王 鵬, 高鵬程

(1. 西南財經(jīng)大學 中國支付體系研究中心, 成都 611130； 2. 浙江淘寶商城技術(shù)有限公司, 杭州 311121)

0 引 言

大額實時支付系統(tǒng)是我國現(xiàn)代化支付系統(tǒng)的重要組成部分, 采取逐筆實時方式處理支付業(yè)務(wù), 全額清算資金。它是連接社會經(jīng)濟活動及其資金運行的“大動脈”, 在金融基礎(chǔ)設(shè)施中處于核心地位。毋庸置疑, 大額系統(tǒng)是典型的復雜系統(tǒng)。近些年來, 對于復雜系統(tǒng)的研究涌現(xiàn)出了一些新理論、 新方法, 復雜網(wǎng)絡(luò)無疑是其中最卓有成效的理論之一[1]。由于大額系統(tǒng)具有復雜網(wǎng)絡(luò)的3個典型特征： 總體結(jié)構(gòu)復雜、 節(jié)點行為復雜和各種復雜因素相互影響[2]。因此, 用復雜網(wǎng)絡(luò)理論研究支付系統(tǒng), 不僅是可行的, 而且有可能獲得很多傳統(tǒng)方法無法得到的結(jié)果, 這已經(jīng)成為學術(shù)界和業(yè)界的共識[3,4], 并且產(chǎn)生了一大批成果[5-9]。

在現(xiàn)有的成果中, 有很大一部分工作集中于支付網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)的研究。這是因為了解支付網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)是進一步工作的基礎(chǔ)。而在支付網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)中, 節(jié)點強度分布又是最重要的。筆者主要研究我國2006～2009年間大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點強度分布問題。以地區(qū)為頂點, 以地區(qū)之間的交易金額和交易筆數(shù)為邊權(quán)重, 建立交易金額復雜網(wǎng)絡(luò)模型和交易筆數(shù)復雜網(wǎng)絡(luò)模型。這是將大額支付系統(tǒng)的交易數(shù)據(jù)按照其地區(qū)的屬性重新組織, 從地區(qū)角度研究支付系統(tǒng)交易資金流, 更加強調(diào)支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟意義。大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)所反映的不是支付系統(tǒng)本身的風險、 擁塞等問題, 也不是對直接參與者的流動性研究, 而是反映區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展、 地區(qū)間經(jīng)濟往來、 資金流量等方面的問題, 從宏觀的角度為區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展策略、 國家經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略提供更有價值的參考信息。

1 節(jié)點強度分布及其估計方法

從邊是否被賦權(quán)的角度看, 復雜網(wǎng)絡(luò)可被分為無權(quán)網(wǎng)絡(luò)和有權(quán)網(wǎng)絡(luò)兩類。對于無權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言, 度分布、 平均路徑長度和聚集系數(shù)等都是描述其拓撲結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)。其中度分布在多數(shù)情況下是最重要的。因為在節(jié)點重要性的刻畫、 確定是否為同構(gòu)圖等問題上, 都要以度分布函數(shù)為依據(jù)[1,2]。而對于有權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言, 由于各條邊都是帶權(quán)的, 因此度分布的概念就變?yōu)楣?jié)點強度分布?？梢哉f節(jié)點強度分布是度分布概念的推廣。

1.1 節(jié)點強度分布的概念

節(jié)點強度是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)區(qū)別于無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的重要幾何量, 它類似于無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中度的概念, 也是一個測量節(jié)點重要程度的拓撲參數(shù)。一個節(jié)點的強度si是指與其所連接的所有邊的權(quán)重之和, 即

(1)

其中Γi為i的鄰居節(jié)點集合。在不同的復雜網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點強度有著不同的含義。如, 在航空網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點強度表示一個站點的運輸能力； 而科研合作網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點強度表示一個科研學者科研能力的強弱。與度分布的概念類似, 在有權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點強度也有自己的分布。

1.2 節(jié)點強度分布的估計方法

大量的研究表明, 多數(shù)復雜網(wǎng)絡(luò), 包括支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點分布服從冪律分布[1,10-14]。冪律(Power Law)分布是一種特殊的數(shù)量關(guān)系, 當一個事件的發(fā)生頻率與該事件的某個屬性之間是一種冪函數(shù)的關(guān)系時, 稱該事件的發(fā)生頻率服從冪律分布?？衫斫鉃樵谝粋€系統(tǒng)中, 規(guī)模較小的事件會經(jīng)常發(fā)生, 但規(guī)模很大的事件卻極少發(fā)生。冪律分布有一個獨特的現(xiàn)象, 被稱為“長尾現(xiàn)象”, 就像一個國家的國民收入, 少部分人掌握著國家的大部分財富, 而大部分人只擁有很少財富, 即經(jīng)常說的“二八定律”, 實際上二八定律也是對長尾理論的粗略描述。冪律分布的一般表達式可以表示為：p(x)=Cx-α。

當發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)具有冪律分布性質(zhì)時, 為精確掌握數(shù)據(jù)的分布, 需要對冪律分布的參數(shù)進行估計。通常情況下使用最小二乘法對冪指數(shù)進行估計, 但最小二乘對冪指數(shù)的估計有可能產(chǎn)生不準確的結(jié)果[15], 因此筆者選擇了極大似然估計方法。

在冪律分布的分布函數(shù)有兩個參數(shù)需要估計： 冪指數(shù)α和分布下界xmin。雖然在自然界和現(xiàn)實生活中有大量服從冪律分布的現(xiàn)象存在, 但是, 大部分樣本都不完全服從冪律分布, 一般的情況是大于某一個最小值xmin的數(shù)據(jù)服從冪律分布, 這時稱xmin為冪律分布的下界, 在估計α時假設(shè)xmin已知, 并來自樣本。極大似然估計法的基本思想是： 在一次觀測中某一事件出現(xiàn)了, 則認為此事件出現(xiàn)的可能性很大。在概率論中, 密度函數(shù)p(x,α)扮演了重要角色。當α已知時,p(x,α)顯示概率密度函數(shù)隨x變化的情況。而當有了樣本數(shù)據(jù)x后, 則可考慮對不同的α, 概率密度的變化情況, 它反映了對x的解釋能力, 這便是似然。極大似然估計就是要尋找使這種可能性或似然達到最大的未知參數(shù)α。

進行極大似然估計要得到樣本的聯(lián)合密度函數(shù), 即似然函數(shù)為

(2)

對式(2)兩邊同時求對數(shù)得

(3)

為求P(x)的最大值, 即求L(α)的最大值, 令

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(5)

其中xi∈{xi≥xmin(i=1,2,3,…,n)}, 標準差為

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在進行極大似然估計時, 首先假定樣本服從冪律分布, 然后求出似然函數(shù)和使似然函數(shù)值最大的參數(shù)做為冪指數(shù)的估計。極大似然估計并不會對數(shù)據(jù)是否服從冪律分布進行檢驗, 其估計值是擬合極大似然估計最好的值。所以, 在參數(shù)估計之后需要對樣本是否服從冪律分布進行假設(shè)檢驗。

對樣本是否服從冪律分布進行檢驗的一個可行的辦法是檢驗樣本和冪律分布數(shù)據(jù)的距離, 如果距離很大, 則樣本不服從冪律分布； 反之, 則服從冪律分布。由于KS檢驗對非正態(tài)數(shù)據(jù)的檢驗非常有效, 所以在檢驗冪指數(shù)時選擇了KS檢驗。KS檢驗計算距離的公式為

(7)

其中S(x)為樣本中大于xmin的數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù),P(x)為x>xmin的冪律分布的累積分布函數(shù)。

生成服從某種分布的隨機數(shù)據(jù)有很多種方法, 筆者采用簡單而有效的轉(zhuǎn)換法[16]。設(shè)p(x)為x>xmin的概率密度函數(shù),r為(0,1)上服從均勻分布的隨機變量, 概率密度函數(shù)p(x)和p(r)關(guān)系如下

(8)

根據(jù)x的累積分布函數(shù)可得

(9)

求得

x=xmin(1-r)-1/(α-1)

(10)

根據(jù)冪律分布的生成規(guī)則進行KS檢驗。首先, 估計原始數(shù)據(jù)的冪指數(shù)α, 然后根據(jù)生成規(guī)則生成大量服從冪指數(shù)為α、 下界為xmin的冪律分布數(shù)據(jù), 最后用原始數(shù)據(jù)和生成的數(shù)據(jù)做KS檢驗。為得到比較準確的結(jié)果, 在生成的測試數(shù)據(jù)中, 大于xmin部分的應(yīng)該服從冪律分布, 小于xmin的部分的分布應(yīng)該和原始數(shù)據(jù)相同。假設(shè)原始數(shù)據(jù)樣本量為n,x>xmin的樣本量為ntail, 服從冪指數(shù)為α、 下界為xmin的冪律分布數(shù)據(jù)為xpl, 原始數(shù)據(jù)中x

2 數(shù)據(jù)描述和網(wǎng)絡(luò)生成

筆者的研究對象是2006～2009年大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流, 時間單位為年, 包括北京、 天津、 河北、 山西、 內(nèi)蒙古、 遼寧、 吉林、 黑龍江、 上海、 江蘇、 浙江、 安徽、 福建、 江西、 山東、 河南、 湖北、 湖南、 廣東、 深圳、 海南、 廣西、 重慶、 四川、 貴州、 云南、 西藏、 陜西、 甘肅、 青海、 寧夏、 新疆共32個地區(qū), 其中深圳為單獨樣本, 不從屬于廣東。數(shù)據(jù)來源于《中國支付體系發(fā)展報告》(2006～2009)公布的大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流量流向情況年報表, 包括交易金額和交易筆數(shù)兩個方面。

如果使用原始數(shù)據(jù), 則資金流網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是一個有向加權(quán)帶環(huán)的完全網(wǎng)絡(luò)。為把要研究的問題簡單化并盡量保持原有數(shù)據(jù)的信息, 將每兩個地區(qū)間的資金往來加總, 把有向的資金流網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成無向資金流網(wǎng)絡(luò), 消除資金往來的方向性, 這樣在保持了數(shù)據(jù)的原有信息下更方便觀察網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)。同時, 筆者要研究的是地區(qū)間的資金流網(wǎng)絡(luò), 所以不考慮地區(qū)內(nèi)部的資金流轉(zhuǎn), 體現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上是一個去環(huán)的過程。至此, 研究對象就成為一個具有32個節(jié)點、 496條邊的無向無環(huán)加權(quán)的完全網(wǎng)絡(luò)。

觀察網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的最直觀的方法是以圖形的方式畫出其結(jié)構(gòu)。這里選取了2006年的交易金額和交易筆數(shù)的網(wǎng)絡(luò)圖做為例子進行展現(xiàn), 如圖1所示。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3 大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布研究

筆者所研究的大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是一個節(jié)點數(shù)固定、 完全連通的網(wǎng)絡(luò), 節(jié)點的度均相同, 對節(jié)點度分布的研究的現(xiàn)實意義不大, 因此研究的重點是節(jié)點強度的分布。大量對其他國家支付系統(tǒng)的實證研究顯示, 支付網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點強度分布普遍具有冪律分布的性質(zhì)[10-12]。

3.1 大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布

通過使用極大似然估計方法, 同時進行KS檢驗, 進行了多次估計取均值的節(jié)點強度擬合, 效果如圖2所示。

a 2006年 b 2007年

c 2008年 d 2009年

從擬合圖上發(fā)現(xiàn)交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度并不完全服從冪律分布, 在每個分布圖的前部都會有垂頭的現(xiàn)象存在, 這部分數(shù)據(jù)不符合冪律分布, 而之后的大部分數(shù)據(jù)具有較好的擬合效果, 都分布在擬合直線的周圍。具體的估計結(jié)果如表1所示。

表1 交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布擬合結(jié)果

其中mlea為冪指數(shù)α的估計結(jié)果, std為估計標準誤差, l_xmin為冪律分布下界位置比例。首先從分布下界的位置比例來看, 除了頭部的幾個數(shù)據(jù), 樣本基本服從冪律分布, 其均值為1.418, 交易金額網(wǎng)絡(luò)邊權(quán)分布的冪指數(shù)均值為1.4, 二者幾乎相等。某節(jié)點的強度是與其相連的邊的權(quán)重之和, 這就決定了節(jié)點強度的分布和邊的權(quán)重有很大關(guān)系, 它與通常度所代表的含義有很大區(qū)別。

交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布擬合圖如圖3所示。

a 2006年 b 2007年

c 2008年 d 2009年

交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點強度分布和交易金額網(wǎng)絡(luò)一樣, 不完全服從冪律分布。其節(jié)點強度分布的前部和交易金額略有不同, 每年節(jié)點強度分布的前部都有一個小的波動, 交易金額節(jié)點強度分布前部雖然有垂頭現(xiàn)象, 但整體上沒有波動。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點強度除了小部分的前部數(shù)據(jù)不符合冪律分布外, 大部分數(shù)據(jù)都服從冪律分布, 并且其節(jié)點強度分布中處于冪律分布下界之上的數(shù)據(jù)在雙對數(shù)坐標下更接近于直線。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度的冪律分布參數(shù)估計結(jié)果如表2所示。

表2 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布擬合結(jié)果

冪律分布下界位置比例顯示, 只有少數(shù)樣本不服從冪律分布, 大部分的樣本服從冪律分布, 其均值為1.5, 與交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)邊權(quán)分布的冪指數(shù)估計值有所區(qū)別, 但差距不大。

圖4 節(jié)點強度分布冪指數(shù)趨勢圖

雖然交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度和交易筆數(shù)節(jié)點強度在各自的冪律分布下界之上都服從冪律分布, 但其冪律分布的冪指數(shù)有區(qū)別。從圖4中可看出, 2006～2009年交易筆數(shù)節(jié)點強度分布的冪指數(shù)始終大于交易金額網(wǎng)絡(luò)。盡管兩個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布的冪指數(shù)的大小不同, 但其變化趨勢十分一致。

3.2 閾值變化對節(jié)點強度分布參數(shù)的影響

驗大額支付系統(tǒng)的地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)是一個加權(quán)的完全網(wǎng)絡(luò), 雖然節(jié)點之間完全連通, 節(jié)點度都相同, 但節(jié)點強度卻因為邊權(quán)的不同而有很大差異。無論是交易金額網(wǎng)絡(luò)還是交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò), 其邊權(quán)的分布具有右偏態(tài)特征和長尾特性。鑒于邊權(quán)的這種特征, 必將關(guān)注權(quán)重對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響。為了研究這種影響筆者也采用了設(shè)置閾值的方法。在研究權(quán)重較小的邊對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響時, 設(shè)置閾值從最小值開始變化到最大值, 當網(wǎng)絡(luò)中兩個節(jié)點之間的權(quán)重小于設(shè)定的閾值時, 則認為這兩個節(jié)點沒有連接； 在研究權(quán)重很大的邊對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響時, 設(shè)置閾值從最大值開始變化到最小值, 當網(wǎng)絡(luò)中兩個節(jié)點之間的權(quán)重大于設(shè)定的閾值時, 則認為這兩個節(jié)點沒有連接。閾值每變化一次都會通過極大似然估計和KS檢驗求得節(jié)點強度分布的冪指數(shù)。

為減小計算量, 設(shè)置閾值時采取了不等步長的變化方法, 即在邊權(quán)較小時, 閾值變化的步長也小, 當邊權(quán)較大時, 閾值變化的步長也大。閾值從小到大變化時節(jié)點強度分布冪指數(shù)變化如圖5所示。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢 b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢

圖5中4條曲線分別代表4年的變化趨勢。交易金額網(wǎng)絡(luò)每年的變化趨勢基本相同, 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)也相同。兩個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點強度分布的冪指數(shù)都會隨著閾值的變大而變大, 但交易金額網(wǎng)絡(luò)的變化十分迅速, 其速度要遠大于交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)。交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)從1.4左右開始直線上升到1.8左右, 之后有一個相對平穩(wěn)的階段。隨著閾值變化到一個臨界值后, 其冪指數(shù)從1.8再次直線上升到3.0左右, 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生了較大的變化。而交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)則從1.5左右開始隨著閾值的增長緩慢增長, 在增長過程中并沒有出現(xiàn)相對平穩(wěn)的階段, 而且其冪指數(shù)始終大于交易金額網(wǎng)絡(luò)。

當閾值從大到小變化時, 冪指數(shù)的變化也不相同, 如圖6所示。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)和交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)隨著閾值由大到小變化都經(jīng)歷了3個階段, 1) 平穩(wěn)變化期; 2) 快速上漲期; 3) 震蕩下降期。當閾值較大時, 交易金額網(wǎng)絡(luò)和交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)的變化都十分平穩(wěn), 去掉權(quán)重較大的邊不會對網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生太大的影響。閾值變化超過某個臨界值后, 兩個網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)都進入了快速上漲期。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)每年的冪指數(shù)增長速度基本相同, 臨界值也基本相同, 但交易金額網(wǎng)絡(luò)則不相同, 2006年和2009年的網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)上升速度很大, 2007年和2008年基本上沒有太大的上升就進入了震蕩下降期。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢 b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢

從整體上看, 閾值從小到大變化和從大到小變化對兩個網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)影響的區(qū)間是相同的, 交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)變化區(qū)間在1.4～3.0之間, 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)變化在1.5～4.0之間。但是, 權(quán)重小的邊對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響大于權(quán)重大的邊。無論閾值從小到大變化還是從大到小變化, 當閾值較小時, 冪指數(shù)都會有相對強烈的震蕩, 而當閾值較大時, 冪指數(shù)則趨于穩(wěn)定。同時, 交易金額網(wǎng)絡(luò)各年冪指數(shù)變化的臨界值也不相同。

4 支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)

復雜網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)是近年來一個研究熱點[1], 探討網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)也成為必做的工作。通常, 人們用兩個指標說明網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)： 聚集系數(shù)(Clustering Coefficients)和平均路徑長度(Average Path Length)。根據(jù)Barrat算法, 節(jié)點i的聚集系數(shù)

(11)

其中ki為節(jié)點度,Ei為與節(jié)點i相鄰的節(jié)點之間實際存在的邊數(shù)。整個網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)就是所有結(jié)點聚集系數(shù)的平均值。

平均路徑長度

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其中N是網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點總數(shù),dij是連接兩個節(jié)點的最短路徑的邊數(shù)。

一個具有小世界特性的復雜網(wǎng)絡(luò), 應(yīng)該是同時具有較高聚集系數(shù)和較低的平均路徑長度[1]。為進一步說明支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲特征, 按交易金額(單位： 億元)和筆數(shù)(單位： 萬筆)兩個指標, 計算了對應(yīng)的聚集系數(shù)和平均路徑長度, 以此來說明支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界特性。限于篇幅, 只給出2009年支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的計算結(jié)果(見圖7)。圖7中, 在相同的閾值下, 無論是對交易金額還是交易筆數(shù), 支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)同時具有較低的聚集系數(shù)和較高的平均路徑長度。這些計算結(jié)果說明大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不具有小世界特性。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)

5 結(jié) 語

以地區(qū)為節(jié)點, 以交易金額和交易筆數(shù)為邊建立的大額支付系統(tǒng)復雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點強度分布基本都服從冪律分布。另外, 兩個冪指數(shù)有所不同, 交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)總是大于交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)。通過改變邊權(quán)的閾值也會改變網(wǎng)絡(luò)到冪指數(shù)。冪指數(shù)的變化還有一個臨界現(xiàn)象存在, 當閾值大于某個臨界值時, 冪指數(shù)就會趨于穩(wěn)定, 而小于該臨界值時, 冪指數(shù)就會強烈的波動, 該臨界值還會使網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的變化。最后, 探討了支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì), 指出大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)沒有小世界特性。

參考文獻：

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