楊澤斌，孫曉東，張新華，朱熀秋，劉賢興

(1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013;2.江蘇大學(xué)汽車工程研究院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

無軸承異步電機(jī)(bearingless induction motor，BIM)集旋轉(zhuǎn)與懸浮功能于一體，不僅具有傳統(tǒng)異步電機(jī)的所有特點(diǎn)，而且還具有磁懸浮軸承無接觸、無磨損、無需潤滑、無污染、壽命長等優(yōu)點(diǎn)，在高速、超高速特種電氣傳動(dòng)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1-2］.然而BIM具有十分復(fù)雜的電磁關(guān)系，其徑向懸浮力、轉(zhuǎn)速和磁鏈之間呈現(xiàn)出高度非線性和嚴(yán)重耦合性，大大降低了BIM系統(tǒng)在大范圍內(nèi)懸浮運(yùn)行的穩(wěn)定性及可靠性.為此，如何克服BIM系統(tǒng)內(nèi)部非線性耦合對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響，實(shí)現(xiàn)BIM多變量之間的高性能動(dòng)態(tài)解耦控制，成為目前BIM研究的重點(diǎn)及難點(diǎn).

文獻(xiàn)［3］提出了一種近似線性化的控制策略來實(shí)現(xiàn)BIM徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩之間的解耦控制，該方法計(jì)算量大，控制系統(tǒng)比較復(fù)雜;文獻(xiàn)［4］采用矢量控制對(duì)BIM進(jìn)行解耦控制，然而矢量控制只能實(shí)現(xiàn)徑向懸浮力與轉(zhuǎn)速之間的靜態(tài)解耦，是一種穩(wěn)態(tài)解耦控制方法;文獻(xiàn)［5］采用微分幾何方法實(shí)現(xiàn)了BIM二自由度徑向位置的動(dòng)態(tài)解耦控制，然而對(duì)于徑向懸浮力與轉(zhuǎn)速以及磁鏈之間的耦合特性，并沒有給出有效的解決方法，并且微分幾何方法需要轉(zhuǎn)換到幾何域中進(jìn)行討論，故數(shù)學(xué)工具比較復(fù)雜，不易掌握;文獻(xiàn)［6］采用逆系統(tǒng)方法對(duì)BIM進(jìn)行了解耦控制，克服了矢量控制只能實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦的不足，并且物理概念比較清晰直觀，數(shù)學(xué)分析簡潔明了，但是逆系統(tǒng)方法在實(shí)際應(yīng)用中存在逆模型難以獲得的瓶頸問題;文獻(xiàn)［7］為了克服逆系統(tǒng)的不足，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來辨識(shí)BIM的逆模型，解決了BIM逆模型難以求取的棘手問題，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身存在局部極點(diǎn)小、過學(xué)習(xí)、運(yùn)算量大等缺陷，限制了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆方法的進(jìn)一步應(yīng)用.支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)是在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，很好地解決非線性、高維數(shù)、小樣本、局部極小點(diǎn)等問題，具有較強(qiáng)的泛化能力［8］.由Suykens等提出的最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machine，LSSVM)是一種擴(kuò)展的SVM，它是SVM在二次損失函數(shù)下的一種形式，只求解線性方程組，計(jì)算速度快，近年來在非線性系統(tǒng)建模和控制中獲得了很好的應(yīng)用.［9］

文中擬以一臺(tái)4極轉(zhuǎn)矩繞組，2極懸浮繞組的BIM為研究對(duì)象，在介紹其徑向懸浮力產(chǎn)生原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行可逆性分析，利用LSSVM建立BIM的逆模型，并將其與BIM原控制系統(tǒng)相串聯(lián)，實(shí)現(xiàn)BIM徑向懸浮力、轉(zhuǎn)速和磁鏈之間的動(dòng)態(tài)線性化解耦，在此基礎(chǔ)上，針對(duì)每個(gè)解耦子系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性閉環(huán)控制器，最后進(jìn)行仿真研究，驗(yàn)證文中所提解耦策略的有效性.

1 BIM工作原理及數(shù)學(xué)模型

圖1為BIM空載情況下徑向懸浮力產(chǎn)生原理圖.BIM定子槽中嵌放著極對(duì)數(shù)PB=1的懸浮繞組和極對(duì)數(shù)PM=2的轉(zhuǎn)矩繞組(文中下標(biāo)B，M分別表示懸浮繞組和轉(zhuǎn)矩繞組參數(shù)，下同)，當(dāng)2套繞組的極對(duì)數(shù)滿足PB=PM±1時(shí)，2套繞組產(chǎn)生的磁場相互作用可以同時(shí)產(chǎn)生徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩［10］.設(shè)懸浮繞組和轉(zhuǎn)矩繞組每相串聯(lián)的有效匝數(shù)分別為NB和NM.在2套繞組中分別通入電流IB和IM，則產(chǎn)生2極磁鏈ψB和4極磁鏈ψM.當(dāng)2套繞組通以如圖1所示方向的電流，此時(shí)在上側(cè)氣隙ψB和ψM的方向相同，則氣隙磁通密度增強(qiáng)，而在下側(cè)氣隙ψB和ψM的方向相反，則氣隙磁通密度減弱，從而產(chǎn)生沿y正方向的徑向懸浮力Fy;如果在懸浮繞組NB中通入相反方向的電流，則可產(chǎn)生沿y反方向的徑向懸浮力.同理，沿x方向的徑向懸浮力可以通過在懸浮繞組NB中通入與IB垂直的電流獲得.

圖1 BIM徑向懸浮力原理圖

BIM的電感矩陣L可以表示為

式中:α和β分別為轉(zhuǎn)子在x和y方向的徑向位移;LMs和LBs分別為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮繞組的自感;M為2套繞組的互感系數(shù)，表示為

式中:μ0為空氣磁導(dǎo)率;g0為氣隙長度;R為轉(zhuǎn)子半徑;l為轉(zhuǎn)子軸向長度.由能量轉(zhuǎn)換關(guān)系可得BIM的磁場儲(chǔ)能表達(dá)式為

式中:i= [iiii]T為BIM兩套繞組定子

MdMqBdBq電流矩陣;iMd，iMq分別為轉(zhuǎn)矩繞組電流在d，q軸上的分量;iBd，iBq分別為懸浮繞組電流在d，q軸上的分量.將變量代入式(3)可得磁能表達(dá)式為

若忽略磁飽和，由虛位移原理，BIM徑向懸浮力可表示為電磁儲(chǔ)能對(duì)徑向位移的偏導(dǎo)，因而BIM徑向懸浮力Fx和Fy可以表示為

BIM中懸浮繞組與轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈相互作用，產(chǎn)生電機(jī)旋轉(zhuǎn)與懸浮的電磁力.但是，與轉(zhuǎn)矩繞組產(chǎn)生的磁場相比，懸浮繞組產(chǎn)生的磁場可以忽略不計(jì)，因此在忽略懸浮繞組產(chǎn)生磁場影響的前提下，BIM的轉(zhuǎn)子磁鏈和電磁轉(zhuǎn)矩滿足如下方程:

式中:ψdr，ψqr分別為 BIM 轉(zhuǎn)子磁鏈在d，q軸上的分量;Te為電磁轉(zhuǎn)矩;Tr為轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù);ωr為轉(zhuǎn)子角速度;LMr為轉(zhuǎn)矩繞組與轉(zhuǎn)子的互感;Lr為轉(zhuǎn)子自感.

2 徑向懸浮力模型

當(dāng)BIM懸浮運(yùn)行時(shí)，其轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為

式中:m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;fx=ksα，fy=ksβ分別為當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離定子中心時(shí)的外界力;ks為位移剛度.

選取狀態(tài)變量為

輸入變量為

輸出變量為

BIM的狀態(tài)方程為

對(duì)BIM進(jìn)行可逆性分析，首先對(duì)各輸出變量求導(dǎo)直至方程中顯含輸入變量.由式(11)可得

由于Det(A)≠0，又因?yàn)锽IM系統(tǒng)的相對(duì)階數(shù)

4 α =(2，2，1，1)，且 ∑i=1αi=6＜7，所以BIM狀態(tài)方程的逆系統(tǒng)存在.由隱函數(shù)定理可得，逆系統(tǒng)可表示為

3 BIM的LSSVM逆解耦控制

3.1 LSSVM回歸原理

LSSVM回歸原理是選擇函數(shù)y(x)=ωTφ(x)+b對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其中，xi∈Rm為權(quán)向量，b∈R為偏置值，非線性映射φ(x)將n組訓(xùn)練樣本(xi，yi)(i=1，2，…，n)從原空間映射到高維特征空間.LSSVM的訓(xùn)練可通過求解如下優(yōu)化問題來完成:

式中:γ為正則化參數(shù);εi為不敏感損失函數(shù)的松弛因子.

引入拉格朗日乘子ai，求解式(13)的優(yōu)化問題，得出

式中:ω =(ε1，ε2，…εn)T，a=(a1，a2，…an)T.根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker條件，對(duì)拉格朗日函數(shù) ω，a，b，ε分別求偏導(dǎo)，可將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為以下線性方程組的求解問題

式中:K(xi，yj)為滿足Mercer條件的核函數(shù)，核函數(shù)主要形式有徑向基函數(shù)(RBF)、多項(xiàng)式Sigmoid函數(shù)等.鑒于RBF核函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，文中選擇RBF核函數(shù)為

式中:σ為核寬度.利用式(15)求解a與b，再由式(14)求出ω，最后就可得出(xi，yi)的擬合方程為

3.2 LSSVM逆解耦控制

采用LSSVM逆方法對(duì)BIM進(jìn)行非線性動(dòng)態(tài)解耦控制的步驟如下:

1)采樣BIM的4路電流信號(hào)作為輸入，二自由度徑向位移、轉(zhuǎn)速與磁鏈作為輸出;然后采用高精度5點(diǎn)數(shù)值算法求取徑向位移的一、二階導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)速和磁鏈的一階導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成訓(xùn)練樣本集和.由于在實(shí)際應(yīng)用中，采樣獲得的數(shù)據(jù)不在一個(gè)數(shù)量級(jí)，為此將數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理.

2)LSSVM辨識(shí)的模型在很大程度上取決于正則化參數(shù)γ和核寬度σ的選取，因此為了提高BIM逆模型的建模精度和魯棒性，采用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)參數(shù)γ和σ進(jìn)行優(yōu)化，最后得到優(yōu)化后的參數(shù)為:γ =1 800，σ =1.9.

3)采用LSSVM加積分器s-1來構(gòu)造BIM的LSSVM逆，并將LSSVM逆置于BIM之前，LSSVM逆與BIM構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，其等效成4個(gè)解耦的積分型線性子系統(tǒng)，分別為2個(gè)位置二階積分型偽線性子系統(tǒng)、1個(gè)速度一階積分型和1個(gè)磁鏈一階積分型偽線性子系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 BIM的偽線性系統(tǒng)

4)針對(duì)線性化解耦得到的4個(gè)積分子系統(tǒng)，采用PID調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法分別設(shè)計(jì)2個(gè)位置控制器、1個(gè)速度控制器和1個(gè)磁鏈控制器，并由此構(gòu)成線性閉環(huán)控制器;最后將線性閉環(huán)控制器和LSSVM逆一起構(gòu)成LSSVM逆控制器來實(shí)現(xiàn)BIM徑向懸浮力、轉(zhuǎn)速和磁鏈的獨(dú)立控制，從而實(shí)現(xiàn)BIM轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮運(yùn)行.圖3是BIM的LSSVM逆解耦控制結(jié)構(gòu)框圖.

圖3 BIM的LSSVM逆解耦控制結(jié)構(gòu)框圖

4 仿真與分析

以試驗(yàn)樣機(jī)為對(duì)象，樣機(jī)參數(shù)如下:轉(zhuǎn)矩繞組、懸浮繞組極對(duì)數(shù)分別為2和1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為2.85 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.007 69 kg·m2，轉(zhuǎn)子電阻為11.48Ω，轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)為1.46×10-2s，轉(zhuǎn)子電感為0.167 78 H，定轉(zhuǎn)子互感為0.158 56 H，2套繞組互感系數(shù)為78.2 H·m-1.

在仿真試驗(yàn)研究中，為了驗(yàn)證文中所提BIM的LSSVM逆解耦控制策略的有效性，對(duì)比研究了逆系統(tǒng)方法解耦控制.圖4和圖5分別為采用逆系統(tǒng)方法和LSSVM逆方法的解耦控制結(jié)果圖.

圖4 逆系統(tǒng)解耦控制結(jié)果

圖4a，4b為采用逆系統(tǒng)方法時(shí)轉(zhuǎn)速與x方向徑向位移之間的解耦結(jié)果圖，在t=2 s時(shí)，轉(zhuǎn)速由1 500 rad·min-1突變到 2 500 rad·min-1，此時(shí)x方向徑向位移產(chǎn)生了明顯抖動(dòng);圖4c，4d為采用逆系統(tǒng)方法時(shí)轉(zhuǎn)速與磁鏈之間的解耦結(jié)果圖，在t=2.5 s時(shí)，轉(zhuǎn)速由2 000 rad·min-1突變到2 500 rad·min-1，此時(shí)轉(zhuǎn)速的突變對(duì)磁鏈產(chǎn)生了明顯的影響.由圖4可知，逆系統(tǒng)方法并未實(shí)現(xiàn)BIM徑向位移、轉(zhuǎn)速與磁鏈之間的動(dòng)態(tài)解耦.

圖5 LSSVM解耦控制結(jié)果

圖5a，5b為采用LSSVM逆方法時(shí)轉(zhuǎn)速與x方向徑向位移之間的解耦結(jié)果圖，在t=2 s時(shí)，轉(zhuǎn)速由1 500 rad·min-1突變到 2 500 rad·min-1，此時(shí)轉(zhuǎn)速的突變并未對(duì)x方向徑向位移產(chǎn)生影響;圖5c，5d為采用LSSVM逆方法時(shí)轉(zhuǎn)速與磁鏈之間的解耦結(jié)果圖，在t=2.5 s時(shí)，磁鏈由0.75 Wb突變到0.95 Wb，此時(shí)磁鏈的突變未對(duì)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響.由圖5可知，LSSVM逆方法實(shí)現(xiàn)了BIM徑向位移、轉(zhuǎn)速與磁鏈之間的動(dòng)態(tài)解耦，而且采用LSSVM逆方法比采用逆系統(tǒng)方法系統(tǒng)的穩(wěn)定性能更加優(yōu)良.

5 結(jié)論

文中針對(duì)BIM這一非線性、強(qiáng)耦合的多輸入輸出系統(tǒng)，提出了一種基于LSSVM逆的動(dòng)態(tài)解耦控制策略，得到以下結(jié)論:

1)BIM是一個(gè)4輸入4輸出的6階非線性、強(qiáng)耦合復(fù)雜系統(tǒng)，而且BIM系統(tǒng)是可逆的.

2)LSSVM逆方法結(jié)合了LSSVM的非線性回歸能力與逆系統(tǒng)方法線性化解耦的優(yōu)點(diǎn)，可以在不依賴BIM精確數(shù)學(xué)模型的前提下，通過對(duì)樣本的非線性回歸，得到BIM系統(tǒng)理想的逆模型.

3)LSSVM逆解耦控制方法，可以將BIM系統(tǒng)解耦為偽線性系統(tǒng)，并且通過設(shè)計(jì)偽線性系統(tǒng)的閉環(huán)控制器，使BIM系統(tǒng)獲得優(yōu)良的動(dòng)、靜態(tài)特性，真正實(shí)現(xiàn)徑向位移、轉(zhuǎn)速與磁鏈之間的非線性動(dòng)態(tài)解耦.

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