徐 偉，馬軍海

（天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

保險(xiǎn)市場中三寡頭壟斷的動態(tài)博弈模型研究

徐 偉，馬軍海

（天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

考慮三寡頭壟斷的保險(xiǎn)市場動態(tài)價(jià)格博弈模型。在模型中，一個寡頭采取自適應(yīng)決策，其余兩個寡頭采取有限理性決策，由此建立三寡頭價(jià)格博弈微分方程模型。系統(tǒng)有唯一的Nash均衡點(diǎn)。并對該系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性進(jìn)行研究。數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)了理論的準(zhǔn)確性，并且展示了系統(tǒng)的動態(tài)行為。保險(xiǎn)公司在考慮延遲的價(jià)格博弈的過程中，必須控制好延遲參數(shù)的值，并適當(dāng)?shù)亟档妥陨韮r(jià)格調(diào)整速度，以使系統(tǒng)盡快穩(wěn)定到平衡狀態(tài)。

保險(xiǎn)市場；寡頭壟斷；動態(tài)博弈；自適應(yīng)；有限理性

0 引言

隨著中國保險(xiǎn)市場的發(fā)展，內(nèi)資、外資保險(xiǎn)公司的數(shù)量逐漸增加，雖然中國保險(xiǎn)市場的壟斷程度有所下降，但仍然處于寡頭壟斷階段。多數(shù)文獻(xiàn)是對保險(xiǎn)市場寡頭壟斷競爭中的靜態(tài)博弈研究，而動態(tài)博弈研究的文獻(xiàn)則相對較少。韓樹楓等［1］利用博弈論的知識來分析保險(xiǎn)市場競價(jià)，認(rèn)為保險(xiǎn)公司并不一定要通過最低價(jià)來占領(lǐng)市場，從而提出相應(yīng)的競價(jià)策略。姚洪興等［2］將古諾模型應(yīng)用到銀行競爭領(lǐng)域中，并分析該模型中不動點(diǎn)的穩(wěn)定性，得出各參數(shù)對模型穩(wěn)定性的影響。潘玉榮等［3］提出了市場參與者具有不同理性層次的觀點(diǎn)，寡頭雙方分別采用延時有限理性競產(chǎn)決策和最優(yōu)反應(yīng)，從而建立基于不同理性的雙寡頭產(chǎn)量博弈模型。徐峰等［4］在雙寡頭廣告博弈模型中引入延遲決策，分析了一方引入延遲決策，另一方為不考慮延遲的有限理性決策，并進(jìn)一步分析延遲決策對系統(tǒng)的影響。E.M.Elabbasy等［5］建立了具有不同理性的三寡頭離散模型，并對系統(tǒng)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件進(jìn)行了分析。H.N.Agiza等［6］對有限理性的Bowley模型進(jìn)行了分析，研究了系統(tǒng)均衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，并對壟斷中考慮延遲有限理性的Bowley模型進(jìn)行研究。Zhang Jixiang等［7］對考慮有限理性的Bertrand模型進(jìn)行研究，并分析價(jià)格調(diào)整速度對動態(tài)系統(tǒng)均衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響。Chen Yuanyuan［8］和Xiaobing Zhou等［9］研究了具有時滯的微分方程模型，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。高琴［10］用生態(tài)學(xué)的理論分析集裝箱碼頭公司之間的競爭與合作，通過對Lotka-Volterra模型的改進(jìn)，建立適當(dāng)?shù)姆蔷€性模型，研究無時滯和有時滯這兩種情況下模型的穩(wěn)定性和Hopf分岔情況。Woo-Sik Son等［11］研究一類金融系統(tǒng)的動態(tài)模型，并分析延遲系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性以及延遲對系統(tǒng)的影響。本文以保險(xiǎn)市場作為研究背景，建立三寡頭壟斷的動態(tài)價(jià)格博弈模型。在一個寡頭基于自適應(yīng)決策、另兩個寡頭基于有限理性決策的情況下，對系統(tǒng)進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬。根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，總結(jié)出系統(tǒng)中相應(yīng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 模型建立

目前中國的保險(xiǎn)市場仍然是寡頭壟斷市場，所以很多文獻(xiàn)都是在寡頭壟斷的前提下對其進(jìn)行研究。通常對于企業(yè)的動態(tài)博弈研究都是在Cournot模型和Bertrand模型的基礎(chǔ)上做出改進(jìn)，以使該模型與實(shí)際情況更相符。但是大多數(shù)研究都是基于Cournot模型的，而且寡頭企業(yè)主要是做的產(chǎn)量博弈。在現(xiàn)實(shí)生活中，許多企業(yè)都是通過價(jià)格競爭來占領(lǐng)市場份額的，所以在這些市場中對企業(yè)價(jià)格博弈的研究表現(xiàn)得尤為重要。

近年來，中國財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展迅速，取得了很大的成就，尤其在業(yè)務(wù)總量和保費(fèi)收入等方面，中資財(cái)險(xiǎn)公司保持著快速的發(fā)展勢頭。在2011年的中資財(cái)險(xiǎn)公司綜合競爭力排行榜上，人保股份、平安財(cái)產(chǎn)和太保財(cái)產(chǎn)已經(jīng)連續(xù)4年保持在前3的位置。在這種背景下，可以將中資財(cái)險(xiǎn)市場看成是一個三寡頭壟斷的保險(xiǎn)市場。假設(shè)人保股份處于主導(dǎo)地位，采取自適應(yīng)決策，而平安財(cái)產(chǎn)和太保財(cái)產(chǎn)則采取有限理性決策，在此背景下，可以做以下的模型建立和分析。

在一個三寡頭壟斷的保險(xiǎn)市場中，各保險(xiǎn)公司之間進(jìn)行動態(tài)價(jià)格博弈。如果pi（t），i=1，2，3分別表示保險(xiǎn)公司i對其自身產(chǎn)品制定的價(jià)格，qi，i=1，2，3分別表示各保險(xiǎn)公司的產(chǎn)品需求量，那么各保險(xiǎn)公司的逆需求函數(shù)為

其中，a，bi，gi，hi＞0，i=1，2，3，a為市場最大需求量，bi為各企業(yè)的需求彈性，gi，hi表示的是其中兩個保險(xiǎn)公司產(chǎn)品的替代率。如果兩保險(xiǎn)公司無固定成本，ci＞0，i=1，2，3分別為第i個保險(xiǎn)公司的邊際成本，那么可以假定3個保險(xiǎn)公司的成本函數(shù)為式（2）的線性形式［3］：

因此，保險(xiǎn)公司的利潤函數(shù)可表示為

將式（1）代入式（3），得

根據(jù)式（4），求得三寡頭的邊際利潤為

假設(shè)其余兩個寡頭采取的是有限理性決策，由于企業(yè)具有不完全的市場信息，所以為了將其利潤最大化，企業(yè)在做出價(jià)格決策的時候可以考慮其邊際利潤情況。如果邊際利潤是正數(shù)，企業(yè)就決定提高產(chǎn)品價(jià)格；反之，降低產(chǎn)品價(jià)格。所以這兩個寡頭的價(jià)格調(diào)整的動態(tài)過程為

假設(shè)αi（pi），i=1，2，3是線性形式［7］的，即

其中，vi是一個正數(shù)，表示第i個保險(xiǎn)公司的價(jià)格調(diào)整速度。

因此，綜合式（6）、（7）和（8），可以得出保險(xiǎn)公司價(jià)格決策的最終博弈模型為

2 模型分析

基于經(jīng)濟(jì)模型本身的意義，均衡解應(yīng)為非負(fù)解。對系統(tǒng)（9）進(jìn)行求解，可以得到8個均衡點(diǎn)：

顯然，E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7，是系統(tǒng)（9）的邊界均衡點(diǎn)，E8則是系統(tǒng)（9）唯一的 Nash均衡點(diǎn)。對于均衡狀態(tài)E1（0，0，0），它表示3個企業(yè)最終的價(jià)格都為零，都將面臨倒閉的危險(xiǎn)。對于均衡狀態(tài)E2，E3，E4，則表示只有一個保險(xiǎn)公司在競爭中存活，其價(jià)格達(dá)到了只有其自身存在時的最優(yōu)狀態(tài)，其余兩個保險(xiǎn)公司的價(jià)格為零，都將面臨倒閉的風(fēng)險(xiǎn)。對于均衡狀態(tài)E5，E6，E7，則表示有兩個保險(xiǎn)公司可以經(jīng)受住競爭的考驗(yàn)而存活，只有一個保險(xiǎn)公司的價(jià)格為零。對于均衡狀態(tài)E8（p，p，p），是指3個寡頭通過競爭而達(dá)到的穩(wěn)定狀態(tài)，只有這個狀態(tài)是博弈參與者希望的，因?yàn)樵谶@個均衡下各企業(yè)都可以獲得一定的市場份額，而不會退出市場競爭。

所以，研究均衡點(diǎn)E8的穩(wěn)定性就轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯奎c(diǎn)（0，0，0）的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)（10）在u=0處的線性部分為

系統(tǒng)（11）的特征方程為

如果λ=iω（ω＞0）是方程（13）的一個根，則

分離實(shí)部和虛部，有

把方程（14）平方后相加，有

將ωk（k=1，2，3）代入方程（14），可以解得τjk

所以±iωk是特征方程（13）的純虛根，并記τ0=min｛τ0k｝，k=1，2，3。

當(dāng)τ=0時，特征方程（13）變?yōu)?/p>

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，如果

那么方程（17）的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

綜上所述，在式（18）成立的條件下，有下列結(jié)論：1）如果C≥0且Δ≤0，那么對于所有的τ≥0，系統(tǒng)（9）的均衡點(diǎn)E8是漸近穩(wěn)定的；2）如果C＜0或者C≥0，Δ＞0，s1＞0，f（s1）≤0，那么對于τ∈［0，τ），系統(tǒng)（9）的均衡點(diǎn)E8是漸近穩(wěn)定的；3）如果2）中的條件成立，但是f′（s′k）≠0，k=1，2，3，那么當(dāng)τ=τjk（j=0，1，2，…）時，系統(tǒng)（9）在均衡點(diǎn)E8處發(fā)生Hopf分岔。

綜上所述，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足一定條件時，將會產(chǎn)生周期解，而且隨著延遲參數(shù)的不斷增大，系統(tǒng)周期解運(yùn)動的幅度也會越來越大。表現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)情況中，各保險(xiǎn)公司為了獲得更多的利潤，通過選擇延遲參數(shù)的大小來不斷改變自身的競爭策略，最終會使保險(xiǎn)市場變得不穩(wěn)定，從而博弈各方無法制定出合理的價(jià)格，其利潤也就會受到影響。這種情形是所有保險(xiǎn)公司都不愿意看到的，因此各寡頭需要通過合理適當(dāng)?shù)母偁?，來促進(jìn)保險(xiǎn)市場的快速發(fā)展，為保險(xiǎn)市場提供良好的競爭環(huán)境。

3 數(shù)值模擬與分析

為了更好地反映系統(tǒng)的動態(tài)行為，對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬與分析。

當(dāng)?shù)谝患冶ｋU(xiǎn)公司采取自適應(yīng)決策，其余兩家采取有限理性決策時，取市場參數(shù)a=5，b1=3.8，b2=3.5，b3=3.1，g1=0.4，g2=0.5，g3=0.6，h1=0.45，h2=0.55，h3=0.65。3個保險(xiǎn)公司各自的邊際成本為c1=0.001 6，c2=0.001 4，c3=0.001 2。3個保險(xiǎn)公司自身產(chǎn)品價(jià)格的初值分別為p1（0）=0.5，p2（0）=0.4，p3（0）=0.3，價(jià)格調(diào)整速度為v1=v2=v3=0.5。此時，可以計(jì)算出延遲參數(shù)的臨界值τ0=4.128 8，系統(tǒng)的均衡解為E8（0.760 5，0.844 0，0.969 1）。通過Matlab軟件對系統(tǒng)（9）進(jìn)行數(shù)值模擬，依次取τ=3.5，4，4.128 8，4.3，模擬結(jié)果如圖1～4所示。從這4幅圖中可以看出，當(dāng)τ＜τ0時，系統(tǒng)最終會穩(wěn)定到平衡狀態(tài)。隨著τ的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡狀態(tài)所需的時間也在增加。當(dāng)τ=τ0時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，出現(xiàn)周期解。隨著τ的增大，系統(tǒng)周期運(yùn)動的幅度也越來越大。

圖1 τ=3.5，系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡狀態(tài)Fig.1 τ=3.5，the system is stable

圖2 τ=4，系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡狀態(tài)Fig.2 τ=4，the system is stable

圖3 τ=4.128 8，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔Fig.3 τ=4.128 8，Hopf bifurcation occurs

圖4 τ=4.3，系統(tǒng)周期運(yùn)動幅度增大Fig.4 τ=4.3，the amplitude of periodic motion increases

從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，對于采取自適應(yīng)決策的保險(xiǎn)公司來說，要盡量減小其所考慮的τ值，從而使系統(tǒng)盡快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。保險(xiǎn)公司必須根據(jù)自身的經(jīng)營情況和產(chǎn)品價(jià)格的變化作出調(diào)整，從而使產(chǎn)品的價(jià)格盡快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，避免整個保險(xiǎn)市場的價(jià)格紊亂現(xiàn)象。這樣既可以提高保險(xiǎn)公司的服務(wù)質(zhì)量和聲譽(yù)，又可以促進(jìn)保險(xiǎn)市場的平穩(wěn)發(fā)展。如果保險(xiǎn)公司所考慮的τ值過大，系統(tǒng)最終將不會穩(wěn)定到平衡狀態(tài)，而會發(fā)生Hopf分岔，并產(chǎn)生周期解。這對于保險(xiǎn)公司自身的經(jīng)營決策和其它相關(guān)部門的發(fā)展，將產(chǎn)生無法估計(jì)的不良影響。因此，如果保險(xiǎn)公司要采取自適應(yīng)決策，就必須減小τ值，即對市場價(jià)格作出迅速的反映。這樣各保險(xiǎn)公司在進(jìn)行價(jià)格競爭的同時，也能夠共同發(fā)展，對保險(xiǎn)市場有著舉足輕重的正面影響。

假設(shè)采取自適應(yīng)決策的保險(xiǎn)公司改變自身的價(jià)格調(diào)整速度，依次取v1=0.55，v1=0.6，并保持其它參數(shù)的值不變。對系統(tǒng)（9）進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 τ=3.5，v1=0.55，系統(tǒng)大約在t=450時穩(wěn)定到平衡點(diǎn)Fig.5 τ=3.5，v1=0.55，the system will be stable at t=450

圖6 τ=3.5，v1=0.6，系統(tǒng)出現(xiàn)周期解Fig.6 τ=3.5，v1=0.6，the periodic solution of the system occurs

比較圖1、圖5和圖6，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)τ=3.5時，隨著價(jià)格調(diào)整速度v1的增加，系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)所需的時間也在增加，增加到一定程度系統(tǒng)就會出現(xiàn)Hopf分岔，從而產(chǎn)生周期解。在實(shí)際的保險(xiǎn)市場中，需求函數(shù)以及各自的邊際成本都是相對確定的，價(jià)格調(diào)整速度就成為一個企業(yè)追求利潤最大化的重要策略。隨著該策略的開始實(shí)施，系統(tǒng)起初是穩(wěn)定的，但是價(jià)格調(diào)整速度越來越大，系統(tǒng)就會變得不穩(wěn)定。因此，保險(xiǎn)公司必須控制好自身的價(jià)格調(diào)整速度，以便系統(tǒng)盡快穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，有利于各項(xiàng)經(jīng)營決策的實(shí)施。保險(xiǎn)公司為了獲得正常利潤，既要避免因價(jià)格調(diào)整速度過小而被市場淘汰，也要避免因價(jià)格調(diào)整速度過大而使市場變得不穩(wěn)定所導(dǎo)致的整個保險(xiǎn)市場的混亂。

4 結(jié)論

本文建立了保險(xiǎn)市場中三寡頭壟斷的動態(tài)價(jià)格博弈模型，在博弈過程中，一方采取自適應(yīng)決策，另外兩方采取有限理性決策。通過對微分方程模型的理論分析和數(shù)值模擬，我們知道保險(xiǎn)公司在價(jià)格博弈的過程中，如果采取自適應(yīng)決策而考慮τ時刻之前的價(jià)格，就需要適當(dāng)?shù)販p小τ的值，以縮短系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)所需的時間。另外，各保險(xiǎn)公司都需要控制好自身的價(jià)格調(diào)整度，不能一味地加快調(diào)整速度而忽略由此帶來的負(fù)面影響。因此，各保險(xiǎn)公司必須控制好系統(tǒng)中自身的參數(shù)，從而健康穩(wěn)定地發(fā)展，并為整個保險(xiǎn)市場帶來益處。

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Study on the Dynamical Model of a Triopoly Game in Insurance Market

XU Wei，MA Jun-hai
（Tianjin University，College of Management and Economics，Tianjin 300072，China）

We consider the dynamical model of a triopoly price game in insurance market.In this model，one makes adaptive decision，the other two make decision with bounded rationality，then the differential equation model of triopoly price game is obtained.The system has only one Nash equilibrium.The stability and the existence of Hopf bifurcation of the system are studied.Numerical simulation results have further confirmed the accuracy of the theory and shown the dynamical behavior of the system.The insurance companies make decision in the price game with delay，they must choose appropriate value of the delayed parameter and decrease the speed of price adjustment.The system will become stable as soon as possible.

insurance market；duopoly；dynamical game；adaptive；bounded rationality

F224；N949

A

1672-3813（2013）02-0052-07

2012-05-30

徐偉（1987-），男，江蘇泰州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楣芾?、?jīng)濟(jì)與金融系統(tǒng)復(fù)雜性。

（責(zé)任編輯 耿金花）