許成謙,路江海

(燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

0 引 言

近年來,準(zhǔn)同步碼分多址(AS-CDMA：Approximately Synchronized-Code Division Multiply Access)引起了人們的廣泛關(guān)注。在AS-CDMA通信系統(tǒng)中,同步誤差控制在一定的范圍內(nèi)(一個(gè)或幾個(gè)碼片周期),相應(yīng)地要求擴(kuò)頻序列在同步誤差范圍內(nèi)具有或接近理想相關(guān)特性,以減小甚至消除共道干擾和多徑干擾[1]。針對(duì)上述情況,文獻(xiàn)[2,3]給出了零相關(guān)區(qū)的概念,構(gòu)造很多能滿足要求的ZCZ(Zero Correlation Zone)序列集。序列偶理論的提出進(jìn)一步拓寬了擴(kuò)頻序列的存在空間[4]。序列偶的理論改變了傳統(tǒng)相關(guān)檢測(cè)的做法,把序列偶中的一個(gè)序列作為發(fā)射端的擴(kuò)頻序列,而另一個(gè)序列作為接收端的擴(kuò)頻序列。文獻(xiàn)[5]利用迭代法、級(jí)聯(lián)法和遞歸構(gòu)造出二元ZCZ序列偶,給出ZCZ序列偶存在的必要條件和理論界。劉凱等[6]提出利用差集偶構(gòu)造二元ZCZ序列偶集。文獻(xiàn)[7,8]將屏蔽序列偶應(yīng)用于低/零相關(guān)區(qū)中,構(gòu)造出屏蔽低/零相關(guān)區(qū)序列偶集,把偽隨機(jī)序列應(yīng)用到ZCZ序列偶中,提出了三元的ZCZ序列偶集的構(gòu)造方法[9]。文獻(xiàn)[10]把序列偶集的構(gòu)造擴(kuò)展到了多相。后來一些學(xué)者用遞歸[11]、移位和用酉矩陣擴(kuò)展[12]等方法構(gòu)造了大容量的ZCZ序列偶集。把序列偶的理論應(yīng)用到陣列偶中[13,14],構(gòu)造出ZCZ陣列偶集。筆者給出了新的序列偶集合的構(gòu)造方法,得出的ZCZ序列偶集,通過減小零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度即可增大序列偶的數(shù)量,從而增加用戶的數(shù)量。

1 基本概念

定義1 設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)是兩個(gè)長(zhǎng)度為N的序列,a,b組成一個(gè)序列偶,記為(a,b),如果序列偶(a,b)自相關(guān)函數(shù)滿足

(1)

定義2 設(shè)(a,b),(c,d)是周期長(zhǎng)度為N的序列組成的序列偶,則序列偶(a,b)和(c,d)的周期互相關(guān)函數(shù)定義為

(2)

定義3T是含有M個(gè)序列偶的集合,T={(a0,b0),(a1,b1),…,(aM-1,bM-1)},集合中組成序列偶的序列周期為N,如果任意兩個(gè)序列偶的周期相關(guān)函數(shù)滿足關(guān)系式

(3)

則集合T是一個(gè)(N,M,Z)-ZCZ序列偶集。其中N是集合中構(gòu)成序列偶的序列長(zhǎng)度,M是集合中序列偶的個(gè)數(shù),Z是零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度。定義序列偶集的漸進(jìn)率

(4)

由ZCZ序列偶集的理論界[6]可知,η≤1,當(dāng)η=1時(shí)稱ZCZ序列偶集是達(dá)到理論界限的最佳序列偶集。

定義4 設(shè)A,B為M×N階矩陣,如果ABT=cIM,則稱(A,B)為正交矩陣偶[15],其中BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣。

定義5 設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)為長(zhǎng)度為N的序列,u=(u0,u1,…,um-1)為長(zhǎng)度為m的向量,N=km。定義序列a與向量u的運(yùn)算及序列偶(a,b)與向量u的運(yùn)算如下

a⊕u=(a0u0,a1u1,…,am-1um-1,amu0,…a2m-1um-1,…,aN-1um-1)

(5)

(a,b)⊕u=(a⊕u,b⊕u)

(6)

定義6 設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)為長(zhǎng)度為N的序列,序列a左移位運(yùn)算定義如下

Lτ(a)=(aτ,aτ+1,…,aN-1,a0,a1,…,aτ)

(7)

L為左移位算子。

定義7 設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)為長(zhǎng)度為N的序列,X是一個(gè)n0×n1階矩陣

并且滿足gcd(N,n1)=1,假設(shè)N>n1,序列a和矩陣X運(yùn)算得到

Y=Xoa=[y0,y1,…,yn0-1]T

(8)

YT表示矩陣[y0,y1,…,yn0-1]的轉(zhuǎn)置矩陣,矩陣Y中每個(gè)元素是長(zhǎng)度為Nnr的序列,具體如下

(9)

定義8 設(shè)U={u0,u1,…,uk-1}是含有k個(gè)向量的集合,對(duì)于0≤g≠h

2 ZCZ序列偶集的構(gòu)造

筆者給出一種新的序列偶集合的構(gòu)造方法,該方法基于三元最佳序列偶和正交矩陣偶(二元或三元),具體的構(gòu)造步驟如下。

第1步 取一個(gè)三元最佳序列偶(a,b),序列偶中序列的長(zhǎng)度為n0,再取一個(gè)n1×n2階正交矩陣偶(H,R),并且滿足gcd(n0,n2)=1,假設(shè)n0>n2。序列偶(a,b)中的序列a,b表示為a=(a0,a1,…,aN-1),b=(b0,b1,…,bN-1)。正交矩陣偶(H,R)的矩陣表示為

序列a與矩陣H按照定義7的運(yùn)算得到C=Hoa,序列b與矩陣R運(yùn)算得到D=Rob,具體如下

C=[c0,c1,…cn1-1]T

(10)

D=[d0,d1,…dn1-1]T

(11)

其中ci表示矩陣C的第i行,di表示矩陣D的第i行,分別表示為

(12)

(13)

其中ci,di為長(zhǎng)度為n0n2的序列,(ci,di)組成一個(gè)序列偶,序列偶中的序列長(zhǎng)度為n0n2。所有行組成一個(gè)含有n1序列偶的序列偶集E={(c0,d0),(c1,d1),…,(cn1-1,dn1-1)},0≤i

第2步 對(duì)已構(gòu)造的n1個(gè)序列偶的序列按定義6進(jìn)行移位,得到新的序列偶集合

S={s0,0,s0,1…,s0,k-1,s1,0,s1,1,s1,k-1…,sn1-1,0,sn1-1,1,…,sn1-1,k-1}

(14)

si,t=(Ltαci,Ltαdi) 0≤i

(15)

在這里補(bǔ)充一個(gè)條件：kα

第3步 取向量集合U={u0,u1,…,uk-1},集合中向量的長(zhǎng)度為n2,并且集合中的向量滿足移位不等價(jià)條件。按照定義5序列偶(Ltαci,Ltαdi)和ut運(yùn)算,得到新的序列偶集合

P={p0,0,p0,1,…,p0,k-1,p1,0,p1,1,…,p1,k-1,…,pn1-1,0,pn1-1,1,…,pn1-1,k-1}

(16)

pi,t=(Ltαci⊕ut,Ltαdi⊕ut) 0≤i

(17)

定理1 通過第1步得到的序列偶集E是一個(gè)(n0n2,n1,n0-1)-ZCZ序列偶集。

證明 設(shè)(ci,di),(cj,dj)是集合E中任意兩個(gè)ZCZ序列偶(0≤i

根據(jù)矩陣H和R的正交性和(a,b)是最佳序列偶可得

(18)

所以定理1成立。

定理2 通過上述3個(gè)構(gòu)造步驟得到的P是一個(gè)含有kn1個(gè)序列偶的集合,序列偶中序列的長(zhǎng)度為n0n2,kn1個(gè)序列偶組成一個(gè)(n0n2,kn1,α)-ZCZ序列偶集。

證明 設(shè)pi,t,pj,g是集合P中任意兩個(gè)序列偶,這兩個(gè)序列偶的周期相關(guān)函數(shù)如下

Rpi,t,pj,g(τ)=RLtαci⊕ut,Lgαdj⊕ug(τ)=(Ltαci⊕ut)(Lτ((Lgαdj)⊕(ug)))=

(Ltαci⊕ut)(Lτ(Lgαdj)⊕Lτ(ug))=(Ltαa)(Lgα+τb)(Ltαhi⊕ut)(Lτ((Lgαrj)⊕ug))=

R(a,b)((g-t)α+τ)RLtαhi⊕ut,(Lgαrj)⊕ug(τ)

根據(jù)矩陣H和R的正交性和(a,b)是最佳序列偶,可得

(19)

當(dāng)i≠j,τ=0時(shí),因?yàn)閔i和rj相互正交,又因?yàn)閠=g,所以

RLtαhi⊕ut,(Lgαrj)⊕ug(τ)=0

定理2成立。

推論 如果將最佳序列偶(a,b)替換為(N1,M1,Z1)-ZCZ序列偶集,在這里gcd(n0,N1)=1,kα

證明推論的過程和證明定理2的過程類似,和定理2不同的是要對(duì)序列ai,bj是否屬于同一個(gè)序列偶進(jìn)行討論,定理2是推論的一種情況,即ai,bj是同一個(gè)序列偶里的兩個(gè)序列。

構(gòu)造實(shí)例 周期為5的三元最佳序列偶(a,b)=(++000,++-+-),取k=2,α=1,正交矩陣偶

U={(++),(--)},“+”表示1,“-”表示-1,按照定理2可以構(gòu)造出1個(gè)ZCZ-(10,4,1)序列偶集,具體如下

3 性能分析

根據(jù)定義3得到的ZCZ序列偶集P是一個(gè)(n0n2,kn1,α)-ZCZ序列偶集,其漸進(jìn)率為

(20)

序列偶集合中的序列偶的個(gè)數(shù)和零相關(guān)長(zhǎng)度隨參數(shù)的變化而變化。如果取k=1,n1=n2,α=n0-1,則η=1,所以,構(gòu)造的ZCZ序列偶集的性能參數(shù)達(dá)到了理論界。從最終的構(gòu)造結(jié)果看,改變k和α的值,即可得出不同的ZCZ序列偶集。通過減小α,可增大k的值,從而可增加序列偶的數(shù)量。在實(shí)際的應(yīng)用中,序列偶數(shù)目直接決定了系統(tǒng)可支持用戶的多少,因而序列集中序列偶數(shù)目越多越好,以減小序列偶的零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度為代價(jià),換取更多的ZCZ序列偶數(shù)量的方法是可行的方法。

4 結(jié) 語

筆者給出一種新的構(gòu)造ZCZ序列偶集方法。該方法基于三元最佳序列偶和正交矩陣偶,構(gòu)造的ZCZ序列偶集的序列偶的數(shù)目和零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度的乘積滿足一定的條件,而且隨著設(shè)定參數(shù)的改變而改變,通過改變?cè)O(shè)定的參數(shù)值即可得到不同的ZCZ序列偶集,通過該構(gòu)造方法得出的ZCZ序列偶集適用于多種延時(shí)的準(zhǔn)同步CDMA通信系統(tǒng)。

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