陳增賢，成榮，姜偉

（1.華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074;2.清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系，北京 100084）

0 引言

超精密運(yùn)動(dòng)平臺系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于精密加工、精密測量等領(lǐng)域，其要求具有納米級的重復(fù)定位精度和同步運(yùn)動(dòng)精度，因此對精密運(yùn)動(dòng)平臺的有限元模型的準(zhǔn)確性提出了更高的要求。但是，僅憑工程師的經(jīng)驗(yàn)欲建立一個(gè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致的有限元模型的可能性是非常低的，缺乏一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，對精密運(yùn)動(dòng)平臺進(jìn)行后續(xù)分析就沒有意義。

有限元建模誤差主要來自三個(gè)方面:1）建模參數(shù)的設(shè)置誤差，受各種因素的影響，未能準(zhǔn)確獲得材料的密度、零件的幾何尺寸等。2）有限元理論本身的誤差，有限元模型與實(shí)際構(gòu)件相比，存在離散化誤差。3）建模簡化帶來的誤差，在有限元建模時(shí)不可避免的會對模型的小結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定程度的簡化，以便于分析［1］。鑒于這三種誤差，有限元修正思想便應(yīng)運(yùn)而生。

有限元模型修正主要分為矩陣型修正法［2-4］和參數(shù)性修正法［5-7］兩大類。矩陣型修正方法是最先發(fā)展起來的結(jié)構(gòu)有限元修正方法，其以系統(tǒng)的總體矩陣或子結(jié)構(gòu)的總體矩陣為修正對象。設(shè)計(jì)參數(shù)型修正法的修正對象是結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，如幾何尺寸、材料參數(shù)等，由于其修正結(jié)果具有明確的物理意義，因此得到大力發(fā)展。靈敏度分析是設(shè)計(jì)參數(shù)型修正法的重要環(huán)節(jié)，其目的是為了得到結(jié)構(gòu)特征量對于設(shè)計(jì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，從而減少用于修正的參數(shù)。隨著靈敏度分析及優(yōu)化理論的發(fā)展和完善，基于優(yōu)化的參數(shù)性模型修正在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。

然而，靈敏度最大的設(shè)計(jì)參數(shù)不一定是誤差最大的參數(shù)，靈敏度分析有可能對建模誤差的位置做出錯(cuò)誤判斷，從而使修改的物理參數(shù)不符合測試對象的物理特性。本文在靈敏度分析前，首先進(jìn)行了連接關(guān)系的優(yōu)化，并從所有材料屬性中篩選出受工藝等的影響而不確定的參數(shù)用作靈敏度分析，使模型修正具有明確的物理意義。然后基于LMS Virtual.lab的靈敏度分析及優(yōu)化功能，利用模態(tài)試驗(yàn)測得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過對不確定材料屬性的優(yōu)化，對精密運(yùn)動(dòng)平臺的有限元模型進(jìn)行模型修正，并將修正前后的模型在ADAMS中建立柔性體，進(jìn)行頻響分析，將仿真所得傳遞函數(shù)與實(shí)驗(yàn)測得傳遞函數(shù)對比，驗(yàn)證修正后模型對實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性具有更準(zhǔn)確的預(yù)測。本文采用的模型修正方法結(jié)合了建模方式的優(yōu)化與參數(shù)的提前篩選，相比于一般的參數(shù)型模型修正法，不僅具有更明確的物理意義，修正結(jié)果也達(dá)到了較高的標(biāo)準(zhǔn)。

1 初次有限元分析與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

整個(gè)精密運(yùn)動(dòng)平臺是由步進(jìn)電動(dòng)機(jī)、掃描電動(dòng)機(jī)、垂向電動(dòng)機(jī)及中間骨架四個(gè)主部件構(gòu)成，四個(gè)主部件之間通過約0.5 mm厚的雙組份環(huán)氧膠粘合，如圖1所示（黑色粗線處為粘和處）。

圖1 精密運(yùn)動(dòng)平臺結(jié)構(gòu)圖

整個(gè)部件有鋁合金（6061-T6）、燒結(jié)釹鐵硼永磁材料（牌號N50）、氧化鋁陶瓷、延性鐵和雙組份環(huán)氧膠五種材料屬性。氧化鋁陶瓷、燒結(jié)釹鐵硼永磁材料和雙組份環(huán)氧膠的材料屬性一定程度上受工藝等的影響而不確定。五種材料的理論材料屬性值如表1所示（燒結(jié)釹鐵硼永磁材料用N50表示，氧化鋁陶瓷Al2O3用表示，下文類同）。

表1 理論材料屬性

在對精密運(yùn)動(dòng)平臺進(jìn)行有限元分析的時(shí)候，粘接處的處理和部分材料屬性的不確定性是影響有限元分析結(jié)果的關(guān)鍵因素。以hypermesh為前處理，以六面體實(shí)體網(wǎng)格作為主體網(wǎng)格單元，部分小結(jié)構(gòu)采用五面體實(shí)體網(wǎng)格劃分，對環(huán)氧膠粘合部分用節(jié)點(diǎn)重合模擬，總共劃分得到27萬個(gè)單元。用nastran作為解算器，計(jì)算前三階自由模態(tài)。

模態(tài)實(shí)驗(yàn)采用游擊力錘法，多點(diǎn)激勵(lì)。在運(yùn)動(dòng)平臺上設(shè)置三個(gè)測量點(diǎn)，每個(gè)測量點(diǎn)處布置三個(gè)不同向的加速度傳感器，利用B＆K的PULSE系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，用ME-scope軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，從而計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)、振型以及阻尼率。

根據(jù)Nikon與ASML所設(shè)計(jì)精密運(yùn)動(dòng)平臺，當(dāng)其定位精度為10 nm時(shí)，需要考慮的帶寬約為300 Hz，以此為參考，并適當(dāng)放寬需要考慮結(jié)構(gòu)柔性的頻率范圍。對本運(yùn)動(dòng)平臺，考慮1 000 Hz以內(nèi)的模態(tài)振型與固有頻率。有限元前三階模態(tài)振型、頻率與實(shí)驗(yàn)前三階模態(tài)振型、頻率如圖2和表2所示。

圖2 有限元模態(tài)（左）和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)（右）振型

表2 有限元模態(tài)和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率對比

由表2可以看到，有限元模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ颓叭A頻率之間的誤差均大于10%，有必要進(jìn)行模型修正，使各階頻率差都控制在10%以內(nèi)。

以實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛閰⒖寄Ｐ停M(jìn)行精密運(yùn)動(dòng)平臺有限元模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷年P(guān)聯(lián)。模型匹配后，對有限元模型進(jìn)行縮聚，得到實(shí)驗(yàn)分析模型，用于相關(guān)度的計(jì)算。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c實(shí)驗(yàn)分析模型相同階的相關(guān)度如表2所示（實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷谝浑A與實(shí)驗(yàn)分析模型第一階相關(guān)度用MAC1-1表示，其余類推），其余各階相關(guān)度均小于1.41×10-3。

由相關(guān)度計(jì)算結(jié)果可知，前三階模態(tài)的相關(guān)度都大于0.8，從一般的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)看，已經(jīng)具有較好的擬合度，但對于高精度運(yùn)動(dòng)平臺，即使是相關(guān)度的小程度提高，都有可能對分析結(jié)果的精度產(chǎn)生巨大影響，因此，仍把相關(guān)度作為修正對象。

2 精密運(yùn)動(dòng)平臺有限元模型修正

2.1 基于優(yōu)化的參數(shù)型修正法基本理論

a）模型匹配與相關(guān)性分析

模型修正的目的是得到一個(gè)能夠?qū)?shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測的有限元模型，其思路可以用圖3表示。

圖3 模型修正流程圖

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏y點(diǎn)與有限元模型的節(jié)點(diǎn)不能完全對應(yīng)，在工程實(shí)際中往往采用自由度縮減技術(shù)，本文中采用Guyan 縮減法［8］。

在修正前，通過相關(guān)性分析來判斷有限元模型的準(zhǔn)確性，從而確定有限元模型是否需要進(jìn)行修正。常用的相關(guān)性分析有頻率差、振型相關(guān)分析［9］。

b）參數(shù)靈敏度分析

參數(shù)的靈敏度即為目標(biāo)值與設(shè)計(jì)變量之間的偏導(dǎo)數(shù)［10］。本文主要計(jì)算設(shè)計(jì)變量對模態(tài)頻率與MAC的靈敏度。不同類型的設(shè)計(jì)變量，具有不同的量綱，所以設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度大小的應(yīng)在同類型參數(shù)之間比較。

c）模型修正與優(yōu)化

若將結(jié)構(gòu)的固有頻率等作為目標(biāo)函數(shù)或者優(yōu)化條件，通過優(yōu)化算法搜索設(shè)計(jì)變量的取值，經(jīng)過多次迭代算法，使有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性差異趨于最小，這時(shí)，模型修正通過優(yōu)化求解得到了實(shí)現(xiàn)。LMS Virtual.lab中模型修正的實(shí)現(xiàn)，即是以這個(gè)原理為基礎(chǔ)，通過調(diào)用nastran的SOL200求解序列來進(jìn)行優(yōu)化迭代，得到更接近于實(shí)際結(jié)構(gòu)的有限元模型。對其整個(gè)優(yōu)化過程做如下表述:

優(yōu)化目標(biāo):

其中:x為待修正參數(shù)構(gòu)成的向量。

設(shè)計(jì)變量的取值范圍:

同時(shí)以模型的總重為約束條件。

2.2 連接關(guān)系的優(yōu)化

由于環(huán)氧膠自身材料屬性的限制，用節(jié)點(diǎn)重合模擬環(huán)氧膠的粘合一定程度上會在局部過度提高結(jié)構(gòu)的剛度，使仿真所得的各階模態(tài)頻率高于實(shí)驗(yàn)測得頻率。故對連接關(guān)系進(jìn)行重新建模，在環(huán)氧膠粘和處建立一層5 mm厚的六面體單元，并賦予環(huán)氧膠的材料屬性，得到新的有限元模型。對更改后的有限元模型再次進(jìn)行模態(tài)分析，前三階頻率變?yōu)?409.21 Hz，465.09 Hz，1 060.95 Hz，各階頻率均更接近實(shí)驗(yàn)測得值。

2.3 設(shè)計(jì)變量對頻率靈敏度計(jì)算

在模型修正過程中僅考慮氧化鋁陶瓷、燒結(jié)釹鐵硼永磁材料和雙組份環(huán)氧膠這三種材料屬性不確定的材料。有限元模型均由實(shí)體網(wǎng)格構(gòu)成，不存在可以改變厚度的shell單元，故整個(gè)模型有9個(gè)需要考慮的變量。為了從這9個(gè)變量中選出靈敏度高的作為模型修正的設(shè)計(jì)變量，首先計(jì)算所有變量對頻率的靈敏度，考慮到計(jì)算得到的靈敏度并非相對靈敏度，故對密度、彈性模量和泊松比按變量類型分開比較，前三階頻率對密度、彈性模量和泊松比的靈敏度如表4，5，6所示。

表4 前三階頻率對密度的靈敏度（Hz m3/kg）

表5 前三階頻率對泊松比的靈敏度（Hz）

表6 前三階頻率對楊氏模量的靈敏度（Hz/GPa）

根據(jù)頻率對9個(gè)變量的靈敏度大小，選擇氧化鋁陶瓷和燒結(jié)釹鐵硼的密度，氧化鋁陶瓷、環(huán)氧膠的泊松比，環(huán)氧膠的楊氏模量作為設(shè)計(jì)變量。

2.4 設(shè)計(jì)變量對振型相關(guān)度靈敏度分析

計(jì)算各階相關(guān)度值對三種材料的9個(gè)材料屬性的靈敏度，結(jié)果如表 7，8，9 所示。

表7 鶻紫喙匭災(zāi)礛AC對密度的靈敏度（m3/kg）

表8 鶻紫喙匭災(zāi)礛AC對泊松比的靈敏度

續(xù)表8

表9 鶻紫喙匭災(zāi)礛AC對楊氏模量的靈敏度（1/GPa）

根據(jù)相關(guān)性值對9個(gè)變量的靈敏度大小，選擇氧化鋁陶瓷和燒結(jié)釹鐵硼的密度，燒結(jié)釹鐵硼和環(huán)氧膠的楊氏模量，全三種材料的泊松比作為設(shè)計(jì)變量。

2.5 模型修正

結(jié)合頻率和相關(guān)性值MAC對9個(gè)變量的靈敏度，最終選取燒結(jié)釹鐵硼的楊氏模量、泊松比和密度，氧化鋁陶瓷的泊松比和密度，環(huán)氧膠的泊松比和楊氏模量作為設(shè)計(jì)變量，用于模型的修正。以頻率差為0、MAC值為1作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化迭代計(jì)算。設(shè)計(jì)參數(shù)的變化值如表10所示，修正后模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率差和相關(guān)性值如表11所示。

表10 設(shè)計(jì)變量變化值

表11 修正后有限元模態(tài)與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的頻率差

模態(tài)階次有限元/Hz實(shí)驗(yàn)測試/Hz頻率誤差/%修正后相關(guān)性值1 390.10 388 0.54 0.930 2 448.71 424 6.06 0.920 3 975.47 972 0.37 0.921

從修正結(jié)果看，前3階模態(tài)頻率的差均在10%以內(nèi)，相關(guān)性值也都達(dá)到了0.9以上，可見，修正后有限元模型相比修正前的，與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ途哂懈叩南嗨贫取?/p>

3 頻響分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托拚饔?/h2>

為了驗(yàn)證修正后模型是否對實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性有更準(zhǔn)確的預(yù)測，在精密運(yùn)動(dòng)平臺的一個(gè)頂角施加錘擊，在對角頂點(diǎn)測量傳遞函數(shù)。用修正前有限元模型和修正后有限元模型分別導(dǎo)出模態(tài)中性文件MNF，并導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行柔性體運(yùn)動(dòng)仿真分析，仿真分析的各項(xiàng)設(shè)置均與試驗(yàn)條件相同。利用vibration模塊進(jìn)行傳遞函數(shù)的計(jì)算，同時(shí)改變修正前后柔性體模型的各階阻尼，使傳遞函數(shù)的幅值與實(shí)驗(yàn)所得傳遞函數(shù)的幅值盡可能接近。修正前模型、修正后模型與實(shí)驗(yàn)測得的傳遞函數(shù)幅值與相位曲線的對比如圖4所示。

圖4 傳遞函數(shù)幅值與相位對比圖

圖4中粗實(shí)線為實(shí)驗(yàn)測得傳遞函數(shù)曲線，劃線為修正后模型的傳遞函數(shù)曲線，細(xì)實(shí)線為修正前模型的傳遞函數(shù)。從圖4可以看到，修正后的模型的傳遞函數(shù)相比修正前模型，無論幅值還是相位，都有較大程度的逼近實(shí)驗(yàn)曲線?？梢?，修正后模型的確對實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性有更準(zhǔn)確的預(yù)測。

4 結(jié)論

本文在對超精密運(yùn)動(dòng)平臺的有限元模型修正過程中，以實(shí)際結(jié)構(gòu)為參考，對有限元模型的連接方式和不確定材料屬性進(jìn)行優(yōu)化。建模方式的優(yōu)化使各階頻率誤差均降低到10%以內(nèi)。對精確材料屬性不確定的材料進(jìn)行基于靈敏度分析的優(yōu)化使有限元模型前三階頻率與實(shí)驗(yàn)測得頻率誤差縮小到 0.54%，6.06%，0.37%，各階振型相關(guān)度也都達(dá)到了0.9以上。頻響分析驗(yàn)證修正后模型更能反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。模型修正為精密運(yùn)動(dòng)平臺的后續(xù)分析提供了一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，使后續(xù)仿真結(jié)果更為可信。

［1］MOTTERSHEAD J E，F(xiàn)RISWELL M I.Model Updating in structure Dynamics:a Survey［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，167（2）:347-375.

［2］BARUCH M，ITZHACK Y B.Optimal Weighted Or thogonalization of Measured Modes［J］.AIIA Journal，1978，16（4）:346-351.

［3］BERMAN A，NAGY E J.Improvement of a Large Analytical Model using Test Data［J］.AIAA Journal，1983，21（8）:1168-1173.

［4］Jaehoon Ha，Youngjin Park，Younsik Park.Model Updating with Closed-Loop Strain Mode Shapes［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30（4）:1206-1209.

［5］COLLINS J D.Statistical Identification of Structures［J］.AIAAJ，1974，12（01）:1180-1189.

［6］OJALVO I U.Partial Suggestions for Modifying Math Models to Correction with Actual Model Test Results［c］//Proc.of 7th IMAC，Las Vegas，1989:347-354.

［7］HU S-L J，LI H，WANG S.Cross-Model Cross-Mode Method for Model Updating［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（4）:1690-1703.

［8］ Guyall R J.Reduction of Stiffness and Mass Matrices.AIAA J，1965，3:380-385.

［9］Allemang R J.A Correlation Coeffcient for Modal Vector Analysis.Proceedings of the 1 st Intenational Modal Analysis Conference.New York:The Union College，Orlando，F(xiàn)lorida，USA，l982.1l0-ll6.

［10］秦仙蓉.基于靈敏度分析的結(jié)構(gòu)計(jì)算模型修正及相關(guān)問題研究［D］.南京:南京航空航天大學(xué)，2001，26-73.