許建忠，孫紅偉，孫業(yè)岐，段平光，陳剛

（1.河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002；2.河北大學(xué)工商學(xué)院，河北保定 071002；3.北華航天工業(yè)學(xué)院，河北廊坊 065000）

線性調(diào)頻（linear frequency modulation，LFM）信號是一種重要的信號形式，在雷達、通信和地震勘測等系統(tǒng)中都有著廣泛的應(yīng)用，對LFM信號的檢測和參數(shù)估計一直是研究的重點和難點.國內(nèi)外學(xué)者對LFM信號的檢測已經(jīng)提出了很多有效的方法，如基于最大似然的方法［1］，基于STFT 及其他時頻分析的檢測方法等［2］.Wigner－Ville分布（Wigner－Ville distribution，WVD）是最早用于對LFM信號進行時頻分析的方法之一，Simon［3］在強雜波背景下應(yīng)用WVD檢測雷達目標(biāo)，優(yōu)于普通的恒虛警檢測方法，F(xiàn)razer［4］將WVD應(yīng)用于HF超視距雷達，提高了HF超視距雷達的檢測性能.但是當(dāng)用WVD分析多分量LFM信號時，由于WVD存在固有的交叉項，對檢測結(jié)果造成影響［5］.LFM信號在分數(shù)階Fourier變換（Fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT）域有良好的能量聚集性，因此在FRFT域處理LFM信號的檢測與估計問題有很大的優(yōu)勢.但在低信噪比時，F(xiàn)RFT對噪聲的抑制作用有限，檢測性能降低，并且多分量LFM信號的FRFT譜存在相互遮蔽問題［6］，影響了對弱信號的檢測.

LFM信號經(jīng)過Wigner－Ville變換后在時頻平面內(nèi)表現(xiàn)為沖激線譜，因此在Wigner－Ville變換的基礎(chǔ)上應(yīng)用Radon變換，形成Radon－Wigner變換（Radon－Wigner transform，RWT），可以利用信號項的能量聚集，有效實現(xiàn)對信號的檢測.本文分析了采用RWT進行LFM信號檢測的方法和性能，給出了檢測的信噪比和檢測概率.仿真實驗驗證了該方法的有效性.

1 Radon－Wigner變換

連續(xù)解析信號x（t）的WVD為［7］

WVD對線性調(diào)頻信號具有很好的時頻聚集性，但在分析多個信號時，在信號之間、噪聲之間、信號和噪聲之間存在著嚴重的交叉項，影響了對有用信號的檢測.RWT是對信號的WVD進行直線積分投影的Radon變換，通過Radon變換對WVD平面進行積分可以實現(xiàn)對信號項的聚集和對交叉項的平滑，在一定程度上能夠抑制交叉項的影響.

將時頻平面坐標(biāo)逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到新的坐標(biāo)（u，v），以不同的u值平行于v軸積分，即得到Radon變換，如圖1所示為RWT的幾何示意圖，坐標(biāo)間的變換關(guān)系為

若將時頻平面代之以信號x（t）的WVD，即得到x（t）的RWT

式中R［·］表示Radon變換.

圖1 Radon變換幾何示意Fig.1 Geometric forms of Radon transformation

在WVD時頻平面中，若用f軸的f0和斜率β為參數(shù)來表示直線，則當(dāng)沿f＝f0＋βt作直線積分時，可將圖1中的積分路徑參數(shù)（u，α）替換為（f0，β），根據(jù)圖中2對參數(shù)之間的關(guān)系，可以得到用（f0，β）表示的RWT

上式表明，若x（t）是起始頻率為f0和調(diào)頻斜率為β的LFM信號，則積分值最大；而當(dāng)參數(shù)偏離f0，β時積分值迅速減??；因而對一定的LFM信號其RWT會在對應(yīng)的參數(shù)（f0，β）處呈現(xiàn)尖峰.由此，在RWT域中可容易地將信號與交叉項區(qū)分開.

2 基于Radon－Wigner變換的檢測分析

由RWT的定義可知，RWT是通過對信號WVD平面（t，f）應(yīng)用Radon變換進行投影積分，利用LFM信號在時頻平面上的能量聚集特征，以實現(xiàn)信號的檢測.

2.1 檢測信噪比

對于回波信號

其中s（t）為真實的目標(biāo)回波信號成分，w（t）為噪聲或雜波干擾.假設(shè)LFM信號的離散化表達式為

其中Ts為采樣周期，N為采樣個數(shù)，φ0為初始相位.

若只有信號s（n）而不存在噪聲時，則R（u，α）在（u，α）參數(shù)空間內(nèi)呈現(xiàn)為一尖峰，其峰值位于參數(shù)（f0，β）對應(yīng)的（u0，α0）處，峰值為N2A2／2，而對于有噪聲的觀測信號x（n）則在（u0，α0）處會發(fā)生隨機起伏，并有一定的起伏方差var｛R（u，α）｝，Barbarossa［8］提出把二維變換域上的信號峰值平方作為信號功率，該處的噪聲方差作為噪聲功率，因此可以得到基于RWT的信噪比

分母項var｛R（u，α）｝的計算可分2步進行［7］，首先計算其數(shù)學(xué)期望

這里假設(shè)了雜噪信號的自相關(guān)函數(shù)Rw（k）＝，然后計算含雜噪信號RWT的二階矩

因此，由式（8），（9）可以得到含雜噪信號的方差

綜合式（7），（10），最終可得含雜噪信號的RWT輸出信噪比為

其中SNRin＝為輸入信噪比，并由式可見增大數(shù)據(jù)長度N是改善信噪比的一個有效手段.

2.2 檢測概率分析

對目標(biāo)檢測，構(gòu)造二元假設(shè)檢驗［9］

式中x（t），s（t，ρ），w（t）分別代表接收信號、目標(biāo)回波信號、噪聲和雜波干擾等.ρ為目標(biāo)中的未知參數(shù)，對于LFM信號來說，ρ＝［f0β］.

在u，α參數(shù)空間內(nèi)，設(shè)Xu，α為接收信號經(jīng)RWT后在（u，α）點的值，若檢測門限為λ，則其虛警概率為

同樣有其檢測概率

式中?（u，α）表示存在（u，α）點，?（u，α）表示對任意存在的（u，α）點.

假設(shè)經(jīng)RWT后信號中的噪聲為高斯白噪聲，則由式（8），（10）可知在無目標(biāo)信號時的噪聲概率密度函數(shù)為

同理，可以得到有目標(biāo)信號時的噪聲概率密度函數(shù)

因此，由式（15）可以得到虛警概率為

式中φ（x）稱為概率積分函數(shù)，其定義為

由式（16）可以得到目標(biāo)的檢測概率

這樣，通過式（17）可以得到給定虛警概率Pf情況下的門限值λ，由式（19）就可以得到在一定門限下的檢測概率Pd.

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 噪聲干擾下的檢測

假設(shè)LFM信號的起始頻率為f0＝10MHz，調(diào)頻率為β＝10×106MHz／s，采樣率為80MHz，采樣快拍數(shù)為200，噪聲為零均值的高斯白噪聲.從圖2中可以看出，對于較大的信噪比如圖2a所示，基于RWT的信號檢測效果非常好.隨著信噪比的減小，依然保留了較多的有關(guān)信號信息，保持了很好的檢測能力，如圖2b所示.當(dāng)信噪比進一步下降，基于RWT的信號檢測效果雖然有所下降，但如果提高檢測門限，仍能將信號從噪聲中正確檢測出來，如圖2c所示.

圖2 基于RWT的信號檢測Fig.2 Signal detection basing on RWT

圖3給出了在虛警概率為Pf＝5×?xí)r，不同信噪比情況下基于RWT和基于FRFT最大值檢測方法［10］的檢測概率，由圖3可見該方法比基于FRFT最大值檢測方法在檢測概率同為1時小6dB左右，說明該方法具有較好的抗噪聲能力，這是因為該方法充分利用了信號的時頻匯聚特性.

圖3 不同信噪比下的檢測概率Fig.3 Detection probability in different SNR

3.2 多信號的檢測

當(dāng)接收信號為多個LFM信號時，假設(shè)接收信號中有4個LFM信號，起始頻率分別為f10＝10MHz，f20＝5MHz，f30＝f40＝20MHz，調(diào)頻率分別為：β1＝β2＝10×106MHz／s，β3＝5×106MHz／s，β4＝40×106MHz／s，并混有高斯白噪聲，信噪比為－5dB.從圖4中可以看到在利用WVD分析多個信號時存在著嚴重的交叉項，因此影響了對有用信號的檢測.由于信號項在WVD平面表現(xiàn)為直線，變換到Radon平面則為一尖峰，而交叉項則會散布開，如圖5所示.從圖中可以看到有非常突出的4個尖峰，分別對應(yīng)了4個信號項，而交叉項和噪聲引起的干擾很小，因此4個LFM信號可以容易地檢測出來.

4 結(jié)束語

研究了對LFM信號進行檢測的方法，針對LFM信號的非平穩(wěn)性特點，利用RWT的時頻聚集特性，實現(xiàn)了LFM信號的檢測，并對其檢測性能進行了分析，得到了噪聲背景下RWT輸出信噪比，其中增大數(shù)據(jù)長度N是改善信噪比的一個有效手段.并推導(dǎo)了高斯白噪聲下的檢測概率，可以得到在給定虛警概率情況下的檢測概率.仿真實驗驗證了這種方法的有效性.

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