姜兆敏

（江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001）

0 引 言

關(guān)于求微分方程近似解的分析方法很多，如攝動(dòng)法、同倫分析法、同倫攝動(dòng)法、變分迭代法、Adomian分裂算法等。其中，變分迭代法已經(jīng)被成功地應(yīng)用于解決各種線性、非線性問(wèn)題［1－4］，許多研究者還對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)［5－6］，變分迭代法對(duì)求微分方程的近似解、精確解是一種很有效的方法。

文中主要考慮用變分迭代法求解如下n階線性常微分方程的初值問(wèn)題

其中，a0（x），a1（x），…，an（x），f（x）為連續(xù)函數(shù)。初值條件

1 變分迭代法

為了闡明變分迭代法的思想，以下面形式的非線性微分方程為例說(shuō)明

式中：L——線性算子；

N——非線性算子；

g（x）——連續(xù)函數(shù)。

方程（1）的校正泛函可表示為

式中：λ（t）——拉氏乘子，可以用校正泛函取駐值的條件來(lái)確定；

yn（x）——方程（1）的n階近似解；

2 應(yīng)用舉例

例1 考慮一階線性微分方程

初值條件

方程（3）的校正泛函為

對(duì)式（4）進(jìn)行變分，得

得到駐值條件：

于是可以識(shí)別拉氏乘子λ＝－1，將其代入式（4），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝0，應(yīng)用迭代公式（5），通過(guò)計(jì)算得：

由于

所以

此為所求常微分方程初值問(wèn)題的精確解。

例2 考慮二階線性微分方程

初值條件：

方程（6）的校正泛函為

對(duì)式（7）進(jìn)行變分，得

得到駐值條件

于是可以識(shí)別拉氏乘子λ＝t－x，將其代入式（7），得到以下迭代公式

取初始近似解y0（x）＝x，應(yīng)用迭代公式（8），通過(guò)計(jì)算得：

此為所求常微分方程（6）初值問(wèn)題的精確解。

例3 考慮二階柯西－歐拉方程

初值條件：

令

即

初值條件：

同例2，對(duì)方程（10）應(yīng)用變分迭代法，得到以下迭代公式

取初始近似解

應(yīng)用迭代公式（11），通過(guò)計(jì)算得：

原方程化為

此為所求常微分方程（10）初值問(wèn)題的精確解，從而原常微分方程（9）初值問(wèn)題的精確解為

例4 考慮三階線性微分方程

初值條件：

方程（12）的校正泛函為：

對(duì)式（13）進(jìn)行變分，得：

得到駐值條件：

于是可以識(shí)別拉氏乘子

取初始近似解

應(yīng)用迭代公式（14），通過(guò)計(jì)算得：

此為所求常微分方程（12）初值問(wèn)題的精確解。

3 結(jié) 語(yǔ)

用4個(gè)具體例子說(shuō)明了變分迭代法在求解常微分方程初值問(wèn)題中的應(yīng)用，對(duì)于線性問(wèn)題，使用變分迭代法可以確定拉格朗日乘子的精確值，從而給出有效的迭代公式。只要給出滿足初值條件的初始近似解y0（x），利用變分迭代公式可以逐步提高近似解yn（x）的精度，當(dāng)n→∞時(shí)，近似解yn（x）收斂到精確解。變分迭代法對(duì)求解常微分方程初值問(wèn)題是一種很有效的分析方法。

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