陳東華，趙 睿，彭盛亮

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建廈門361021)

多輸入多輸出 (multiple input multiple output，MIMO)技術(shù)可與空時編碼技術(shù)結(jié)合獲得編碼分集增益，也可采用單純的復(fù)用傳輸用以提高傳輸速率，兩者結(jié)合則可同時提高信道容量和傳輸可靠性，除此之外，MIMO還可利用波束形成技術(shù)抑制系統(tǒng)中的強(qiáng)定向干擾.為了解調(diào)信息或構(gòu)造波束形成算法，系統(tǒng)需要獲得信道狀態(tài)信息的精確估計［1］.由于信道參數(shù)的恒定特性，靜態(tài)信道環(huán)境中的MIMO系統(tǒng)信道估計較為簡單，然而在高速移動應(yīng)用場景中，移動臺高速移動引起的多普勒頻移會造成信道時變，從而增加了MIMO信道估計的復(fù)雜度.

基擴(kuò)展模型(basis expansion model，BEM)極大地簡化了時變信道的表示［2］，在各種時變信道估計中得到廣泛的應(yīng)用.復(fù)指數(shù)BEM和Karhunen-Loeve BEM(KL-BEM)是兩種常用的 BEM［2-3］，復(fù)指數(shù)BEM數(shù)值計算簡單，但其建模誤差較大，從而限制了在實際中的應(yīng)用;KL-BEM不僅建模精度很高，而且具有正交的基函數(shù)［2］.利用時變信道的基擴(kuò)展模型表示，文獻(xiàn)［4-5］提出了在平坦衰落信道和單天線系統(tǒng)中的時變信道估計方案，通過在傳輸符號中插入時分復(fù)用的訓(xùn)練符號，利用最小二乘算法來得到BEM參數(shù)的估計.為了提高BEM系數(shù)的估計精度，文獻(xiàn)［5］進(jìn)一步研究了訓(xùn)練符號的最優(yōu)設(shè)計問題;為提高傳輸效率，通常導(dǎo)頻開銷不能過大，因此，文獻(xiàn)［5］時變信道估計的性能通常得不到保證，從而直接影響系統(tǒng)的性能.

針對MIMO系統(tǒng)中的快時變信道估計，文中擬將文獻(xiàn)［5］的時變信道估計從單天線系統(tǒng)推廣至MIMO系統(tǒng)，并基于時變信道的KL-BEM，將期望最大化(expectation maximization，EM)算法應(yīng)用于MIMO系統(tǒng)中進(jìn)行迭代信道估計，以較小的復(fù)雜度代價實現(xiàn)信道估計性能的提高.

1 信號模型

設(shè)MIMO系統(tǒng)收發(fā)天線數(shù)分別為NR和NT，考慮N個符號組成的觀察窗，定義該觀察窗內(nèi)發(fā)射天線t(t=1，2，…，NT)的發(fā)送符號矢量，接收天線r(r=1，2，…，NR)的接收符號矢量，以及收發(fā)天線對(r，t)之間的信道脈沖響應(yīng)(CIR)矢量分別為

則該觀察窗內(nèi)接收天線r的接收信號矢量可寫為

式中:wr為加性高斯噪聲矢量;D(x)為以矢量x中的元素作為對角線元素的對角陣.為了進(jìn)行信道估計，文中用KL-BEM來近似該觀察窗內(nèi)的時變CIR，n時刻收發(fā)天線對(r，t)之間的時變CIR可表示［2］為

式中:Q為基函數(shù)的個數(shù);fr，t，q(n)為第q個基函數(shù);cr，t(q)為其系數(shù).假設(shè)不同收發(fā)天線之間CIR的衰落獨立同分布，則不同收發(fā)天線之間的基函數(shù)均相同，故fr，t，q(n)的下標(biāo)r，t可忽略.由(3)，(5)兩式，(4)式可進(jìn)一步表達(dá)為

式中:cr，t=［cr，t(0)，cr，t(1)，…，cr，t(Q-1)］T;F定義為由KL-BEM的基函數(shù)組成的基矩陣:

則 F 為正交矩陣［2］，即滿足 FHF=I，I為單位陣(在(7)式中已略去fr，t，q(n)的下標(biāo)r，t).

2 信道估計

同文獻(xiàn)［5］，在當(dāng)前觀察窗對應(yīng)的符號序列中等間隔插入Np個導(dǎo)頻符號，設(shè)導(dǎo)頻位置為np(p=1，2，…，Np)，則由(6)式，天線r上的接收導(dǎo)頻矢量為

式中:F(p)為基矩陣F對應(yīng)導(dǎo)頻位置所在的Np行組成的子陣;x(p)t，y(p)r分別為Np×1的發(fā)送和接收導(dǎo)頻矢量.x(p)t，y(p)r，cr，Ar分別定義為

由(8)式，KL-BEM系數(shù)矢量可由最小二乘(LS)準(zhǔn)則得到

為了提高信息傳輸效率，導(dǎo)頻數(shù)目通常不能太大，因此上述基于導(dǎo)頻的信道估計性能不能得到保證.EM算法是一種迭代最大似然參數(shù)估計算法，在各種通信信道估計中得到廣泛的應(yīng)用［6-11］，文獻(xiàn)［6-9］針對多天線OFDM系統(tǒng)提出了幾種EM信道估計算法，但是這些算法所考慮的信道環(huán)境均為信道時不變情況;文獻(xiàn)［10］針對雙選擇性信道提出了一種交替廣義EM信道估計技術(shù)，但其考慮的是單發(fā)送單接收天線系統(tǒng).文獻(xiàn)［11］提出了時變信道OFDM系統(tǒng)中的交替廣義EM信道均衡方案，該方案同樣未考慮多天線系統(tǒng)，而且是在多載波前提下得到的方法.基于時變信道的KL-BEM，下面文中以最小二乘估計作為初始估計，將EM算法應(yīng)用于時變MIMO系統(tǒng)，以迭代的方式來提高信道估計的性能.

為了與 EM迭代算法框架一致，定義 yr為“incomplete”數(shù)據(jù)，定義“complete”數(shù)據(jù)為

yr，t=D(xt)Fcr，t+wr，t，t=1，2…，NT，(14)式中:wr，t為總噪聲wr的任意NT個分解分量之一，且滿足

按(6)，(14)-(15)式定義的信號模型與EM迭代算法的框架完全一致［6］，因此可采用EM算法來迭代估計KL-BEM參數(shù).同一般的EM迭代參數(shù)估計過程，cr的EM迭代估計包括期望(E-step)和最大化(M-step)兩步:

E-step:

式中:上標(biāo)i表示迭代指數(shù);βt為非負(fù)常數(shù)并且滿足

求解該最小化問題可得

下面來分析該算法的復(fù)雜度，由于D(xt)為對角陣，因此，式(16)-(19)中與D(xt)矩陣相乘僅需N次標(biāo)量乘法運算，求期望值步驟共需(N+1)QNT次復(fù)乘運算，而最大化步驟的復(fù)雜度為O(Q2N+Q3)，通常Q和NT遠(yuǎn)小于塊長N，因此總的計算復(fù)雜度與N近似成線性關(guān)系.注意到當(dāng)采用QPSK等恒定幅度調(diào)制時D(xt)為單位對角陣，因此FHD)×D(xt)F=FHF，同時由于KL-BEM的基矩陣F為正交矩陣，因此(19)式中的)D(xt)F)為單位對角陣，從而避免了(19)式中的矩陣求逆運算，因此該迭代算法的復(fù)雜度可進(jìn)一步得到降低.

3 仿真分析

采用2×2的MIMO系統(tǒng)，調(diào)制方式為BPSK;KL-BEM觀察窗內(nèi)的符號數(shù)為144，且等間隔插入24個導(dǎo)頻符號用于信道的初始估計;時變信道抽頭按Jakes’模型［12］產(chǎn)生，時變信道歸一化多普勒頻率fdTs取為0.8(fd為多普勒頻率，Ts為KL-BEM觀察窗的持續(xù)時間)，為信道嚴(yán)重時變的情況，對應(yīng)KL-BEM基函數(shù)的個數(shù)Q=5;符號檢測采用最大似然符號檢測算法;EM最大迭代次數(shù)為10.信道估計的性能由時變信道歸一化均方誤差(ENMSE)表征，定義為

圖1 CIR估計的實例

圖1中給出了3個時變CIR的幅度響應(yīng):理想CIR幅度，初始估計(LS估計)及迭代估計的CIR幅度.對于LS信道估計而言，由于僅利用了導(dǎo)頻符號，其CIR估計值與實際值之間有很大的差異;迭代信道估計同時利用了判決符號和導(dǎo)頻符號，因此其CIR估計值非常接近理想的CIR，尤其隨著信噪比的增大，兩者幾乎重合.圖2給出了信道估計均方誤差隨信噪比變化的關(guān)系曲線.

圖2 MSE性能曲線

由圖2可見，隨著迭代次數(shù)的增加，估計性能逐漸提高.相對于LS估計，迭代信道估計的性能有較大的提高.同時可見，經(jīng)5次迭代后，系統(tǒng)的均方誤差(MSE)性能基本保持不變，因此算法具有很快的收斂速度.

圖3給出了采用文中迭代信道估計時系統(tǒng)的誤比特率(BER)曲線.作為參考，同時給出了LS信道估計和理想信道條件下的BER性能.

圖3 BER性能曲線

由圖3可見，僅采用導(dǎo)頻的時變信道估計與理想信道條件下的BER性能相差較遠(yuǎn)，而EM迭代算法能提高時變信道脈沖響應(yīng)的估計精度，從而也提高了系統(tǒng)的BER性能.同時可見，經(jīng)迭代信道估計后系統(tǒng)的BER性能非常接近理想信道時的BER性能，高信噪比時兩者之間的差別在1 dB以內(nèi)，比LS信道估計有約2 dB的性能增益.

通過性能和復(fù)雜度分析看到，迭代信道估計不僅能很好地改善系統(tǒng)性能，而且由于KL-BEM基函數(shù)的正交性，具有較低的計算復(fù)雜度.

4 結(jié)論

1)通過時變信道基擴(kuò)展建模和理論推導(dǎo)，建立了時變MIMO系統(tǒng)中的BEM迭代信道估計模型.

2)基于導(dǎo)頻的MIMO時變信道估計受導(dǎo)頻開銷的限制，估計性能不高，而迭代信道估計同時利用了導(dǎo)頻和數(shù)據(jù)符號，在信道估計MSE性能和系統(tǒng)BER性能方面均有明顯改進(jìn).

3)仿真結(jié)果顯示迭代信道估計的收斂速率很快，經(jīng)5次迭代即可收斂，理論分析顯示算法的計算復(fù)雜度可利用基函數(shù)的正交性得以降低，算法實時性較強(qiáng).

References)

［1］ 趙 睿.結(jié)合波束形成的雙向中繼選擇策略［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，32(6):706-709.Zhao Rui.Two-way relay selection strategy combined with beamforming［J］.Journal of Jiangsu University:Natural Science Edition，2011，32(6):706-709.(in Chinese)

［2］ Zafarani E，Omidi M J，Heydaryan F，et al.Oversampled legendre basis expansion model for doubly-selective channels［C］//Proceedings of2011 19th Iranian Conference on Electrical Engineering.Tehran，Iran:IEEE Computer Society，Article number:5955647.

［3］ Gupta P，Mehra D K.A novel technique for channel estimation and equalization for high mobility OFDM systems［J］.Wireless Personal Communications，2009，49(4):613-631.

［4］ Barhumi I，Leus G，Moonen M.MMSE estimation of basis expansion models for rapidly time-varying channels［C］//Proceedings of EUSIPCO2005.Antalya，Turkey:European Association for Signal Processing，2005:1728-1732.

［5］ Tang Z，Leus G.Time-multiplexed training for time-selective channels ［J］.IEEE Signal Processing Letters，2007，14(9):585-588.

［6］ Xie Y Z，Georghiades C N.Two EM-type channel estimation algorithm for OFDM with transmitter diversity［J］.IEEE Transactions on Communications，2003，51(1):106-115.

［7］ Ylioinas J，JunttiM.Iterative joint detection，decoding，and channel estimation in turbo-coded MIMO-OFDM［J］.IEEETransactions onVehicular Technology，2009，58(4):1784-1796.

［8］ 許 鵬，汪晉寬，祁 峰.基于EM的MIMO-OFDM系統(tǒng)MAP信道估計算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32(1):27-30.Xu Peng，Wang Jinkuan，Qi Feng.EM-based MAP channel estimation algorithm for MIMO-OFDM systems［J］.Systems Engineering and Electronics，2010，32(1):27-30.(in Chinese)

［9］ Kandovan R S，Salari S.Joint frequency and channel estimation for MIMO-OFDM systems via the EM algorithm［C］//Proceedings of2010 7th International Conference on Wireless and Optical Communications Networks.Colombo，Sri Lanka:Association for Computing Machinery，doi:10.1109/WOCN.2010.5587332.

［10］ Yang Feng，Song Jian，Zhang Yu，et al.SAGE-based estimation of doubly selective channel with an orthogonal polynomial model［J］.Signal Processing，2008，88(4):1061-1068.

［11］ Dogˇan H，Panay?rc?E，Vincent Poor H.Low-complexity joint data detection and channel equalization for highly mobile orthogonal frequency division multiplexing systems［J］.IET Commun，2010，4(8):1000-1011.

［12］ Baracca P，Tomasin S，Vangelista L，et al.Per subblock equalization of very long OFDM blocks in mobile communications［J］.IEEE Transactions on Communications，2011，59(2):363-368.