王美吉，潘狀元

(哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150080)

1 引言

考慮非線性算子方程

其中:F:D(F)?X→Y，X，Y為 Hilbert空間.F是Frechet可微.

這里考慮算子方程的解不連續(xù)依賴于右端數(shù)據(jù)的情況.由于不穩(wěn)定性并且在實(shí)際問題中只有近似數(shù)據(jù)yδ滿足

這里為測(cè)量誤差δ＞0的界.

對(duì)于此類非線性問題的解法，一般通過正則化方法來(lái)得到其解的近似.由于非線性不適定問題在生活中的廣泛應(yīng)用，已經(jīng)成為橫跨應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算

數(shù)學(xué)兩個(gè)學(xué)科的真正的研究領(lǐng)域［1］.其理論研究大致有以下幾個(gè)方面如 Tikhonov正則化方法，最大嫡方法，有限維逼近等［2－5］.對(duì)于非線性問題人們對(duì)Landweber迭代法給予了很大關(guān)注，文獻(xiàn)［5］證明了Frogen Landweber迭代法的收斂性并進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn).

由于在實(shí)際問題中，算子一般也是經(jīng)測(cè)量而獲得的近似值，或是由離散過程而得到的原算子的一個(gè)有限維的逼近，因此真正要求解的是式(1)的一個(gè)近似方程

其中:h表示Fh逼近F的程度，假定滿足

因此，在考慮Landweber迭代時(shí)，也應(yīng)考慮算子亦有擾動(dòng)的情況.

假定擾動(dòng)算子Fh仍保持算子F的Frechet可微且F'h在D(F)上一致收斂于F'(當(dāng)h→0)，本文在前人研究成果基礎(chǔ)上提出了非線性算子方程算子與右端皆有擾動(dòng)的Landweber迭代法.迭代格式為

按廣義誤差準(zhǔn)則

來(lái)確定迭代終止步k*，則迭代序列{xδhk*}收斂到

不失一般性，假定

其中:βρ(x0)為以x0為中心，ρ＞0的開球.

2 單調(diào)性分析

對(duì)于上述迭代格式，本文以m=2為例，理論驗(yàn)證此迭代格式的收斂性.則此迭代帶格式可以改寫成引理1［6］如果式(3)成立，x*是方程(1)在 βρ(x0)中的一個(gè)解，那么任意解∈βρ(x0)滿足，，反之亦然，N(·)表示算子的核空間.

引理 2［7－8］假設(shè) x*為式(1)在 βρ(x0)中的一個(gè)解，對(duì)于擾動(dòng)數(shù)據(jù)滿足‖yδ－y‖≤δ，k*是按廣義誤差準(zhǔn)則(4)所確定的迭代終止步.若條件(3)、(5)成立，則有

當(dāng)δ=h=0時(shí)

證明:由引理2知，

由式(4)和假設(shè)條件有

證明方法見文獻(xiàn)［5］.

3 收斂性分析

定理2 如果在Bρ/2(x*)中滿足式(3)、(5)，算子方程(1)可解，則xk收斂到式(1)的一個(gè)解x*∈Bρ/2(x*).若x+是離x0最近的惟一解，且N(F'(x+))?(F'(x))，成立，則xk收斂到x+.

證明:令ek:x*－xk

由定理1知{‖ek‖}單調(diào)下降，下界為某ε≥0，下證{ek}是 Cauchy 列.對(duì) j≥k，取 l(j≥l≥k)使成立

由三角不等式，有

下證明(el－ek，el)也收斂到零(當(dāng)k→∞時(shí))改寫

由引理 2 推知，當(dāng) k，l→∞ 時(shí) xl，1－ xl，xk，1－ xk趨于零.令

由此得{ek}為 Cauchy列，所以{xk}也為Cauchy列.設(shè) xk→x*，又因?yàn)?F(xk)→y(k→∞)，從而x*為式(1)的解.若式(1)有惟一的距x0最近的解，則x+滿足

對(duì)任何 k=0，1，2，…若，N(F'(x+))?N(F'(xk))，則有

證畢.

定理3 在定理2的前提條件下，方程(1)可解，取h=0，擾動(dòng)終止于K*(δ).那么當(dāng) δ→0時(shí)，收斂到式(1)的解.

證明參見文獻(xiàn)［5］中命題3.

定理4 假設(shè)條件(3)(5)成立，方程(1)可解，則當(dāng) h→0，δ→0 時(shí)，xδhk*收斂到(1)的解.

用歸納法易證，上式第一項(xiàng)當(dāng)h→0時(shí)趨于零，而由定理3，第二項(xiàng)當(dāng)δ→0時(shí)也是趨于零的，從而

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)非線性不適定問題的求解，本文首先從Frozen Landweber迭代法入手，提出非線性算子和右端數(shù)據(jù)皆有擾動(dòng)的Landweber迭代法.并且對(duì)所提出的迭代格式給出了收斂性證明.從理論分析可以看出，F(xiàn)rozen Landweber迭代法確實(shí)是求解非線性不適定算子方程的一種簡(jiǎn)單而穩(wěn)定的方法，適合于處理算子與右端數(shù)據(jù)皆有擾動(dòng)的實(shí)際問題，并且避開了Tikhonov正則化方法正則參數(shù)選取困難以及傳統(tǒng)的Langweber迭代法收斂太慢的問題.不足之處是沒有對(duì)此迭代格式進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，這將是下一步進(jìn)行的工作.

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