于 鏑，白麗娟，李 鋮

（東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318）

其中xi=［xix，xiy］T和vi=［vix，viy］T分別為二維空間中智能體的位置向量和速度向量，并且可以得出ρ1=ρ2=2。在控制協(xié)議（5）的作用下，當控制增益參數(shù)α＞9，β＞6時，位置跟蹤誤差曲線和速度跟蹤誤差曲線如圖3和圖4所示，智能體運動軌跡如圖7所示，可見跟隨者漸近收斂到領(lǐng)航者所圍成的凸包中且達到相應(yīng)的期望位置，與推論1的結(jié)論相符。

非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)的分布式包容控制

于 鏑，白麗娟，李 鋮

（東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318）

針對具有本質(zhì)非線性動態(tài)的多智能體網(wǎng)絡(luò)，研究分布式包容控制問題。假設(shè)只有部分個體已知領(lǐng)航者信息，依據(jù)相對位置和速度信息設(shè)計分布式控制律?；诖鷶?shù)圖論、矩陣理論和Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，得出非線性網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)漸近包容控制的充分條件。當跟隨者之間有向強連通且每個跟隨者都至少存在一個領(lǐng)航者與其通信，可選取合適的控制增益使得跟隨者漸近收斂到由多個領(lǐng)航者所圍成的靜態(tài)凸包中。仿真實例驗證了理論分析的正確性和有效性。

非線性動態(tài)；多智能體網(wǎng)絡(luò)；分布式包容控制

0 引言

分布式多智能體協(xié)調(diào)控制在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域是一個非?；钴S的研究課題，主要涉及一致性、編隊控制、優(yōu)化、分布式任務(wù)分配、估計和協(xié)調(diào)跟蹤等方面的內(nèi)容［1-3］，在民用和軍事上應(yīng)用廣泛。

由于系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性的，所以對非線性系統(tǒng)的研究更具實際意義且備受青睞。同時復雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制［4-5］和穩(wěn)定性分析［6］為非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的研究提供了理論依據(jù)。在假定本質(zhì)非線性動態(tài)滿足Lipschitz條件的前提下，文獻［7］將線性網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)連通度的概念推廣到非線性網(wǎng)絡(luò)中，研究非線性二階無向網(wǎng)絡(luò)的一致性問題；文獻［8］基于智能體之間的相對狀態(tài)設(shè)計分布式控制協(xié)議，并通過求解一組矩陣不等式來實現(xiàn)無向連通網(wǎng)絡(luò)的全局一致性；針對有向網(wǎng)絡(luò)拓撲，文獻［9］則采用牽制控制實現(xiàn)二階非線性網(wǎng)絡(luò)的領(lǐng)航—跟隨一致。以上研究均限于無領(lǐng)航和單領(lǐng)航的情況。

而本文所研究的包容控制問題，存在多個領(lǐng)航者且限制跟隨者運動到由領(lǐng)航者所圍成的最小幾何空間內(nèi)，具有大量的潛在應(yīng)用。例如，一組智能體把民用物資移動到安全地段，此時只有部分智能體配有傳感器來探測危險目標，一般稱這些智能體為領(lǐng)航者，稱其它智能體為跟隨者。通過探測危險障礙物的位置，領(lǐng)航者形成一個安全的區(qū)域。若跟隨者能搬運物資移動并停留在由領(lǐng)導者所構(gòu)成的安全區(qū)域內(nèi)，則該組智能體安全地完成任務(wù)。文獻［10］針對固定無向網(wǎng)絡(luò)提出停—走策略，從而驅(qū)使一組單積分個體進入到由領(lǐng)航者所構(gòu)成的凸多面體中。文獻［11］針對單積分網(wǎng)絡(luò)，分別研究無向切換拓撲和有向固定拓撲情況下的包容控制問題，并且針對雙積分網(wǎng)絡(luò)，基于相對位置和速度矢量設(shè)計分布式控制協(xié)議，從而實現(xiàn)有向切換拓撲情況下的漸近包容控制［12］。以上均針對線性網(wǎng)絡(luò)，而在跟隨者和領(lǐng)航者具有相同動態(tài)的情況下，文獻［13］通過選取合適的控制增益實現(xiàn)一階有向非線性網(wǎng)絡(luò)的漸近包容控制，為非線性網(wǎng)絡(luò)的包容控制提供了新思路。

本文在文獻［13］的基礎(chǔ)上，進一步研究二階非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)在有向拓撲結(jié)構(gòu)下的包容控制問題。假設(shè)跟隨者之間有向強連通且只有部分個體得知靜態(tài)領(lǐng)航者位置信息，基于相對局部信息設(shè)計分布式控制律。從而選取合適的控制增益驅(qū)使跟隨者漸近收斂并停留在由多個領(lǐng)航者所圍成的凸包中。本文的貢獻有：與文獻［7-9］相比，研究了多領(lǐng)航-跟隨一致性問題，與無領(lǐng)航和單領(lǐng)航一致性相比更加復雜；與文獻［10-13］相比，研究了二階非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)的包容控制，更加具有實際意義。

1 相關(guān)理論知識

定義1 令Q是實向量空間V?Rn的集合，如果對于任何z∈［0，1）和集合Q中任何x，y，都有點（1-z）x+zy在集合Q中，則稱Q是凸的。對于V中點X=｛x1，…，xn｝的凸包是指包含X中所有點的最小凸集，用Co｛X｝表示，則

定義2 實數(shù)陣A=［aij］∈Rn×n若同時滿足：1）當i≠j時，aij≤0；2）對于任意向量x≠0，都存在正對角矩陣D，滿足xTADx＞0。則稱矩陣A為M 矩陣。若A-1存在，則矩陣A為非奇異M 陣。

2 問題描述

考慮由n個智能體構(gòu)成的有向網(wǎng)絡(luò)，其中包括m個跟隨者和n-m個領(lǐng)航者。分別用Vf=｛1，…，m｝和Vl=｛m+1，…，n｝表示跟隨者集合和領(lǐng)航者集合。本文的控制目的是使跟隨者漸近收斂到由多個靜態(tài)領(lǐng)航者所圍成的凸包中。

2.1 網(wǎng)絡(luò)動態(tài)

跟隨者的動力學模型為

其中，xi∈Rp和vi∈Rp分別為跟隨者的位置和速度矢量，f（t，xi，vi）為非線性動態(tài)，i∈Vf。令xf=［x，…，x］T，vf= ［v，…，v］T，F(xiàn)（t，xf，vf）= ［f（t，x1，v1）T，…，f（t，xm，vm）T］T。

其中，x，yi，v，zi∈ Rp，t≥0，ρ1，ρ2為已知正常數(shù)，‖·‖ 表示 Euclidean范數(shù)。當存在一個領(lǐng)導者，即n=m+1時，假設(shè)條件1為Lipschitz條件，大部分非線性系統(tǒng)均滿足該條件。

領(lǐng)航者的動力學模型為

2.2 網(wǎng)絡(luò)拓撲

令領(lǐng)航者之間無通信，且領(lǐng)航者與跟隨者之間的通信是單向的，即領(lǐng)航者發(fā)送信息，跟隨者接收信息。跟隨者之間強連通，且每個跟隨者都至少存在一個領(lǐng)航者與其通信。則有向網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣L可以寫成分塊矩陣的形式：

其中，L1∈ Rm×m，L2∈ Rm×（n-m）。

引理1 L1為非奇異矩陣且正定，且-LL2是行和為1的正定陣［12］。

2.3 網(wǎng)絡(luò)跟蹤誤差

3 主要結(jié)果

設(shè)計分布式控制律

定理1 針對由動態(tài)為（1）的跟隨者和動態(tài)為（3）的領(lǐng)航者所構(gòu)成的多智能體網(wǎng)絡(luò)，若假設(shè)1成立，跟隨者之間強連通，且每個跟隨者至少存在一個領(lǐng)航者與其通信。在控制協(xié)議（5）的作用下，如果控制增益參數(shù)α，β滿足

若控制增益滿足α＞（ρ1+1）χ，β＞ρ2χ，則＜0。即當t→∞時，跟蹤誤差ex→0，ev→0。此時跟隨者漸近收斂到領(lǐng)航者所圍成的凸包中，且達到相應(yīng)的期望位置。

可見，控制增益α，β的下界與網(wǎng)絡(luò)拓撲及ρ1，ρ2有關(guān)，在系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲信息明確且ρ1，ρ2已知的情況下，該控制方法成立且有效。

推論1 針對由動態(tài)為（1）的跟隨者和動態(tài)為（3）的領(lǐng)航者所構(gòu)成的多智能體無向網(wǎng)絡(luò)，若假設(shè)1成立，跟隨者之間無向連通，且每個跟隨者至少存在一個領(lǐng)航者與其通信。在控制協(xié)議（5）的作用下，如果控制增益參數(shù)α，β滿足

4 仿真實例

通過對兩種網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的實例仿真來驗證理論分析的正確性和有效性。

實例1 網(wǎng)絡(luò)拓撲如圖1所示，其中l(wèi)i，i=1，2，3，4代表領(lǐng)航者，fi，i=1，…，6代表跟隨者?？梢姼S者之間無向連通，且至少有一個領(lǐng)航者和每個跟隨者通信。在二維空間考慮包容控制，非線性動態(tài)為實例2 網(wǎng)絡(luò)拓撲如圖2所示，其中l(wèi)i，i=1，2，3，4代表領(lǐng)航者，fi，i=1，2，3，4代表跟隨者，可見跟隨者之間有向強連通。智能體的本質(zhì)非線性動態(tài)與實例1中的相同。在控制協(xié)議（5）的作用下，當控制增益參數(shù)α＞17，β＞11時，位置跟蹤誤差曲線和速度跟蹤誤差曲線如圖5和圖6所示，智能體運動軌跡如圖8所示?？梢姼S者漸近收斂到領(lǐng)航者所圍成的凸包中且達到相應(yīng)的期望位置，與定理1的結(jié)論相符。

其中xi=［xix，xiy］T和vi=［vix，viy］T分別為二維空間中智能體的位置向量和速度向量，并且可以得出ρ1=ρ2=2。在控制協(xié)議（5）的作用下，當控制增益參數(shù)α＞9，β＞6時，位置跟蹤誤差曲線和速度跟蹤誤差曲線如圖3和圖4所示，智能體運動軌跡如圖7所示，可見跟隨者漸近收斂到領(lǐng)航者所圍成的凸包中且達到相應(yīng)的期望位置，與推論1的結(jié)論相符。

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓撲圖1Fig.1 Network topology No.1

圖2 網(wǎng)絡(luò)拓撲圖2Fig.2 Network topology No.2

圖3 跟隨者的位置跟蹤誤差曲線（拓撲圖1）Fig.3 The position tracking error curves of followers under the network topology of Fig.1

圖4 跟隨者的速度跟蹤誤差曲線（拓撲圖1）Fig.4 The velocity tracking error curves of followers under the network topology of Fig.1

圖5 跟隨者的位置跟蹤誤差曲線（拓撲圖2）Fig.5 The position tracking error curves of followers under the network topology of Fig.2

圖6 跟隨者的速度跟蹤誤差曲線（拓撲圖2）Fig.6 The velocity tracking error curves of followers under the network topology of Fig.2

圖7 智能體運動軌跡（拓撲圖1）Fig.7 The trajectories of agents under the network topology of Fig.1

圖8 智能體運動軌跡（拓撲圖2）Fig.8The trajectories of agents under the network topology of Fig.2

5 結(jié)論

本文討論了非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)的包容控制問題。假設(shè)跟隨者有向強連通且每個跟隨者至少存在一個領(lǐng)航者與其通信，基于相對位置和速度矢量信息設(shè)計分布式控制協(xié)議。并從網(wǎng)絡(luò)跟蹤誤差入手，應(yīng)用矩陣理論和Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，得出通過選取合適的控制增益可致使跟隨者漸近收斂并停留在由領(lǐng)航者圍成的凸包中。最后通過仿真實例驗證了所提方案的正確性和有效性。下一步將考慮智能體網(wǎng)絡(luò)勢能的變化，針對包容控制中的避碰問題進行深入研究。

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Distributed Containment Control of Nonlinear Multi-Agent Networks

YU Di，BAI Li-juan，LI Cheng
（Northeast Petroleum University，School of Electrical Engineering and Information，Daqing 163318，China）

Distributed coordinated containment control problem is studied for multi-agent networks with inherent nonlinear dynamics.Distributed control law is designed according to relative positions and velocities assuming that only a subset of agents know information of leaders.Sufficient conditions are developed to achieve asymptotic containment control based on algebraic graph theory，matrix theory and Lyapunov stability analysis method.Followers can be driven into stationary convex hull asymptotically，which is formed by leaders with suitable control gain when followers are strongly connected and every follower communicate with a leader at least.At last two simulation examples are given to prove the correctness and validity of the theoretical analysis.

nonlinear dynamics；multi-agent network；distributed containment control

TP273

A

1672-3813（2013）02-0063-06

2012-12-04

于鏑（1977-），女，黑龍江安達人，博士，副教授，主要研究方向為多智能體協(xié)調(diào)控制和非線性控制。

（責任編輯 李進）