用八進(jìn)制來表示該數(shù)列呢？首先讓我們來熟悉一下八進(jìn)制及其簡單運(yùn)算性質(zhì)。

八進(jìn)制縮寫OCT或O，是一種計(jì)數(shù)法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八個(gè)數(shù)碼，逢八進(jìn)位。以下用（）8表示八進(jìn)制數(shù)，沒有標(biāo)識(shí)的為十進(jìn)制數(shù)。例如：9在八進(jìn)制中記為（11）8，8記為（10）8，（32）8=3×81+2×80=26，9×8=（11）8×（10）8=（110）8，（111）8×7=（777）8，（1000）8=1×83。

我們來用八進(jìn)制來表示該數(shù)列的每一項(xiàng)，

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+1=（1）8×（10）8+1=（11）8，

a3=8×a2+1=（11）8×（10）8+1=（111）8，

（上式特點(diǎn)a3共三位，每一位都為1）

an=8×an-1+1=■8×（10）8+1=■8，

下來我們探討一下求解的方法，我們知道十進(jìn)制中逢十進(jìn)一，999+1=1000=103，類比十進(jìn)制，■8+1=■8=8n，■8=

8n-1。

an=■8=■×■8=■，

接下來對(duì)（1）式稍作變動(dòng)，進(jìn)一步理解利用八進(jìn)制解決類似的數(shù)列問題。

（2）式a1=1

an=8an-1+2

（3）式a1=2

an=8an-1+1

先用八進(jìn)制表達(dá)（2）式數(shù)列

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+2=（1）8×（10）8+2=（12）8，

a3=8×a2+2=（12）8×（10）8+2=（122）8，

a4=8×a3+2=（122）8×（10）8+2=（1222）8，

（上式特點(diǎn)a4共四位，首位為1，2占3位）

an=8×an-1+2=■8×（10）8+2=■8=■8

再利用八進(jìn)制求解，

an=■8=■8+■8=8n-1+■×（8n-1-1）=■

對(duì)（3）式的求解，請(qǐng)有興趣的讀者自己寫一寫，這里不再

贅述。

本題的遞歸思想在其他領(lǐng)域中又有何意義呢？

它提供我們一種近似求不規(guī)則物體體積的方法。想象一個(gè)立方體，我們最少可以切成多少個(gè)相同等分的小立方體呢？答案是8個(gè)。對(duì)于一個(gè)物體，我們總可以將它封裝在一個(gè)正方體中，先切成八個(gè)小立方體，不妨稱為子塊。子塊分三類，不含任何物體的子塊稱為“白塊”，子塊部分中含有物體的稱為“灰塊”，完全含有物體的子塊稱為“黑塊”。對(duì)于每次分割子塊，我們作如下處理：排除掉白塊，將黑塊體積累加，灰塊繼續(xù)切成8個(gè)的小立方體……，如此下去。利用計(jì)算機(jī)，按照這種思路，我們?cè)O(shè)定一個(gè)體積數(shù)，低于該體積值，就停止計(jì)算。這樣我們就能近似計(jì)算物體的體積了。同樣，按照這種思路，我們四等分正方形，就可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積了。同樣，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域內(nèi)的八叉樹等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，都與八進(jìn)制有關(guān)，請(qǐng)有興趣的讀者自己研究。

（作者單位 河北省保定市鐵路第一中學(xué)）