黃東升，顧克秋

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094）

0 緒論

近年來(lái)，回轉(zhuǎn)軸承隨著主機(jī)行業(yè)的迅速發(fā)展而得到廣泛應(yīng)用，現(xiàn)已經(jīng)擴(kuò)展到軍事裝備、港口機(jī)械、運(yùn)輸機(jī)械等，已成為機(jī)械回轉(zhuǎn)裝置上不可或缺的重要部件之一。

隨著轉(zhuǎn)盤軸承在工程上的運(yùn)用越來(lái)越廣泛，與之相應(yīng)的強(qiáng)度，剛度及壽命分析的研究也凸顯出其重要性。交叉滾子轉(zhuǎn)盤軸承的非線性剛度，對(duì)于機(jī)械設(shè)備整體動(dòng)力學(xué)分析至關(guān)重要。

1 轉(zhuǎn)盤軸承的經(jīng)典赫茲解

1.1 理論計(jì)算條件假設(shè)

參照國(guó)內(nèi)外軸承理論，在建模計(jì)算中進(jìn)行如下假設(shè):1）交叉滾子軸承外圈固定，載荷加載軸承內(nèi)圈上;2）忽略交叉滾子軸承內(nèi)外圈的整體變形;3）交叉滾子軸承轉(zhuǎn)速很慢，不考慮軸承上產(chǎn)生的附加動(dòng)載荷;4）不考慮滾動(dòng)體與內(nèi)外圈之間的摩擦。

1.2 滾子線接觸剛度分析

在交叉轉(zhuǎn)盤軸承中，滾子與內(nèi)外套圈的接觸為典型的有限長(zhǎng)線接觸。滾子滾道線接觸的彈性趨近量是軸承分析中的基本公式。Hertz線接觸理論沒有像點(diǎn)接觸理論得到完善，用平面應(yīng)變問題來(lái)處理無(wú)限長(zhǎng)圓柱與彈性半空間的接觸，但沒能得到法向接觸變形的理論解。

Plamgren［1］給出的經(jīng)驗(yàn)公式:

式中:ν1，ν2為泊松比;E1，E2為彈性模量;Q為滾子載荷;LWe為滾子有效長(zhǎng)度。對(duì)于鋼制軸承，有ν1=ν2=0.3，E1=E2=206Gp，于是有公式:

式（2）是Plamgren基于大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，處理分析所得。在滾動(dòng)軸承工程運(yùn)用中，得到了廣泛使用。但式（2）表明，無(wú)論滾子和套圈的直徑如何，都不改變彈性趨近量，即式（2）只與接觸間的載荷Q，滾子有效長(zhǎng)度LWe有關(guān)，而與其余參量無(wú)關(guān)。很明顯，式（2）還需要改進(jìn)。

鑒于Plamgren公式不能反映滾子和套圈直徑對(duì)彈性趨近量的影響，羅天宇和羅繼偉［2］研究了建立圓柱與彈性半空間模型，通過(guò)數(shù)值方法得到彈性趨近量—滾子直徑關(guān)系曲線，如圖1所示。

在Plamgren公式的基礎(chǔ)上，引入一個(gè)彈性趨近量—滾子直徑曲線的擬合項(xiàng)，得到最終式:

圖1 δ－DW曲線

式中，DW為滾子直徑;k=DW/dr，dr為滾道直徑。作為Plamgren公式的修正公式，已經(jīng)得到驗(yàn)證其實(shí)用性。

但是，對(duì)于忽略內(nèi)外圈整體變形的假設(shè)，式（3）還不能直接使用，這是因?yàn)樵撌侥J(rèn)內(nèi)外圈是柔性體。所以，推導(dǎo)得滾動(dòng)體為柔體、內(nèi)外圈為剛體的修正公式:

所以，將使用式（4）作為后續(xù)分析的基礎(chǔ)公式。

1.3 力平衡公式推導(dǎo)

軸承受力分析主要包括兩方面，1）單個(gè)滾動(dòng)體與滾道間的接觸分析，由上文已經(jīng)得到彈性趨近量分析結(jié)果;2）整個(gè)軸承在外載荷的作用下，各滾動(dòng)體的受載分布，本節(jié)將討論這一問題。

對(duì)于大直徑的轉(zhuǎn)盤軸承，大多承受軸向和翻轉(zhuǎn)力矩，在工程運(yùn)用中，如挖掘機(jī)，盾構(gòu)機(jī)等，徑向所受到的載荷非常小，所以，本文不考慮徑向載荷，只分別建立承受軸向和翻轉(zhuǎn)載荷的模型。

首先，建立轉(zhuǎn)盤軸承在坐標(biāo)系中模型，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)盤軸承在坐標(biāo)系中

1）軸向力

根據(jù)轉(zhuǎn)盤軸承的靜力平衡條件:軸承中每個(gè)滾子分別對(duì)滾道產(chǎn)生的軸向力之和與軸承z方向所受的軸向力平衡如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)盤軸承在受純軸向載荷變形

軸向位移為δa，則內(nèi)外圈滾道間的位移為:

2）翻轉(zhuǎn)力矩

在翻轉(zhuǎn)力矩的作用下，內(nèi)外圈發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，且只有一半的滾柱承受載荷，如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)盤軸承受純翻轉(zhuǎn)力矩載荷變形

內(nèi)外圈滾道間的位移為:

整理式（9）、式（10）可以得到各滾動(dòng)體變形協(xié)調(diào)方程:

對(duì)于每個(gè)承受載荷的滾動(dòng)體，實(shí)際受到不同的軸向力，各滾動(dòng)體軸向力對(duì)x軸的力矩之和，與翻力矩平衡，可得式（12）。

翻轉(zhuǎn)力矩平衡方程:

1.4 實(shí)例分析

本文研究的110.20.0990.001.04.03F1型交叉滾子回轉(zhuǎn)支承，其滾柱規(guī)格為D20*19.6mm，共58對(duì)116個(gè)滾柱，均布分布，接觸角α=45°;支承座內(nèi)徑d=890mm，支承座外徑D=1075mm滾動(dòng)體材料為GCr15，泊松比0.3，彈性模量206GMp。

1）軸向力

把各參數(shù)代入式（8）得:

2）翻轉(zhuǎn)力矩

把各參數(shù)代入式（11）得:

整理得:

把上式代入翻轉(zhuǎn)力矩平衡方程（12），得:

得到:

2 有限元方法計(jì)算

2.1 有限元模型簡(jiǎn)化

對(duì)于交叉滾子轉(zhuǎn)盤軸承有限元模型，因?yàn)闈L動(dòng)體的數(shù)目是普通軸承的數(shù)倍，與內(nèi)外圈接觸的數(shù)目隨之也增多，所以，非線性程度非常高，需要高配置硬件設(shè)備，給模型計(jì)算帶來(lái)極大困難。但可以根據(jù)各受力情況，對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)合理的簡(jiǎn)化。

軸向力:因?yàn)闈L動(dòng)體只有圓柱面和內(nèi)外圈接觸，所以只有一半的滾動(dòng)體受到軸向載荷?？梢越?/58模型，對(duì)于不受力的滾動(dòng)體不建立，如圖5所示。

圖5 承受軸向力的滾動(dòng)體與外圈模型

翻轉(zhuǎn)力矩:對(duì)于承受翻轉(zhuǎn)力矩模型，外圈固定不動(dòng)，內(nèi)圈在載荷的作用下，發(fā)生傾斜。從每個(gè)滾動(dòng)體的角度來(lái)考察，相當(dāng)于每段內(nèi)圈軸向向下位移，所以整個(gè)軸承模型只有一半的滾動(dòng)體承受載荷，即相間的滾動(dòng)體承受載荷。整個(gè)模型相對(duì)于zx面對(duì)稱，相對(duì)于yz面反對(duì)稱。所以，簡(jiǎn)化成1/4模型，如圖6所示。

圖6 承受翻轉(zhuǎn)力矩的滾動(dòng)體與外圈模型

2.2 有限元計(jì)算

1）網(wǎng)格劃分

為了保證接觸計(jì)算精度，采用三維六面體單元對(duì)幾何有限元網(wǎng)格劃分。對(duì)于徑向和翻轉(zhuǎn)力矩模型，如果采用同軸向模型一樣的單元尺寸和單元類型，模型大小會(huì)急劇加大，由于計(jì)算機(jī)硬件配置的限制，導(dǎo)致內(nèi)存不夠無(wú)法計(jì)算。所以，必需進(jìn)行簡(jiǎn)化。

接觸區(qū)域采用C3D8I單元，單元大小不能大于接觸面半寬，接觸面半寬由Hertz線接觸理論求得。非接觸區(qū)域采用C3D4單元，單元大小采用比例縮減方式根據(jù)距離接觸區(qū)域遠(yuǎn)近而變化。各工況網(wǎng)格如圖7所示。

圖7 模型網(wǎng)格

2）邊界條件

轉(zhuǎn)盤軸承模型中，包括大量的接觸的條件，是高非線性模型。不同的載荷，接觸區(qū)域大小不同，所以軸承的各向剛度都是非線性剛度。本文計(jì)算各不同載荷下，各方向的位移（角位移）。

在軸承的軸線上建立與內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)耦合的參考點(diǎn)，內(nèi)圈的邊界條件和載荷加在此參考點(diǎn)上;外圈只加載邊界條件，它的載荷由滾動(dòng)體傳遞，所以根據(jù)不同的載荷情況，相應(yīng)地在外圈上定義邊界條件;滾動(dòng)體在各自的徑向平面內(nèi)保持不動(dòng)，否則出現(xiàn)剛體位移，所以在各滾動(dòng)體上定義徑向位移為零。

3）接觸定義

接觸問題是一種高度的非線性問題，接觸單元是覆蓋在分析模型接觸面上的單元層，有限元會(huì)通過(guò)所設(shè)定的接觸單元來(lái)識(shí)別可能的接觸對(duì)。

如圖8所示，因?yàn)閮?nèi)外圈是剛體，所以與滾動(dòng)體接觸的套圈外表面是主面，滾動(dòng)體上接觸面設(shè)為從面。對(duì)于接觸模型，軟接觸更能使模型收斂，但計(jì)算結(jié)果會(huì)使位移變大，剛度變小，結(jié)果與實(shí)際相差很大，所以采用是硬接觸，更接近實(shí)際情況。滾動(dòng)體和內(nèi)外圈間為光滑摩擦，即沒有摩擦力。

圖8 滾動(dòng)體與外圈接觸定義

3 經(jīng)典赫茲解與有限元結(jié)果比較分析

計(jì)算該模型經(jīng)典赫茲解，及有限元模型并提取計(jì)算結(jié)果，如表1和圖9—圖12所示。

表1 各模型計(jì)算結(jié)果及剛度分析

由表1及圖9～圖12可知，文中所述理論計(jì)算方法所得結(jié)果和有限元所得結(jié)果比較吻合，使得經(jīng)典赫茲解和有限元解相互驗(yàn)證，為轉(zhuǎn)盤軸承的工程應(yīng)用及選擇提供了依據(jù)。

圖9 赫茲解軸向剛度

圖10 有限元軸向剛度

圖11 赫茲解翻轉(zhuǎn)剛度

圖12 有限元翻轉(zhuǎn)剛度

無(wú)論是軸向剛度，還是翻轉(zhuǎn)剛度，都隨著載荷的增大而增大。這是因?yàn)殡S著載荷的增大，接觸面積隨之增大，增強(qiáng)了抗變形能力。并且，隨著載荷增大，剛度的增加值逐漸變小。

4 結(jié)語(yǔ)

給出了基于經(jīng)典赫茲理論的推導(dǎo)公式，并建立有限元模型對(duì)該推導(dǎo)公式進(jìn)行驗(yàn)證。同時(shí)，兩者結(jié)果都顯示了轉(zhuǎn)盤軸承非線性剛度的特性，為轉(zhuǎn)盤軸承的設(shè)計(jì)選擇提供了依據(jù)，具有一定的工程應(yīng)用參考價(jià)值。

［1］Palmgren A.Ball and Roller Bearing Engineering［M］，3rd ed.Burbank，Philadelphia，1959.

［2］羅天宇，羅繼偉.圓柱滾子的彈性趨近量［J］.軸承 2009（6）:8-10.

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