韓 勇，管會生

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

混凝土噴射臺車是一種利用機(jī)械臂和壓縮空氣將混凝土輸送并噴射到施工面的自行式機(jī)械，被廣泛應(yīng)用于隧道、礦山等地下工程的建設(shè)中。我國對混凝土噴射臺車的應(yīng)用與研究始于20世紀(jì)70年代。近年來，不斷對國外混凝土噴射機(jī)械臂進(jìn)行引進(jìn)、消化、吸收再創(chuàng)新，目前已有幾家企業(yè)成功研制出混凝土噴射臺車，其綜合性能指標(biāo)已達(dá)到了相當(dāng)高的水平，可以滿足國內(nèi)部分工程項(xiàng)目的需要。

在以往的研究中:文獻(xiàn)［1－2］總結(jié)了地下工程建設(shè)機(jī)械化施工技術(shù);文獻(xiàn)［3－5］具體介紹了混凝土噴射臺車在隧道和礦山建設(shè)的應(yīng)用、發(fā)展、施工工藝以及存在的技術(shù)難點(diǎn)。機(jī)械臂是混凝土噴射臺車的主要工作裝置，具有調(diào)節(jié)噴頭空間位置與姿態(tài)的功能。對于復(fù)雜的噴射路徑，需要有一套聯(lián)動控制的機(jī)制，控制各油缸動作，驅(qū)動機(jī)械臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動，使末端工作器按給定路徑移動。文獻(xiàn)［6］給出了機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型化的方法;文獻(xiàn)［7］介紹了機(jī)械臂的控制技術(shù);文獻(xiàn)［8－10］將機(jī)器人臂的分析技術(shù)應(yīng)用于工程機(jī)械工作臂的研究，在已知臂關(guān)節(jié)參數(shù)變量的條件下計算出工作臂末端可達(dá)空間，提供了工程機(jī)械工作臂正向運(yùn)動學(xué)的研究實(shí)例。

為解決機(jī)械臂末端執(zhí)行器工作路徑控制的問題，需進(jìn)一步研究噴射路徑與機(jī)械臂關(guān)節(jié)參數(shù)變量的關(guān)系。在噴射混凝土作業(yè)中，噴射路徑是依照工程需要預(yù)先給定的。因此，與文獻(xiàn)［8－10］不同的是，噴頭位置已知而機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動過程未知。計算機(jī)械臂各關(guān)節(jié)參數(shù)將涉及到運(yùn)動學(xué)逆向求解(文獻(xiàn)［8－10］屬于正向運(yùn)動學(xué)求解)。

本文以Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂裝置作為研究對象，利用逆向運(yùn)動學(xué)的方法，研究機(jī)械臂位姿參數(shù)與噴頭運(yùn)動軌跡的關(guān)系。

1 混凝土噴射機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)與工作原理

Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車是由Normet公司開發(fā)的一種多功能隧道移動混凝土噴射設(shè)備，可用于橫截面積15～200 m2和高度為15 m的工作空間。該臺車工作裝置(如圖1所示)集高效能的機(jī)械臂和工作平臺于一體，主要由基座、大臂、平臺基座、人員操作平臺、小臂和噴頭等部分組成。

混凝土噴射作業(yè)步驟為:

1)臺車移動。駕駛員操作臺車進(jìn)入噴射位置，放下支腿，固定臺車位置。

2)大臂動作。大臂油缸驅(qū)動大臂工作，將人員平臺送至噴射工作面。保證工作區(qū)域在小臂工作空間之內(nèi)，且操作人員視野良好。

3)小臂動作。人員籃小臂將噴射頭送至噴射位置并采用S型路徑往返前進(jìn)。同時，將混合均勻的混凝土輸送至噴頭，均勻噴射在工作壁面上。

圖1 Spraymec 9150混凝土噴射臺車機(jī)械臂(單位:mm)Fig.1 Working arm of Spraymec 9150 shotcreting machine(mm)

2 運(yùn)動數(shù)學(xué)模型的建立

混凝土噴射機(jī)械臂可被看做由一系列轉(zhuǎn)動副和移動副連接而成的桿件組。在各桿件都不變形的前提下，在各桿件上確立對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)系，并且保證坐標(biāo)系與對應(yīng)桿件相對固定，利用Denavait－Hartenberg(D－H)方法，以4×4的矩陣來描述某桿件與相對固定參考坐標(biāo)系的三維幾何關(guān)系。將一系列空間關(guān)系矩陣按機(jī)構(gòu)運(yùn)動關(guān)系首尾相乘，就可以得到機(jī)械臂末端相對于基座坐標(biāo)系的位置關(guān)系矩陣，最終建立混凝土噴射機(jī)械臂的位姿矩陣。具體步驟如下:

1)建立桿件坐標(biāo)。除去油缸后的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡圖如圖2(a)所示，在桿件 Li(i=0，1，…，7)上固結(jié)坐標(biāo)系XiYiZi。其中，桿件 L1—L4的 X坐標(biāo)垂直向外桿，桿件L5—L7的X坐標(biāo)垂直向內(nèi)，X0Y0Z0坐標(biāo)為地面，X7Y7Z7坐標(biāo)為噴頭位置，噴頭原點(diǎn)被固結(jié)在小臂尖端中心位置。繪制的桿件坐標(biāo)簡圖如圖2(b)所示。根據(jù)工作臂機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿件坐標(biāo)可得到其桿件參數(shù)，各桿件參數(shù)如表1所示。

圖2 工作臂結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of working arm

表1 機(jī)械臂桿件參數(shù)Table 1 Pole parameters of manipulator

2)建立空間位姿矩陣。XiYiZi坐標(biāo)相對地面坐標(biāo)系X0Y0Z0的空間位姿矩陣Li可表示為各桿件矩陣按順序首尾相乘的形式，為

式中:三行三列矩陣Ri3×3是XiYiZi坐標(biāo)的姿態(tài)參數(shù)矩陣，決定其在空間中對應(yīng)坐標(biāo)系的姿態(tài);(xi，yi，zi)T是位置參數(shù)矩陣，確定其空間位置坐標(biāo)。

桿件矩陣i－1Ti有通式，為

根據(jù)機(jī)械臂桿件參數(shù)(如表1所示)，可知桿件矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6、6T7分別是關(guān)于變量 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7的函數(shù)。所以 7 個桿件矩陣可表示為:0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)、4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3 逆解方法

逆解問題是在目標(biāo)矩陣位置參數(shù)已知的情況下，求整臂位置姿態(tài)——各桿件參數(shù)的問題。

混凝土噴射機(jī)械臂逆解的已知條件:小臂終端X7Y7Z7坐標(biāo)相對于 X0Y0Z0坐標(biāo)的位置(x7，y7，z7)。求解目標(biāo):機(jī)械臂各桿件參數(shù)變量(θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7)。

在無附加條件的情況下，顯然逆解將得到多組臂形解。為確定一組合理臂形解，將整臂逆解分為以下3步:

1)確定大臂終端點(diǎn)。根據(jù)噴射路徑，找到合適的人員平臺位置，確定大臂終端X4Y4Z4坐標(biāo)(x4，y4，z4)。

2)確定大臂運(yùn)動，解大臂桿件參數(shù)。根據(jù)大臂終端點(diǎn)坐標(biāo)，解出大臂桿件參數(shù)矩陣0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)。

3)求小臂桿件參數(shù)。將求出的大臂參數(shù)L4和已知參數(shù)X7Y7Z7的坐標(biāo)(x7，y7，z7)代入整臂位姿矩陣，解得出小臂桿件矩陣4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3.1 大臂終端位置

大臂臂形與人員平臺的位置有關(guān)，為找出大臂終端X4Y4Z4位置，應(yīng)確定合理的人員平臺位置。

合理的人員平臺位置應(yīng)滿足以下2個條件:

1)操作人員應(yīng)有良好的操作視野。

2)噴射工作區(qū)域在小臂工作空間之內(nèi)。

因此，人員平臺應(yīng)位于噴射工作面中心(點(diǎn)Pc)正前方。噴射區(qū)域與人員平臺關(guān)系如圖3所示。圖中X4Y4Z4為大臂終端，該點(diǎn)與平臺底部連接。D為大臂終端與噴射區(qū)域中心點(diǎn)Pc的橫坐標(biāo)距離，考慮小臂伸長距離，取值為2.5～3 m。Z為大臂終端與噴射區(qū)域中心點(diǎn)Pc的縱坐標(biāo)距離，其取值與操作人員目視高度有關(guān)，可取1.4 ～1.6 m。

圖3 噴射區(qū)域與平臺位置關(guān)系Fig.3 Position relationship between working area and platform

確定人員平臺位置的步驟如下:

1)根據(jù)噴射路徑找出工作面中心nc。以隧道中線某處為坐標(biāo)0點(diǎn)，在噴射路徑上均勻地取n個點(diǎn)Pn(xn，yn，zn)，通過式3可得到噴射中心點(diǎn)Pc的空間坐標(biāo)(cx，cy，cz)。

2)求出人員平臺中心L點(diǎn)。以噴射隧道側(cè)墻為例，X4Y4Z4相對于 X0Y0Z0的空間位置坐標(biāo) (x4，y4，z4)為:

3.2 大臂參數(shù)求解

已知大臂末端坐標(biāo)(x4，y4，z4)，大臂姿態(tài)就能被確定。在式(1)中，當(dāng)取i=4，可得大臂末端(桿件4坐標(biāo)X4Y4Z4)相對地面的位姿矩陣為:

考慮到人員平臺與地面水平，將條件θ1=－θ4代入式(5)，等式右側(cè)矩陣相乘可得:

提取式(6)中矩陣的位置參數(shù)可得:

經(jīng)計算整理后可得出4個變量的解:

式中:A= －x4·sin θ1+y4cos θ1－a4;B=xz－d1－d4。

3.3 小臂參數(shù)求解

已算得大臂桿件參數(shù)矩陣L4，式(1)取i=7，可得小臂末端(桿件7坐標(biāo)X7Y7Z7)相對地面的位姿矩陣

此時逆解整臂問題的未知量僅剩下3個小臂桿件參數(shù) θ5、θ6、d7。計算可得出:

式中:C=cos θ1·x7+sin θ1·y7－sin θ1·y4－cos θ1·x4;D= － sin θ1·x7+cos θ1·y7－ cos θ1·y4+sin θ1·x4。

4 應(yīng)用

按照實(shí)際噴射混凝土噴射工況［1］，在側(cè)墻上定義一條起點(diǎn)坐標(biāo)為(5 000，3 800，7 800)的噴射路徑(如圖4所示)，根據(jù)該路徑計算機(jī)械臂各關(guān)節(jié)運(yùn)動參數(shù)曲線。

圖4 噴射路徑(單位:mm)Fig.4 Shotcreting path(mm)

按逆向解方法求以上路徑對應(yīng)各個運(yùn)動副的參數(shù)曲線，過程如下:

1)在路徑上均勻取1 000個點(diǎn);

2)求每個點(diǎn)對應(yīng)的 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7值;

3)將每個關(guān)節(jié)的數(shù)據(jù)擬合成曲線，得到5條轉(zhuǎn)動副參數(shù)曲線和2條平移副參數(shù)曲線;

4)將 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7曲線以 ASCII碼的形式保存至 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件。

編寫Matlab程序?qū)崿F(xiàn)上述功能，程序框圖如圖5所示。

圖5 程序運(yùn)行框圖Fig.5 Program block

設(shè)定路徑上取點(diǎn)數(shù)n=1 000，計算步數(shù)為2 000。輸出仿真結(jié)果，得到轉(zhuǎn)動副參數(shù)曲線(見圖6)和平移副參數(shù)曲線(見圖7)。

5 虛擬樣機(jī)驗(yàn)證

為論證逆解的正確性，設(shè)計虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證逆解結(jié)果。

采用SolidWorks軟件進(jìn)行三維建模，利用COSMOSMotion進(jìn)行運(yùn)動仿真實(shí)驗(yàn)，從而驗(yàn)證逆解方案。

根據(jù)預(yù)定噴射路徑，通過逆解求得了 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7共 7 個變量曲線。利用正向運(yùn)動學(xué)思想，將這些運(yùn)動曲線賦值給機(jī)械臂的對應(yīng)關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)，通過運(yùn)動仿真，觀察機(jī)械臂末端的運(yùn)動路徑與預(yù)定噴射路徑是否一致。

5.1 虛擬樣機(jī)的建立

利用SolidWorks軟件建立混凝土噴射機(jī)械臂各零件的簡化模型，除去油缸和銷軸，裝配整臂。在COSMOSMotion插件中，定義基座為靜止零件，其他零件為運(yùn)動零件。軟件根據(jù)裝配條件生成如下運(yùn)動副:轉(zhuǎn)動副joint1、轉(zhuǎn)動副joint2、移動副joint3、轉(zhuǎn)動副joint4、轉(zhuǎn)動副joint5、轉(zhuǎn)動副joint6、移動副joint7，然后在上述運(yùn)動副上添加驅(qū)動電機(jī)。

將 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件以樣條曲線的形式依次導(dǎo)入至joint1、joint2、…、joint7對應(yīng)的驅(qū)動電機(jī)中。

建立混凝土噴射機(jī)械臂虛擬樣機(jī)如圖8所示。

圖8 機(jī)械臂虛擬樣機(jī)Fig.8 Virtual prototype of manipulator

5.2 仿真結(jié)果

為觀察人員籃和小臂末端運(yùn)動軌跡，分別在人員籃轉(zhuǎn)動基座和小臂第二節(jié)伸縮臂末端定義軌跡跟蹤［8］。

設(shè)置仿真時間為200 s，幀數(shù)為2 000，選擇積分器類型為GSTIFF。機(jī)構(gòu)路徑仿真結(jié)果如圖9所示。

對比圖9和圖4，不難看出，正向仿真運(yùn)動軌跡線和預(yù)先定義的噴射路徑相符合。該現(xiàn)象說明:按照逆解得到的各關(guān)節(jié)運(yùn)動曲線可以驅(qū)動機(jī)械臂尖端按照預(yù)定路徑運(yùn)動。

圖9 運(yùn)動軌跡Fig.9 Trajectory

6 體會

本文運(yùn)用幾何解法，給出了Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂的一種逆解方案，并設(shè)計了虛擬樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，對逆解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)正結(jié)果證明逆解正確，可作為同類機(jī)械臂末端執(zhí)行器控制的參考。

本文建立數(shù)學(xué)模型時默認(rèn)各桿件為剛性桿件，在真實(shí)桿件形變作用下，實(shí)際情況和理論計算存在一定偏差。如考慮桿件變形因素的影響，可使計算更精確。

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