王婧林， 李俊山

(第二炮兵工程大學(xué) 信息工程系，西安 710025)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種成像傳感器的應(yīng)用正在迅速增加。數(shù)字圖像處理技術(shù)也進(jìn)入了應(yīng)用的新時(shí)代，如圖像增強(qiáng)、復(fù)原、壓縮與識(shí)別等。盡管許多成像系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)聚焦，但離焦模糊現(xiàn)象仍然存在[1]。離焦現(xiàn)象是一種由攝像機(jī)和物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)造成的常見圖像退化現(xiàn)象。對(duì)離焦模糊圖像的復(fù)原技術(shù)一直是國內(nèi)外圖像處理領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容[2]。

常用成像系統(tǒng)的離焦模型描述離焦現(xiàn)象。典型離焦模型由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其參數(shù)組成。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)描述輸入物為一點(diǎn)光源時(shí)其輸出像的光場(chǎng)分布。對(duì)于理想的成像系統(tǒng)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)通?？擅枋鰹閷⑽锟臻g中的一點(diǎn)映射于成像空間中的一點(diǎn)。但當(dāng)圖像發(fā)生離焦現(xiàn)象時(shí)，該物空間中的一點(diǎn)將映射于像空間中的具有不同光強(qiáng)的點(diǎn)集。

典型的離焦圖像復(fù)原方法是選擇離焦模型(如圓盤離焦模型)并在圖像的變換域(如頻域)內(nèi)尋找零點(diǎn)位置確定模型參數(shù)，后通過逆變換獲得清晰圖像[3－5]。該方法需要手動(dòng)選擇離焦模型，因此難以在自動(dòng)圖像處理系統(tǒng)和批量圖像處理系統(tǒng)中應(yīng)用。為了解決該問題，筆者提出一種改進(jìn)的離焦模型，該模型根據(jù)離焦圖像的圓對(duì)稱性估算離焦的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其參數(shù)。

1 技術(shù)背景

首先回顧圖像退化模型。成像區(qū)域內(nèi)對(duì)象的不同深度將導(dǎo)致產(chǎn)生離焦圖像。目前，常用于描述該現(xiàn)象的退化模型如圖1所示。圖1中g(shù)(x，y)是退化圖像，f(x，y)是原始圖像，h(x，y)是成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n(x，y)是加性噪聲。添加的噪聲影響原始圖像，并在某些情況下，產(chǎn)生退化圖像。而圖像復(fù)原是圖像退化的逆過程[6]。

圖1 圖像退化模型Fig.1 Degradation model

如果成像系統(tǒng)是不變的線性移動(dòng)，退化過程可表示為式(1):

相應(yīng)的頻域表達(dá)式如式(2)所示:

由上述分析可知，根據(jù)離焦模型，通過逆變換離焦圖像即可實(shí)現(xiàn)圖像復(fù)原，其關(guān)鍵是如何確定離焦模型，即點(diǎn)退化函數(shù)及其參數(shù)。下面分析典型的離焦模型及其點(diǎn)退化函數(shù)，即圓盤離焦模型和高斯離焦模型。

1.1 經(jīng)典圓盤離焦模型

經(jīng)典圓盤離焦模型源于幾何光學(xué)關(guān)于離焦圖像方面的研究。幾何光學(xué)表明:物空間中的一點(diǎn)通過理想成像系統(tǒng)后在圖像空間中將形成與之對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)，然而，當(dāng)現(xiàn)實(shí)中由物面、鏡面或成像平面造成的距離不滿足高斯成像公式時(shí)，該像點(diǎn)實(shí)際將形成一圓盤[3]。該過程的原理如圖2所示。其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以近似為圓盤函數(shù):

式中，需要求解的模糊半徑r是唯一的未知參數(shù)。半徑確定后，能夠在頻域內(nèi)得到退化函數(shù)的表達(dá)式。然后，通過相應(yīng)的濾波器可以導(dǎo)出原始圖像的頻域表達(dá)式，并且通過逆傅里葉變換實(shí)現(xiàn)圖像復(fù)原。

為確定模糊半徑r，對(duì)式(3)所給的退化模型進(jìn)行傅里葉變換，得到:

式中，J1(·)為一階第一類Bessel函數(shù)，且二維傅里葉變換的尺寸為M×N。根據(jù)一階第一類Bessel函數(shù)的性質(zhì)可知H(u，v)位于頻域的第一個(gè)暗環(huán)中，第一個(gè)零點(diǎn)的軌跡如式(4)所示:

對(duì)于一個(gè)相對(duì)較小的噪聲，通過式(4)可知:如果找到u，v是對(duì)應(yīng)于離焦模糊圖像傅里葉變換的第一個(gè)零(暗環(huán))，那么r可以通過式(4)求得。

圖2 圓盤離焦模型原理Fig.2 Schematic of disk defocus

1.2 高斯積分離焦模型

高斯積分離焦模型與圓盤離焦模型間有差異。它不是來源于光學(xué)知識(shí)，而是通過考慮各種因素得到的一個(gè)近似模型，高斯積分離焦模型的原理如圖 3所示[3]。

相應(yīng)公式可表達(dá)為

在式(5)中，模糊半徑σ是唯一的未知參數(shù)，其決定于離焦模糊圖像。進(jìn)而可以通過濾波得到離焦復(fù)原。通過離焦模糊圖像的零焦點(diǎn)求得參數(shù)的方法不適合高斯模型。它可以通過空間域邊緣函數(shù)曲線的檢測(cè)而得到。從式(5)的積分公式可知，線擴(kuò)散函數(shù)仍然服從高斯分布，如式(6)所示

同時(shí)，從式(5)的積分公式可獲得邊緣函數(shù):

圖3 高斯離焦模型Fig.3 Schematic of Gaussian defocus

2 離焦模型的改進(jìn)

認(rèn)知心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，人的肉眼對(duì)邊緣的反應(yīng)比對(duì)點(diǎn)和線的反應(yīng)更敏感;同時(shí)，邊緣在成像系統(tǒng)中直邊物體的反應(yīng)也很容易獲得;基于上述原因，文中通過對(duì)直邊物體的反應(yīng)得到線擴(kuò)散函數(shù)。然而，將線擴(kuò)散函數(shù)用于任意成像系統(tǒng)是困難的。因?yàn)?，任意系統(tǒng)在像空間內(nèi)不同方向上的線擴(kuò)散函數(shù)不盡相同，即線擴(kuò)散函數(shù)不能完全反映所有系統(tǒng)的特征，而需要從不同方向衡量其有效性。但當(dāng)系統(tǒng)為圓對(duì)稱時(shí)，即在像空間內(nèi)各方向均對(duì)稱時(shí)，線擴(kuò)散函數(shù)可完全描述系統(tǒng)特征[7]。文中研究通過線擴(kuò)散函數(shù)作為描述圓對(duì)稱系統(tǒng)的離焦模型函數(shù)。

如前所述，對(duì)于圓系統(tǒng)中的逆阿貝爾變換，任意方向的線擴(kuò)散函數(shù)可以決定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。假設(shè)，圓對(duì)稱情況下的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)具有如下形式:

相反，利用線擴(kuò)散函數(shù)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，可以定義邊緣函數(shù)

則點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù):

合并方程(8)和(9)可以得到

式(10)表示的是逆阿貝爾變換。將式(10)帶入式(7)可以得到阿貝爾變換

在計(jì)算過程中，積分的上限可設(shè)為模糊半徑R(由于其圓對(duì)稱性，在一個(gè)有限的圓形區(qū)域，h(x，y)可以非零)。

采用式(11)計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，需要估計(jì)系統(tǒng)的模糊半徑R。一種可行的方法是通過高斯分布的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)近似估計(jì)模糊半徑R。并由引人注目的高斯模型參數(shù)確定σ。而后，令R0=2σ為模糊半徑的初始值，通過斐波納契最優(yōu)搜索法得知R的實(shí)際值接近于R0。

3 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證方法的有效性，文中將提出的離焦模型應(yīng)用于經(jīng)典的離焦模糊圖像復(fù)原算法中[3，6]。該算法以高斯分布點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)近似估計(jì)模糊半徑R，然后確定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)并進(jìn)行離焦復(fù)原。文中將上述算法用于實(shí)際圖片并與采用圓盤離焦模型和高斯離焦模型的算法所得結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4所示。為了便于對(duì)比，各復(fù)原圖片中的局部被原尺寸展示于圖5。將復(fù)原圖片與對(duì)應(yīng)的清晰圖片(圖5a)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，采用增強(qiáng)離焦模型的復(fù)原圖像較采用圓盤模型和高斯模型的復(fù)原圖像更加清晰。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experiment results

圖5 局部圖片F(xiàn)ig.5 Lccal image

4 結(jié)束語

當(dāng)前研究常用離焦模型描述離焦模糊現(xiàn)象。離焦模型由點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其參數(shù)組成。常用的離焦圖像復(fù)原方法使用離焦模型逆變換獲得清晰圖像。為此，需要預(yù)先選擇離焦模型，并通過分析離焦圖像獲得模型參數(shù)。文中分析對(duì)比了目前常見的離焦模型(圓盤模型和高斯模型)，并針對(duì)這些模型往往不能準(zhǔn)確描述離焦模糊現(xiàn)象的問題，提出一種改進(jìn)的離焦模型。該模型根據(jù)離焦圖像的圓對(duì)稱性估算離焦的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其參數(shù)，從而準(zhǔn)確描述離焦現(xiàn)象。該模型被應(yīng)用于典型的離焦復(fù)原算法中，真實(shí)圖像實(shí)驗(yàn)證明了該模型的有效性。

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