胡長(zhǎng)遠(yuǎn)，唐和生，2，薛松濤，3，鄧立新

(1.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092;2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092;3.東北理工大學(xué)建筑學(xué)科，日本仙臺(tái)982-8577)

不確定性普遍存在于結(jié)構(gòu)使用和施工中的各個(gè)階段，因此結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)該采用不確定性的力學(xué)模型才更為合理［1］.處理不確定性的方法有多種，其中，當(dāng)不確定變量的概率分布是已知時(shí)，基于概率可靠性的方法是最好的分析方法.在工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常是將可靠度指標(biāo)顯示化處理作為優(yōu)化的約束條件，將之轉(zhuǎn)化為確定性的優(yōu)化問題，再與某種優(yōu)化算法相結(jié)合來進(jìn)行求解［2］.R.V.Grandhi等［3］提出兩點(diǎn)近似法構(gòu)造極限狀態(tài)函數(shù)，且把外層優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和可靠度約束分別用樣條函數(shù)近似.

近年來，應(yīng)用智能優(yōu)化算法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)取得了不少成果，例如，文獻(xiàn)［4］系統(tǒng)地討論了采用遺傳算法，在框架結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)力下，基于單元與體系可靠度的尺寸與形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.作為一種新穎的算法，自從R.Storn和K.Price 1996年引入了微分演化(differential evolution，DE)算法之后，該方法在解決復(fù)雜的優(yōu)化問題上得到了很多關(guān)注［5］.微分演化算法新穎的特征使其具有更好魯棒性和更快收斂速度.該算法已被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化、可靠度分析、主動(dòng)控制及識(shí)別問題［6-9］.

本研究以桁架結(jié)構(gòu)為對(duì)象，考慮結(jié)構(gòu)物理參數(shù)、幾何尺寸和作用載荷的不確定性，進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元和可靠性分析，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建桁架結(jié)構(gòu)基于可靠度約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，運(yùn)用微分演化算法進(jìn)行形狀優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 桁架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化微分演化算法

1.1 基于可靠度的桁架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型

針對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的最一般情況，構(gòu)建以結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量，以結(jié)構(gòu)重量均值極小化為目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)具有位移和應(yīng)力性態(tài)約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型.考慮結(jié)構(gòu)物理參數(shù)、幾何尺寸和作用載荷的不確定性，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力等性態(tài)約束均成為隨機(jī)變量函數(shù)，它們以概率(可靠度)形式列出.至此，基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型為

式中:A是設(shè)計(jì)向量;A1，A2，…，An為桿件截面積;X1，X2，…，Xm為變量連接后各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo);Ai，ρi和li是分別第i類設(shè)計(jì)變量的截面面積、密度和桿件長(zhǎng)度;m是結(jié)構(gòu)質(zhì)量;βδj為結(jié)構(gòu)中第j個(gè)自由度的位移可靠性指標(biāo);βSmin為結(jié)構(gòu)中第e個(gè)單元的應(yīng)力可靠性指標(biāo)的最小值;β*δ，β*S分別為設(shè)計(jì)給定的可靠指標(biāo);Amax，Amin分別為設(shè)計(jì)變量的上下限，n為截面面積變量數(shù);Xˉc，Xc分別為第c坐標(biāo)的上下限，m為節(jié)點(diǎn)變量數(shù);N為位移約束的數(shù)目;K為結(jié)構(gòu)中單元的數(shù)目;M為預(yù)先定義的一個(gè)足夠大的正數(shù);λ為罰函數(shù)因子，當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量滿足約束條件時(shí)，λ=0，否則λ=1.針對(duì)以上優(yōu)化問題，本研究采用DE算法進(jìn)行求解.

這里首先對(duì)概率約束進(jìn)行等價(jià)顯式處理［4］.模型中所有概率約束均可表示為

式中:P*為設(shè)計(jì)給定的可靠度;R表示結(jié)構(gòu)某物理量(位移或應(yīng)力)的許用值;S表示在結(jié)構(gòu)荷載作用下與R對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值(位移或應(yīng)力)，在一般情況下R與S兩者是彼此獨(dú)立的.由可靠性分析的一次二階矩法，式(7)可被表示為

式中:β*為給定的可靠指標(biāo);β為可靠性指標(biāo);Φ-1(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量分布的反函數(shù);μ，σ分別表示隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

1.2 微分演化算法

一個(gè)包括t個(gè)參數(shù)的優(yōu)化問題可以用一個(gè)t維的向量來描述，該向量可以表示為:xi=(xi1，xi2，…，xit)T∈S，i=1，2，3，…，NP.其中 S∈Rn為優(yōu)化問題的搜索空間;DE算法利用NP作為向量xi1每一代的個(gè)體數(shù).類似于遺傳算法，DE算法通過變異、交叉和選擇過程實(shí)現(xiàn)種群的更新進(jìn)化.

1.2.1 變異過程

變異目的是為了保證種群的多樣性，同時(shí)用合適的參數(shù)變化來指導(dǎo)已有的目標(biāo)向量在合適的時(shí)間內(nèi)達(dá)到一個(gè)更好的結(jié)果，從而保證了搜索的魯棒性.變異操作過程中，上一代的個(gè)體，i=1，2，…，NP，(其中G表示代數(shù))根據(jù)不同的變異方式進(jìn)行更新則得到第G+1子代向量=本研究采用 R.Storn等［5］推薦的DE/current-to-best/1/bin變異方式進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，該變異方式為

式中:x(beG

s)t為算法第G代種群中適應(yīng)值最小的個(gè)體;F1和F為變異常數(shù)，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，其大小控制了變量間的差異，保證進(jìn)化的進(jìn)行;r1，r2為互不相同的整數(shù)，分別從集合{1，2，…，i-1，i+1…，NP}中隨機(jī)選出向量編號(hào).

1.2.2 交叉過程

與GA算法相似，DE算法中個(gè)體經(jīng)過變異后也進(jìn)行交叉操作.對(duì)于群體中第G+1代經(jīng)過變異過程后的向量個(gè)體v(iG+1)按照

進(jìn)行交叉，將產(chǎn)生新的個(gè)體，即

式中:j=1，2，…，t;rand(j)∈［0，1］，是t個(gè)0 ～1 之間相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)中的第j個(gè);randn(i)是隨機(jī)從集合{1，2，…，t}中取得個(gè)體向量維度的序號(hào);CR為交叉因子，將決定個(gè)體之間交叉的概率.

1.2.3 選擇過程

DE算法采用和GA算法不同的貪婪準(zhǔn)則:通過比較由變異和交叉產(chǎn)生的子代個(gè)體和父代個(gè)體，選擇適應(yīng)值好的變量，即如果父代個(gè)體適應(yīng)度值更優(yōu)將繼續(xù)保留在種群中;否則保留子代個(gè)體.選擇過程如下:

1.3 桁架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的DE算法流程

根據(jù)前述可靠性分析和所構(gòu)建的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，桁架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)DE算法的流程如下:

1)初始化DE算法參數(shù)，并在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)初始化種群，it=0.

2)進(jìn)行有限元分析，計(jì)算出每個(gè)個(gè)體所代表的設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)形態(tài)變量，如各桿應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移.

3)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析得結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的數(shù)字特征.

4)判斷是否滿足包括可靠性約束等約束條件，滿足約束條件時(shí)λ=0，否則λ=1.

5)計(jì)算每個(gè)個(gè)體的評(píng)價(jià)函數(shù)值.選出最優(yōu)秀個(gè)體xbest.

6)對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行變異操作，并對(duì)每個(gè)個(gè)體(父代)以及變異個(gè)體進(jìn)行交叉操作，得到新的個(gè)體(子代).

7)計(jì)算每一個(gè)子代個(gè)體以及父代個(gè)體的適應(yīng)值;選擇適應(yīng)值好的作為下一代種群中的個(gè)體.

8)計(jì)算每一個(gè)下一代的個(gè)體適應(yīng)值，并找到最優(yōu)個(gè)體;如果新的最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)值比上一代xbest適應(yīng)值好，則更新xbest，稱為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體.

9)滿足算法終止條件，輸出最優(yōu)個(gè)體xbest，以及最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)值，否則返回2).

2 數(shù)值分析

為驗(yàn)證本研究所提方法對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性，以下對(duì)一典型的桁架結(jié)構(gòu)(如圖1所示)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)分析，同時(shí)與確定性方法進(jìn)行比較.

圖1為37桿桁架橋的初始形狀，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)見表1.

圖1 37桿桁架橋

表1 37桿桁架橋節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) mm

假設(shè)下弦節(jié)點(diǎn)位置保持不變，上弦節(jié)點(diǎn)可沿豎直方向移動(dòng)，結(jié)構(gòu)對(duì)稱性保持不變，不考慮局部穩(wěn)定約束.

材料密度為ρ=7 800 kg·m-3，最小截面積為50 mm2.桁架所有桿件采用同一種材料，假設(shè)彈性模量E、幾何尺寸(桿長(zhǎng))l和外加載荷{P}為不確定隨機(jī)變量(這里認(rèn)為3個(gè)隨機(jī)變量為互不相關(guān))，E，l和{P}可分別表示為彈性橫量E= ˉE·δE，桿件長(zhǎng)度le= η(e)·l和外加荷載{P}= Δp·{P0}，其中 ˉE，η(e)和{P0}為確定性量，是其所代表物理量的均值，三者的值分別為210 GPa，1 000(1 414.2)mm 和 10 kN;δE，l和 Δp為隨機(jī)因子，三者均值均為1，方差(變異系數(shù))分別為 γ2，γ2和Elγp2.其中 γE，γl和 γp分別為彈性橫量、桿件長(zhǎng)度和外加荷載的變異系數(shù).

根據(jù)結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，取設(shè)計(jì)變量為［A1，A2，A3，A4，A5，A6A7，A8A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，Y3，Y5，Y7，Y9，Y11］T.DE 算法的參數(shù)選擇如下:種群大小NP=100;變異因子F=0.6;雜交概率CR=0.85;最大迭代次數(shù)Gmax取值500.

利用隨機(jī)因子法和代數(shù)綜合法可以得到節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)量［4］，位移隨機(jī)向量均值{μδ}和方差{σ2δ}分別為

式中:{δ}#為結(jié)構(gòu)的常規(guī)位移有限元計(jì)算值.單元應(yīng)力的均值{μse}和方差{σ2se}分別為

式中:D為彈性矩陣;B為幾何矩陣;T(e)為單元e從局部坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣.

綜上，利用式(10)、(14)和(15)可求得位移可靠指標(biāo);利用式(10)、(16)和(18)即可求得應(yīng)力可靠指標(biāo).

當(dāng)可靠度R分別為0.80，0.90和0.99時(shí)，隨變異系數(shù)γ的不同，結(jié)構(gòu)質(zhì)量如表2所示.

表2 結(jié)構(gòu)質(zhì)量表

由表2可以看出:當(dāng)外荷載、彈性模量和桿件長(zhǎng)度分別為隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)的影響差不多.同時(shí)也可以看出，多個(gè)參數(shù)為隨機(jī)變量時(shí)，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量要大于單個(gè)參數(shù)為隨機(jī)變量時(shí)的質(zhì)量.當(dāng)可靠度R=0.90時(shí)，Case1的形狀優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)曲線如圖2所示，圖3為Case1優(yōu)化后的形狀.

圖2 37桿桁架橋形狀優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)收斂曲線

圖3 37桿桁架橋形狀優(yōu)化結(jié)果

由圖2可知迭代200次左右時(shí)曲線已經(jīng)收斂.當(dāng)可靠度R=0.80，變異系數(shù)取Case2，Case5和Case8時(shí)37桿桁架橋可靠度約束形狀最優(yōu)化結(jié)果與確定性方法的優(yōu)化結(jié)果的比較如表3所示.由表3可知:相對(duì)于確定性優(yōu)化的結(jié)果，用可靠度考慮不確定性因素后優(yōu)化結(jié)果要偏大，但更接近實(shí)際工程.當(dāng)變異系數(shù)不同，可靠度R與桁架總質(zhì)量的關(guān)系如圖4所示.由圖4可知γ越大或是R要求越高時(shí)，桁架結(jié)構(gòu)也越重.

圖4 變異系數(shù)不同時(shí)，可靠度與桁架總質(zhì)量的關(guān)系

表3 37桿桁架可靠度約束形狀最優(yōu)結(jié)果與其他方法比較

3 結(jié)論

1)基于可靠度的桁架不確定優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果比確定性優(yōu)化的結(jié)果偏大，但更加符合工程實(shí)際背景.優(yōu)化結(jié)果的大小隨著可靠度指標(biāo)的提高和變異系數(shù)的增大而增大.

2)本研究所提出的分析方法能夠發(fā)揮微分演化算法的優(yōu)勢(shì)，計(jì)算精度高，運(yùn)行穩(wěn)定，可以快速、有效地進(jìn)行基于可靠度的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).

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