莫 磊，李瑞杰，2，李佳芮，劉華鋒

(1.河海大學(xué)海岸災(zāi)害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)環(huán)境海洋實驗室，江蘇南京 210098)

懸移質(zhì)泥沙的濃度分布理論多種多樣［1］，但都可以統(tǒng)一到擴散理論的形式，不同點主要表現(xiàn)為擴散系數(shù)中考慮的主要影響因素和影響方式的差別。擴散理論的關(guān)鍵是合理確定擴散系數(shù)，由于泥沙問題的復(fù)雜性，擴散系數(shù)的確定經(jīng)常帶有半經(jīng)驗性，通常引入施密特數(shù)Sc(Sc=vt/εs)或修正系數(shù)β(β=1/Sc)，認為紊動擴散系數(shù)εs正比于水流紊動黏性系數(shù)vt［2］。進一步假定水流質(zhì)點的紊動擴散與水流動量的紊動交換過程類似，紊動擴散系數(shù)等于水流紊動黏性系數(shù)。在研究含沙量沿垂向分布以及紊流計算中，經(jīng)常要用到水流的紊動黏性系數(shù)［3］。基于有限摻混長度理論，不同摻混長度的表達式對應(yīng)著不同的水流紊動黏性系數(shù)［4］。由于不同區(qū)域的泥沙特性不一樣，因此考慮泥沙垂線分布時也要考慮到不同區(qū)域的泥沙特性［5-7］。泥沙垂線分布公式的形式很多［8-11］，其中Rouse提出的公式應(yīng)用最多，但Rouse公式有一定的局限性。筆者擬從水流的應(yīng)力分析入手，對實測資料進行最小二乘擬合，期望得出新的摻混長度公式，進而導(dǎo)出新的懸沙垂線分布公式以彌補Rouse公式的一些缺陷。

1 紊動黏性系數(shù)

1.1 應(yīng)力分析

根據(jù)紊流理論，切應(yīng)力由兩部分組成:

其中

式中:τ1——黏滯切應(yīng)力;τ2——紊動切應(yīng)力;μ——水流的動力黏性系數(shù);ux——順流向的速度分量;ρ——水的密度;u'x——x方向的脈動流速;u'z——z方向的脈動流速。

對于二維均勻流，τ沿垂線的分布呈線性變化:

其中

式中:τ0——床面切應(yīng)力;z——垂向位置坐標(z軸的正方向與重力方向相反)，在床面上時取z=0;h——水深;u*——摩阻流速。

紊流中，在黏性底層以外的流區(qū)，滿足:

根據(jù)Prandtl的混合長度理論，τ2又可表示為

1.2 摻混長度

Prandtl假設(shè)摻混長度的表達式為l=κz，其中κ為卡門常數(shù)。而Rouse公式中，采用二維均勻流的切應(yīng)力垂線分布τ=τ0(1-z/h)，得到紊流摻混長度公式為

根據(jù)Einstein和Chien的泥沙試驗資料，采用最小二乘法擬合出一條平滑的曲線。該曲線的表達式為

式中A為待定系數(shù)，A的擬合結(jié)果為0.172375。

將Prandtl及Rouse采用的紊流摻混長度公式與式(6)進行比較(圖1)，可知Prandtl摻混長度在整個垂線方向為線性形式，這與實際不符。同樣，Rouse公式的摻混長度在水面處等于零，這也與實際不符。

再將Prandtl，Rouse和式(6)的紊流摻混長度與試驗資料進行比較(圖2)，可知式(6)結(jié)果與Einstein和Chien的泥沙試驗資料最切合。

1.3 紊動黏性系數(shù)的計算

1887年Boussinesq類比層流提出了紊動黏性系數(shù)νt的概念，根據(jù)其假定:

圖1 Prandtl和Rouse采用的紊流摻混長度與式(6)結(jié)果的比較Fig.1 Comparison of Prandtl and Rouse’s mixing length with Eq.(6)

將式(3)代入式(1)，并將 τ0=ρ代入，聯(lián)立式(8)可得

圖2 Prandtl，Rouse及式(6)的紊流摻混長度與Einstein和Chien試驗資料的比較Fig.2 Comparison of Prandtl and Rouse’s mixing length，and Eq.(6)with Einstein and Chien’s test data

2 懸沙垂線分布公式

式中:ω——泥沙顆粒在靜止清水中的沉降速度;c——含沙量;εs——泥沙顆粒交換系數(shù)，取εs≈νt，可得

懸移質(zhì)在水流中處于平衡狀態(tài)時應(yīng)滿足的質(zhì)量守恒方程為

式中ca為z=a處的含沙量。

而Rouse公式為

其中

甌江口的泥沙為黏性沙，根據(jù)Krone發(fā)現(xiàn)的泥沙沉速隨著含沙量的增加而增加的規(guī)律［12］，認為可取

式中K為經(jīng)驗系數(shù)，取為0.001。在已知u*和ω的情況下，即可求得Rouse數(shù)。

取Rouse數(shù)等于1時，Rouse公式和式(12)結(jié)果的比較如圖3所示。結(jié)果顯示，式(12)與Rouse公式的相關(guān)系數(shù)達到0.9628，但式(12)卻克服了Rouse公式所在水面處和河底部位出現(xiàn)的缺陷，即式(12)不僅當懸浮指標不大時所描述的水面含沙量不為零，而且當參考點取得相當小時所描述的含沙量仍不會出現(xiàn)等于無窮大的不合理現(xiàn)象。

圖3 Rouse公式結(jié)果與式(12)結(jié)果的比較(Rouse數(shù)為1)Fig.3 Comparison of Rouse formula and Eq.(12)(assuming Rouse number is equal to 1)

3 實測資料驗證分析

選取2010年甌江口1號和2號站點的中潮實測資料(各層含沙量)對式(12)進行分析驗證(參考層取為0.2層)，小潮和大潮的結(jié)果與中潮類似。

如圖4、圖5所示，雖然甌江口海域輸沙量大，但含沙量都比較低，泥沙分布特征不明顯，下層含沙量與上層差異不大。式(12)的計算結(jié)果與實測整體趨勢一致，均能客觀地反映含沙量垂線分布規(guī)律。整體上，式(12)合理地反映了整個水體的含沙量垂線分布規(guī)律。

圖4 甌江1號站位(中潮)計算與實測含沙量對比omparison of computed sediment concentration and field data at station No.1 in Oujiang Estuary(middle tide)

圖5 甌江2號站位(中潮)計算與實測含沙量對比omparison of computed sediment concentration and field data at station No.2 in Oujiang Estuary(middle tide)

4 結(jié) 語

根據(jù)Einstein和Chien的泥沙試驗資料，采用最小二乘法擬合出新的摻混長度經(jīng)驗公式，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到新的懸沙垂線分布公式，將此公式與2010年甌江口各層含沙量實測資料進行對比，結(jié)果表明新公式能夠較好地反映懸沙垂線分布規(guī)律。

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