馮文奎， 肖慶憲

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

金融市場的收益波動一般具有杠桿效應(yīng)，同等程度負(fù)的沖擊引起的波動大于正的沖擊引起的波動.Bollerslev［1］在 ARCH 模 型［2］的 基 礎(chǔ) 上 提 出GARCH模型，能夠刻畫金融市場收益異方差、波動聚集的特征，但是并不能刻畫非對稱特征.為了在GARCH模型的基礎(chǔ)上來刻畫金融市場的杠桿效應(yīng)，目前的研究主要分兩個方面：一種是尋找能夠更好描述數(shù)據(jù)特征的分布函數(shù)，另一種則是對條件方差方程的改進(jìn).

符合要求的分布函數(shù)一般都是位置—尺度函數(shù)，位置參數(shù)決定著隨機(jī)變量期望的大小，尺度函數(shù)決定著尾部的重量，從而能夠刻畫金融市場收益的高峰、厚尾的特征.Bollerslev用t分布［3］、Nelson用廣義誤差分布［4］來刻畫股票收益高峰、厚尾的特征.Lambert和Laurent［5］使用偏斜t分布，刻畫金融市場高峰、厚尾、非對稱的特征.易艷紅、周石鵬使用穩(wěn)定分布的GARCH模型對上證指數(shù)進(jìn)行研究，結(jié)果表明穩(wěn)定分布能夠很好地刻畫金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性［6］.還有一些學(xué)者使用混合分布的形式來刻畫股票報酬的非對稱性，如混合正態(tài)分布（Kon1984）［7］、貝努里－正態(tài)分布、正態(tài)－普阿松分布等.

另一種是對條件方差方程進(jìn)行的改進(jìn)，如Glosten，Jagannathan和Runkle［8］的GJR－GARCH模型是在方程中加入杠桿項，因此能夠刻畫非對稱特征.沐年國［9］在GARCH模型里加入跳結(jié)構(gòu)，闡述了該模型在兩種情況下由跳引發(fā)的數(shù)據(jù)失真，并分析了模型跳部件與連續(xù)路徑部件之間不能等同視之的原因.Ding，Granger和 Engle［10］認(rèn)為用歷史殘差和方差的二次冪來擬合條件方差不一定是最佳的，他們將次冪看成一個待定參數(shù)，同時也在信息處理函數(shù)中引入杠桿項，提出APARCH模型.該模型不僅能夠刻畫非對稱特征，提高了預(yù)測的精度，也具有更強(qiáng)的模型概括能力.然而以上各種模型中的杠桿項一般為殘差項的正比例函數(shù)，在收益為0的閾值存在結(jié)構(gòu)突變.Hagerud［11］提出ST－GARCH模型，對信息項進(jìn)行平滑處理，該模型認(rèn)為信息項并非是殘差項的正比例函數(shù)，而是一個復(fù)雜的非線性形式，并且使用平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)解決了閾值處結(jié)構(gòu)突變的問題，同時認(rèn)為不同的金融市場樣本應(yīng)具有不同的閾值參數(shù)，并非剛好為0.Lanne和Saikkonen［12］認(rèn)為波動的高持續(xù)性與不經(jīng)常的機(jī)制轉(zhuǎn)換有關(guān)，進(jìn)一步擴(kuò)展了ST－GARCH模型，該模型同時對杠桿項和滯后方差項進(jìn)行平滑處理，能夠解釋波動的高持續(xù)性.Kilic［13］考慮到一些金融市場波動具有長記憶性，將ST－GARCH模型與FIGARCH模型相結(jié)合，提出了ST－FIGARCH模型，該模型能夠同時解釋長記憶性與兩狀態(tài)機(jī)制轉(zhuǎn)換的特征.

本文在APARCH模型的基礎(chǔ)上，對信息處理函數(shù)中的杠桿項進(jìn)行平滑處理，提出ST－APARCH模型，并給出兩種具體形式.該模型并非ST－GARCH的簡單次冪參數(shù)化形式，兩者對信息的處理方式不同.與APARCH模型相比，該模型具有更強(qiáng)的模型概括能力，同時杠桿項系數(shù)的形式更加靈活.另外，對聚乙烯期貨市場的對數(shù)收益進(jìn)行了樣本特征分析和ADF－KPSS聯(lián)合檢驗，結(jié)果表明聚乙烯期貨的對數(shù)收益具有顯著的杠桿效應(yīng)，但并沒有長記憶性.因此本文采用該聚乙烯期貨的對數(shù)收益數(shù)據(jù)來進(jìn)行模型的實證研究，研究表明，ST－APARCH能夠更有效地描述該市場的價格波動特征.

1 模型建立

1.1 APARCH模型

Ding，Granger和Engle［10］對GARCH族模型中滯后收益和波動平方項的設(shè)置表示質(zhì)疑，提出了APARCH模型.該模型認(rèn)為針對不同的數(shù)據(jù)樣本，條件方差方程要用不同的次冪來解釋，將次冪看成一個待估參數(shù)而非數(shù)值2.即

式中，rt表示收益；μt表示均值過程；εt表示隨機(jī)擾動項；f表示某種形式的分布；σ2t表示方差；It－1表示t－1時刻的信息集；ω表示系統(tǒng)中原先的不確定性；α表示近期消息對波動沖擊的程度；ε表示消息，大于0時為正面消息，小于0時為負(fù)面消息；γ為杠桿項的系數(shù)，決定著杠桿項的大小；δ表示波動的次冪特征；β表示近期波動的持續(xù)性對當(dāng)期波動的影響.ω＞0，αi≥0，βj≥0，－1＜γi＜1，δ≥0.

當(dāng)γi＞0時，同等程度正面消息的沖擊大于負(fù)面消息沖擊導(dǎo)致當(dāng)期收益的波動程度；當(dāng)γi＜0時，同等程度負(fù)面消息的沖擊要大于正面消息的沖擊引起的當(dāng)期收益的波動程度.因此，該模型能夠描述收益波動的杠桿效應(yīng).

觀察模型對于信息項的處理，其閾值為0，在閾值兩側(cè)分別為關(guān)于εt－i的一個線性函數(shù).信息項中杠桿項的系數(shù)為固定常數(shù).對于一個數(shù)據(jù)樣本，一旦參數(shù)估計完成，該線性函數(shù)的形式就固定了.

1.2 ST－GARCH模型

Hagerud［11］認(rèn)為，傳統(tǒng)非對稱GARCH族模型對信息的刻畫不夠平滑，在閾值0點(diǎn)存在結(jié)構(gòu)突變，這與金融市場的特征不符.受STAR模型的啟發(fā)，他使用平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)對信息項進(jìn)行處理，提出STGARCH模型如下

式中，F(xiàn)為平滑轉(zhuǎn)移函數(shù).Hagerud［11］認(rèn)為，對于不同的數(shù)據(jù)樣本，可以根據(jù)其特征選擇相應(yīng)的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)形式，他給出指數(shù)函數(shù)和Logistic函數(shù)兩種形式.Lubrano［14］在研究ST－GARCH模型時，提出兩種擴(kuò)展的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，即擴(kuò)展的Logistic函數(shù)和擴(kuò)展的指數(shù)函數(shù)形式

需要指出，盡管兩個函數(shù)都是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式，但是同樣的參數(shù)所代表的意義不盡相同.圖1和圖2向量中元素分別表示參數(shù)θ和c.

圖1 logistic函數(shù)形式平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)Fig.1 Logistic form of smooth transfer function

圖2 指數(shù)函數(shù)形式平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)Fig.2 Exponential form of smooth transfer function

由圖1可以看出，對于Logistic函數(shù)形式的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，θ越大，圖形越陡峭，θ越小，圖形越平緩；同時θ也決定著函數(shù)逼近極限值1的快慢程度.參數(shù)c為閾值，當(dāng)ε在［－c，c］之間時，函數(shù)值緩慢增長，接近0；在區(qū)間之外，函數(shù)則呈較快速度增長.因此該函數(shù)能夠解釋金融市場某時刻存在突變的機(jī)制轉(zhuǎn)換情形，當(dāng)該參數(shù)值接近0時，表明市場并不存在突變的機(jī)制轉(zhuǎn)換.

由圖2可以看出，對于指數(shù)函數(shù)形式的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，該函數(shù)關(guān)于ε＝c對稱，c為位置參數(shù)，θ越大，圖形越陡峭，θ越小，圖形越平緩；同時θ也決定著函數(shù)逼近極限值1的快慢程度.

兩個函數(shù)圖形均呈U形狀，大于0，兩端無限逼近1.采用平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)處理信息項具有幾個優(yōu)勢：第一，不再使用信息的絕對值項，而采用信息的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，這樣在0處系統(tǒng)不會發(fā)生突變，而是平滑的；第二，信息項的系數(shù)是動態(tài)變化的，是一個與ε相關(guān)的非線性函數(shù)，大消息的沖擊引起的波動大于小消息引起的波動，且其變化的斜率也更大，更符合金融市場的波動特征；第三，Logistic函數(shù)形式的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)可以刻畫機(jī)制突變的金融市場波動特征，指數(shù)函數(shù)形式的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)則能夠刻畫金融市場的杠桿效應(yīng).

1.3 ST－APARCH模型的建立

對于金融市場價格波動，大消息的沖擊引起的波動必然大于小消息沖擊引起的波動，且波動變化的速度也是不同的.換句話說，消息程度的不同，條件方差方程中杠桿項的系數(shù)也應(yīng)該是時變的，消息越大，對應(yīng)的杠桿項系數(shù)應(yīng)該越大.另一方面，收益的分布特征參數(shù)是時變的，金融市場是一個不可重復(fù)實驗，每個εt－i服從單獨(dú)的分布，這也表明在刻畫條件波動時，杠桿項的系數(shù)應(yīng)該是時變的，并且與εt－i的大小有關(guān).因此對杠桿項的系數(shù)處理也應(yīng)該是關(guān)于εt－i的某種非線性函數(shù).

APARCH模型能夠刻畫金融市場波動的次冪特征，但是對信息的處理過于簡單；ST－GARCH把信息處理成一個復(fù)雜非線性的函數(shù)形式，不同的平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)能夠刻畫市場不同的特征，但是其將次冪固定為2，與市場事實有一定差別.兩個模型能夠刻畫不同的金融市場波動特征，結(jié)合其優(yōu)點(diǎn)，提出ST－APARCH模型為

其中，ω＞0，αi≥0，βj≥0，－1＜γi＜1，δ≥0，F(xiàn)（εt－i）是可以擴(kuò)展的，這里借鑒Lubrano［12］，使用擴(kuò)展的Logistic和指數(shù)函數(shù)形式，分別稱之為GLST－APARCH和GEST－APARCH模型.

從模型結(jié)構(gòu)形式可知，與ST－GARCH模型不同，采用平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)來處理杠桿項εt－i的系數(shù)，而ST－GARCH模型處理的則是信息的系數(shù).由于平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)是連續(xù)變化的，盡管方程中的信息項仍含有絕對值項，該模型對信息的處理是平滑的，而APARCH模型則在0點(diǎn)處存在斜率結(jié)構(gòu)突變，與金融市場特征事實不符.

對于兩種函數(shù)形式，均有當(dāng)θ→＋∞時，F(xiàn)（εt－i）→1，此 時 ST－APGARCH 模型轉(zhuǎn)化為APARCH模型.事實上，由于該函數(shù)e－θε呈指數(shù)形式衰減，當(dāng)θ較大時，ST－APARCH已經(jīng)非常逼近APARCH模型.

當(dāng)δ＝1，γi＝0時，有APARCH 模型轉(zhuǎn)化為 TS－GARCH模型.

當(dāng)δ＝2，γi＝0時，有模型轉(zhuǎn)化GARCH模型.

當(dāng)δ＝2，γi≠0時，有和Engle［8］指出，該模型為變形的 GJR－GARCH模型.

ST－APARCH模型能夠概括的其它模型有ARCH，TARCH，NARCH，Log－GARCH模型.可見與APARCH模型相比，ST－APARCH模型能夠概括更多的GARCH族模型.

最大化該對數(shù)似然函數(shù)即可求得各參數(shù)的估計值.

2 實證研究

本文選取大連商品交易所聚乙烯期貨2007年8月1日到2012年12月14日的每日收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，共1 311個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源為大智慧分析家的連續(xù)合約數(shù)據(jù).由于期貨合約具有交割日期，期貨價格是不連續(xù)的，為了研究的需要，構(gòu)造連續(xù)的期貨價格序列，選取最近月份的期貨合約作為代表，在該期貨合約進(jìn)入交割月后，選取下一個最近期貨合約，反復(fù)類推即產(chǎn)生連續(xù)的期貨價格序列.

由表1中連續(xù)期貨對數(shù)價格收益的統(tǒng)計特征可以看出，偏度為－0.327 9，峰度為5.624 1，表明對數(shù)收益的分布是左偏的厚尾的，J－B統(tǒng)計量為399.321，進(jìn)一步也證明了收益的分布并非正態(tài)分布，該市場存在顯著的杠桿效應(yīng).

表1 連續(xù)合約期貨對數(shù)價格收益的基本統(tǒng)計特征Tab.1 Basic statistical characteristics

選擇恩格爾的arch檢驗來檢驗樣本是否具有異方差性，零假設(shè)為該時間序列不具有異方差效應(yīng)，結(jié)果為：p值5.59E－08，統(tǒng)計量29.50，臨界值3.84，表明對數(shù)收益序列明顯具有異方差性.

表2為平穩(wěn)性檢驗的統(tǒng)計量及其置信度水平，ADF檢驗的原假設(shè)為該時間序列有一個單位根；KPSS檢驗的原假設(shè)為該時間序列是平穩(wěn)的.從表2可以看出，ADF檢驗的t統(tǒng)計量在所有的置信水平下均拒絕原假設(shè)，因此該時間序列不存在單位根.考慮到分?jǐn)?shù)單整，不存在單位根并不意味著序列一定是平穩(wěn)的.而KPSS檢驗的LM統(tǒng)計量在所有的置信水平下均不拒絕原假設(shè)，這證明了該時間序列是平穩(wěn)的，也說明對數(shù)收益序列不存在長記憶性特征.

表2 ADF－KPSS聯(lián)合檢驗Tab.2 Joint ADF－KPSS test

表3為模型估計的參數(shù)，LL表示似然函數(shù)值，LL越大，表明樣本數(shù)據(jù)發(fā)生的概率越大，模型的擬合效果越好.考慮到增加參數(shù)帶來的模型復(fù)雜程度，避免過度擬合，使用AIC和SC準(zhǔn)則，統(tǒng)計量的值越小，相應(yīng)的模型越優(yōu)秀.按照統(tǒng)計量的大小將模型歸納成表4，序號越大表明按照準(zhǔn)則模型越優(yōu)良.

從表4可以看出，刻畫波動性最好的模型從高到低為GEST－APARCH，GLST－APARCH，APARCH，GJRGARCH，GARCH模型.

由于聚乙烯期貨市場的價格波動存在顯著的杠桿效應(yīng)，即同等程度的負(fù)面消息沖擊引起的收益波動大于正面消息沖擊引起的收益波動.GARCH模型并不能刻畫該特征，而GJR－GARCH模型根據(jù)沖擊的符號不同，分別設(shè)置一個GARCH模型.換而言之，GJR－GARCH實質(zhì)上是一個以0為閾值的分段函數(shù)，負(fù)沖擊時信息項的系數(shù)比正沖擊時信息項的系數(shù)大，因此GJR－GARCH刻畫聚乙烯期貨市場收益波動的效果比GARCH模型好.

表3 模型的參數(shù)估計Tab.3 Parameter estimation of the model

表4 不同模型的優(yōu)劣比較Tab.4 Pros and cons of the different models

與GJR－GARCH模型相比，APARCH也能夠刻畫杠桿效應(yīng)，同時認(rèn)為，使用滯后ARCH項和GARCH項的平方來解釋條件波動并不恰當(dāng)，而應(yīng)將次冪看成一個參數(shù)進(jìn)行估計.由表3可以看出估計的δ值為1.026 1，并非傳統(tǒng)GARCH族模型所使用的2.因此，從任一準(zhǔn)則來看APARCH均比GARCH和GJR－GARCH模型優(yōu)良，這也證明APARCH模型關(guān)于次冪參數(shù)設(shè)置的合理性.

但是，GJR－GARCH和APARCH模型對于杠桿項的處理太過簡單，負(fù)消息的系數(shù)是固定的，正消息的系數(shù)也是固定的，這顯然是不合理的.同樣是負(fù)面消息的沖擊，大的沖擊引起的波動的速度應(yīng)該大于小的沖擊引起的波動的速度；同樣，正面消息的沖擊，大的沖擊引起的波動的速度也應(yīng)該大于小的沖擊引起的波動的速度.因此，杠桿項的系數(shù)應(yīng)該是信息的某個非線性函數(shù)，而非固定值.與APARCH模型相比，GLST－APARCH和 GEST－APARCH模型考慮到該效應(yīng)，因此對波動的擬合效果比APARCH模型優(yōu)良.

GEST－APARCH估計出的c為6.25E－04，表明杠桿項系數(shù)的最小值在0點(diǎn)附近，在非常微小的消息沖擊下，收益的波動幾乎不存在杠桿效應(yīng).GLST－APARCH估計出的c為2.74E－07，接近0，表明聚乙烯期貨市場收益并不存在突變的機(jī)制轉(zhuǎn)換特征.

為了進(jìn)一步更直觀地看到正負(fù)消息沖擊引起聚乙烯期貨收益的波動情況，分別畫出各模型的信息沖擊曲線［15］.表示整個樣本的方差，用固定模型中滯后一階的波動，考慮不同的信息沖擊引起條件波動的變化，那么各模型對應(yīng)的信息沖擊函數(shù)分別為

其中，F(xiàn)（εt－1）＝1－exp（－θ（εt－1－c）2）.

先忽略次冪參數(shù)以及滯后期波動的影響，單獨(dú)考慮各模型對信息項的處理，各模型的信息處理函數(shù)如表5所示.

表5 不同模型的信息處理函數(shù)Tab.5 Information processing function of different models

表5中各函數(shù)的圖形如圖3所示，可以看出，GARCH模型對于信息項的處理是對稱的，并沒有考慮到信息沖擊的非對稱性；GJR－GARCH模型在沖擊為正時和GARCH模型是重合的；當(dāng)沖擊為負(fù)時，信息處理函數(shù)的值比GARCH模型大；APARCH模型的圖形左側(cè)比GARCH模型要高，右側(cè)比GARCH模型低；盡管GJR－GARCH和APARCH模型在一定程度刻畫了杠桿效應(yīng)，但是這兩種模型在縱軸左右兩側(cè)都是信息的線性函數(shù)；而GLST－APARCH模型和GEST－APARCH模型左右兩側(cè)卻是非線性的，對信息的處理更加靈活.

圖3 不同模型的信息處理函數(shù)Fig.3 Information processing of different models

由圖4可以看出，GJR－GARCH在波動建模中劣于APARCH模型，正是因為將次冪設(shè)置為2的不合理性，而不同的樣本應(yīng)當(dāng)有不同的次冪特征.事實上，從表3可以看出，估計到的次冪參數(shù)δ在1左右.在聚乙烯期貨市場波動的研究中，GLSTAPARCH和GEST－APARCH模型之所以優(yōu)于APARCH模型，正是因為其對大波動沖擊引起的波動刻畫更加靈活.

圖4 不同模型的信息沖擊曲線Fig.4 Information impact curve of different models

由于GEST－APARCH在研究該期貨市場波動時是最優(yōu)模型，所以使用該模型刻畫的信息沖擊函數(shù)來解釋該市場收益的波動特征.當(dāng)新信息為正面消息且小于0.025時，波動對消息的反應(yīng)幾乎是正比例變化的.當(dāng)消息沖擊大于0.025時，函數(shù)值雖然是增加的，但是增加的速度在逐漸減緩，表明大的正沖擊引起大的市場價格波動.然而超過一定限度時，盡管市場仍是多方占優(yōu)勢，但是投資者中有一部分人信心動搖，為了鎖住賬戶收益，進(jìn)行了平倉，收益的波動反而沒有成倍放大.當(dāng)新信息為負(fù)消息，沖擊小于0.3時，波動對消息的反應(yīng)幾乎是正比例變化的，但是斜率比正面消息的情形要大，這表明即使對于較小的消息沖擊，同等程度負(fù)面消息引起的波動也大于正面消息引起的波動.當(dāng)負(fù)面消息沖擊大于0.03時，函數(shù)值不僅是增加的，而且斜率更加陡峭，表明大的負(fù)面沖擊引起大的波動，市場價格下跌速度越來越快，人們已對市場感到急劇悲觀，爭相做空，引起該市場更劇烈的價格下跌.負(fù)面消息的閾值要大于正面消息的閾值，這表明下跌行情中人們對市場的觀望更久，在上漲行情中人們則充滿疑慮，急于平倉鎖定賬戶收益.

3 結(jié) 論

本文在APARCH模型的基礎(chǔ)上，使用平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)對杠桿項的系數(shù)進(jìn)行處理，提出ST－APARCH模型，并給出兩種具體的形式：GLST－APARCH，GEST－APARCH.與 APARCH 模 型 相 比，STAPARCH模型對信息的處理更加平滑，能夠概括更多的GARCH族模型，而APARCH模型僅為STAPARCH模型的一種特殊形式.

使用聚乙烯期貨市場的收益數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證研究，結(jié)果表明，模型關(guān)于次冪參數(shù)的設(shè)置是合理的.與 GARCH，GJR－GARCH，APARCH 模型相比，STAPARCH模型能夠更好地刻畫聚乙烯期貨市場的波動特征，尤其是信息沖擊所引起的復(fù)雜的杠桿效應(yīng).

信息沖擊在一定范圍內(nèi)時，波動對消息的反應(yīng)幾乎是正比例變化的，超過臨界點(diǎn)時，正負(fù)消息對波動的影響不同：較大的正面消息沖擊引起較大的市場價格波動，但是波動增加的速度在逐漸減緩；較大的負(fù)面消息沖擊引起大的市場價格波動，并且波動增加的速度在逐漸增加.

負(fù)面消息的閾值要大于正面消息的閾值，這表明下跌行情中人們對市場的觀望更久，在上漲行情中人們則急于平倉以鎖定賬戶收益.

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