鄭召文，楊利霞，，蔡志超，孔 娃，施衛(wèi)東

(1.江蘇大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013;2.江蘇大學(xué)流體機(jī)械工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江212013)

用FDTD方法仿真開域的電磁散射時(shí)受到計(jì)算機(jī)容量的制約，因此在計(jì)算區(qū)域的截?cái)噙吔缣幈仨毥o出吸收邊界條件.Taylor等首次提出用吸收邊界來吸收外向行波，當(dāng)時(shí)采用的吸收邊界為簡(jiǎn)單插值方法，G.Mur［1］提出了在計(jì)算區(qū)域截?cái)噙吔缣幍囊浑A和二階吸收邊界條件，把這種方法稱為Mur邊界，這是一種比較有效的吸收邊界.J.P.Bérenger［2］提出了將麥克斯韋方程擴(kuò)展為場(chǎng)分裂形式的完全匹配層(PML)，Z.S.Sacks等［3-5］提出了單軸各向異性介質(zhì)的PML(UPML).吸收邊界的效果越來越好，應(yīng)用的范圍也越來越廣泛.

S.A.Cummer［5］提出了近似完全匹配層(nearly perfectly matched layer，NPML)吸收邊界，經(jīng)Hu Wenyi等［6］證實(shí)NPML是一種完全匹配層吸收邊界.該吸收邊界相對(duì)于分裂場(chǎng)的PML吸收邊界簡(jiǎn)單，有重要的應(yīng)用價(jià)值，尤其在截?cái)嗌⒔橘|(zhì)方面相對(duì)于UPML吸收邊界簡(jiǎn)單而易于實(shí)現(xiàn).筆者通過直接對(duì)麥克斯韋方程組中空間變量的坐標(biāo)拉伸，而且不需要對(duì)輔助方程引入額外變量，使輔助方程在吸收邊界中具有和介質(zhì)中相同的迭代式，從而使編程過程更為簡(jiǎn)潔.楊利霞等［7］研究了一般介質(zhì)三維非分裂場(chǎng)的NPML吸收邊界，驗(yàn)證了NPML吸收邊界的正確性.楊利霞等［8］給出了計(jì)算磁化等離子體電磁散射的理論公式的推導(dǎo)，在此基礎(chǔ)上，筆者推導(dǎo)基于截?cái)嗌⒋呕入x子體介質(zhì)的NPML吸收邊界，同時(shí)通過與解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該吸收邊界實(shí)現(xiàn)算法的有效性.

1 截?cái)啻呕入x子體FDTD遞推式

在磁化碰撞磁化等離子體中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程為

式中:E為電場(chǎng)強(qiáng)度;H為磁場(chǎng)強(qiáng)度;J為電流體密度;ε0為真空中的介電常數(shù);μ0為真空中導(dǎo)磁率;ωp為等離子體頻率;ωB為電子旋轉(zhuǎn)頻率矢量，ωB=為外部靜態(tài)磁場(chǎng)矢量，C和m分別為電荷量和電子質(zhì)量;ν為電子碰撞頻率.

對(duì)于一維情況下的 TEM波，設(shè)外磁場(chǎng)方向?yàn)?+z向，ωB=ωbz^，在直角坐標(biāo)系下，式 (1)，(2)可寫為

式(3)可寫為

由式(4)-(7)可知，磁場(chǎng)的FDTD迭代為

由式(8)可知，Jx和Jy相互耦合，其迭代公式用文獻(xiàn)［8］提出的方法進(jìn)行處理，對(duì)式(3)進(jìn)行拉普拉斯變換可得

對(duì)式(14)進(jìn)行逆拉普拉斯變換可得

結(jié)合指數(shù)差分可得離散時(shí)域的J的FDTD迭代式為

其中:

故式(18)可以寫成:

由以上公式可知，若 ωp，ωb，ν都為0，則Jx和Jy也為0，等離子體遞推式便可退化為普通介質(zhì)遞推式，即

2 NPM L吸收邊界FDTD遞推式

根據(jù) NPML的坐標(biāo)變換規(guī)則，將?z變換為，其中:σ(z)，d為zNPML層的厚度，z0為NPML層靠近FDTD區(qū)的界面位置，q為整數(shù).則式(4)-(7)可化為

根據(jù)文獻(xiàn)［6］可知:

令，則式(26)-(29)變換為

由式(30)-(33)可得磁場(chǎng)的FDTD迭代為

根據(jù)式(32)和(33)可知，Jx和Jy在數(shù)學(xué)表述形式上沒有對(duì)空間的偏導(dǎo)，因此NPML吸收邊界遞推式中Jx和Jy的表達(dá)式同式(21)相同.同理，參數(shù) ωp，ωb，ν都取0時(shí)，則Jx和Jy也為0，截?cái)嗟入x子體的吸收邊界遞推式便可以退化為截?cái)嗥胀ń橘|(zhì)的吸收邊界遞推式.

將式(42)進(jìn)行整理得

將式(44)進(jìn)行中心差分離散，可得

同理，有

文獻(xiàn)［4］研究表明:當(dāng)q=4時(shí)最佳，σmax最佳值可取為，其中:εr為相對(duì)介電常數(shù);δ為FDTD元胞尺寸.

3 算例分析

算例1 計(jì)算電磁波垂直入射普通介質(zhì)板(ωb=0，ν=0，ωp=0時(shí))的反射系數(shù)，電磁波垂直入射到充滿另一種普通介質(zhì)的半空間時(shí)的反射系數(shù).介質(zhì)占200個(gè)網(wǎng)格，緊鄰的NPML為6個(gè)網(wǎng)格，其余為真空.仿真結(jié)果如圖1所示，圖中分別給出了NPML、UPML和解析解情況下，電磁波垂直入射普通介質(zhì)板的反射系數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明了NPML吸收邊界在截?cái)喑Ｒ?guī)介質(zhì)正確性和有效性.

圖1 普通介質(zhì)板的反射系數(shù)

算例2 驗(yàn)證NPML吸收邊界截?cái)嗌⒌入x子的正確性.計(jì)算電磁波垂直入射到充滿等離子體的半空間的反射系數(shù)，并與解析解進(jìn)行比較，入射電磁波為高斯脈沖的導(dǎo)數(shù)，峰值頻率為50，100 GHz時(shí)下降10 dB.計(jì)算空間步長(zhǎng)為75μm，時(shí)間步長(zhǎng)為0.125 ps.等離子體占200個(gè)網(wǎng)格，緊鄰的NPML為6個(gè)網(wǎng)格，其余為真空.計(jì)算中磁化等離子體的參數(shù)為 ωb=300 GHz，ν=200 GHz，ωp=2π ×28.7 ×109rad·s-1.圖2，3給出了右旋圓極化(RCP)和左旋圓極化波(LCP)的磁化等離子體的FDTD和解析解的反射系數(shù)，F(xiàn)DTD和解析解完全吻合，驗(yàn)證了該算法的正確性.

算例3 非磁化等離子體反射系數(shù)驗(yàn)證.仿真計(jì)算中的各個(gè)等離子參數(shù)分別為ν=200 GHz，ωp=2π×28.7×109rad·s-1.圖4給出了非磁化等離子體情況下的FDTD和解析解的反射系數(shù)，F(xiàn)DTD與解析解［9］完全吻合，表明了該算法的有效性.

圖4 反射系數(shù)頻譜圖

4 結(jié)論

根據(jù)磁化等離子體電磁散射理論公式，對(duì)麥克斯韋偏微分方程中對(duì)空間偏導(dǎo)的變量進(jìn)行坐標(biāo)拉伸，由于變量Jx和Jy在數(shù)學(xué)表述形式上不存在對(duì)空間的偏導(dǎo)，因此不需要對(duì)它們進(jìn)行坐標(biāo)變換，故吸收邊界中Jx和Jy具有同等離子體中相同的表達(dá)式，比UPML方法中對(duì)Jx和Jy采用中間變量進(jìn)行迭代的方式更加簡(jiǎn)單，也使得編程復(fù)雜度大大降低，體現(xiàn)了該方法在截?cái)嗌⒔橘|(zhì)時(shí)的優(yōu)越性.又因?yàn)榈入x子體輔助方程只與參數(shù)ωp，ωb，ν有關(guān)，當(dāng)這3個(gè)參數(shù)都為0時(shí)，等離子體的遞推式和吸收邊界的遞推式都可以退化為普通介質(zhì)時(shí)的遞推式，因此可以采用同一個(gè)程序通過設(shè)定不同的參數(shù)來分析仿真等離子體和真空狀態(tài)下的電磁波傳播特性.

References)

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［8］ 楊利霞，王祎君，王 剛.基于拉氏變換原理的三維磁化等離子體電磁散射 FDTD分析［J］.電子學(xué)報(bào)，2009，37(12):2711-2715.Yang Lixia，Wang Yijun，Wang Gang.A 3D FDTD implementation of electromagnetic scattering by magnetized plasma medium based on Laplace transfer principle［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37(12):2711-2715.(in Chinese)

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