王甲生，吳曉平，陳永強(qiáng)

（海軍工程大學(xué)信息安全系，武漢 430033）

加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性研究

王甲生，吳曉平，陳永強(qiáng)

（海軍工程大學(xué)信息安全系，武漢 430033）

通過(guò)引入一種改進(jìn)的非線性負(fù)載容量模型，對(duì)加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性進(jìn)行了深入研究。采用標(biāo)準(zhǔn)化崩塌規(guī)模為度量指標(biāo)，在局部加權(quán)負(fù)載重分配準(zhǔn)則下，對(duì)權(quán)重系數(shù)、容量參數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)密度等參量對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性的影響進(jìn)行了數(shù)值仿真模擬。結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著權(quán)重系數(shù)θ的增大而降低，在θ≤0.3時(shí)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的抗毀性，這與線性模型中的結(jié)論是截然不同的；網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著容量參數(shù)的增大而增強(qiáng)，且在權(quán)重系數(shù)確定的情況下，存在最優(yōu)參數(shù)組合使得網(wǎng)絡(luò)具有最強(qiáng)的級(jí)聯(lián)抗毀性。最后，對(duì)成本和性能約束下加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性進(jìn)行了定量分析。

加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；抗毀性；級(jí)聯(lián)失效；負(fù)載容量模型；權(quán)重系數(shù)

0 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)作為復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，近年來(lái)受到數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)學(xué)、信息科學(xué)以及軍事和經(jīng)濟(jì)等各學(xué)科領(lǐng)域研究人員的廣泛關(guān)注［1］。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的興起，其抗毀性研究也備受關(guān)注，特別是一些現(xiàn)代社會(huì)賴以生存的重要基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，如電力網(wǎng)絡(luò)、金融網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)等，其抗毀性研究顯得尤為迫切。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的一個(gè)重要方面，是指當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障或被攻擊時(shí)，在節(jié)點(diǎn)容量有限的情況下，網(wǎng)絡(luò)上的負(fù)載進(jìn)行重新分配使得相關(guān)節(jié)點(diǎn)上的負(fù)載超過(guò)其容量而失效的動(dòng)態(tài)過(guò)程，可能導(dǎo)致部分網(wǎng)絡(luò)故障甚至整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰［2］。在現(xiàn)實(shí)世界中很多網(wǎng)絡(luò)災(zāi)難都可以歸結(jié)為這類級(jí)聯(lián)崩潰問(wèn)題，比如2012年7月發(fā)生的印度大停電事故，同樣的問(wèn)題也存在于通信網(wǎng)、交通網(wǎng)、因特網(wǎng)等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之中。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的級(jí)聯(lián)抗毀性研究近年來(lái)得到了很大關(guān)注。Motter等［2］首次研究了不同類型網(wǎng)絡(luò)中的級(jí)聯(lián)失效，通過(guò)引入一個(gè)負(fù)載容量線性模型，發(fā)現(xiàn)異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中級(jí)聯(lián)失效對(duì)選擇性攻擊具有敏感性。Crucitti等［3］提出了一種節(jié)點(diǎn)和邊的混合動(dòng)態(tài)相繼故障模型，并采用級(jí)聯(lián)失效后網(wǎng)絡(luò)的平均加權(quán)效率度量級(jí)聯(lián)失效的后果。Schafer等［4］提出了一種增加網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效抗毀性的設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)減少網(wǎng)絡(luò)總負(fù)載來(lái)提高網(wǎng)絡(luò)抗毀性。Wang W X等［5］研究了加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)級(jí)聯(lián)失效的魯棒性與權(quán)重分布的關(guān)系，結(jié)果表明存在最優(yōu)權(quán)重分布使網(wǎng)絡(luò)具有最強(qiáng)的魯棒性。Mirzasoleiman B［6］等研究了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于級(jí)聯(lián)失效的魯棒性，并在電力網(wǎng)、AS級(jí)Internet網(wǎng)絡(luò)、鐵路網(wǎng)以及航空網(wǎng)上進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明賦權(quán)模型為端節(jié)點(diǎn)介數(shù)乘積的網(wǎng)絡(luò)具有最強(qiáng)的魯棒性。LI S D［7］等研究了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、WS小世界網(wǎng)絡(luò)和ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)由最大負(fù)載攻擊（HL）和隨機(jī)攻擊（RA）引起的網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效問(wèn)題。Babaei M等［8］研究了模塊化小世界網(wǎng)絡(luò)對(duì)于級(jí)聯(lián)失效的魯棒性，研究表明模塊內(nèi)部連接對(duì)于網(wǎng)絡(luò)魯棒性具有重要作用，且模塊化程度越高的網(wǎng)絡(luò)其魯棒性越差。DOU B L［9］等提出了一種非線性負(fù)載容量模型，并在BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、AS級(jí)Internet網(wǎng)絡(luò)以及電力網(wǎng)上進(jìn)行了仿真。朱濤等［10］研究了指揮控制級(jí)聯(lián)失效模型，并就不同條件下指揮控制的級(jí)聯(lián)失效特征變化情況進(jìn)行了定量分析。李勇等［11］建立了度均勻隨機(jī)分布的網(wǎng)絡(luò)模型和負(fù)載局部擴(kuò)展的級(jí)聯(lián)失效抗毀性模型，并運(yùn)用多維分支過(guò)程方法求解網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的臨界值。任俊亮等［12］建立了一個(gè)無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的相繼故障模型，該模型采用基于節(jié)點(diǎn)剩余容量的負(fù)載重分配策略能較充分地利用網(wǎng)絡(luò)資源。王威等［13］提出了基于隨機(jī)行走介數(shù)的級(jí)聯(lián)失效模型。

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性研究中，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是合理設(shè)定節(jié)點(diǎn)和邊的容量，使之盡可能符合實(shí)際。另一方面，由于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建也是需要考慮成本的，因此也需要設(shè)計(jì)合理的負(fù)載容量模型以抵御級(jí)聯(lián)失效。文獻(xiàn)［14］研究了大規(guī)?；A(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載與容量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)負(fù)載與容量之間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，這一結(jié)論與以往研究中［2，5-8，10，12-13］假設(shè)的負(fù)載容量模型是截然不同的。因此，本文通過(guò)引入一種改進(jìn)的非線性負(fù)載容量模型，在局部加權(quán)負(fù)載重分配準(zhǔn)則下，采用數(shù)值仿真的方法研究了加權(quán)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù)、容量參數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)密度等對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性的影響，定量分析了成本和性能約束下的加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性。

1 加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效分析

1.1 加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要的研究方向，可以用圖G=（V，E）來(lái)表示，假設(shè)G是一個(gè)無(wú)向連通圖，有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和m 條帶有權(quán)重的邊，節(jié)點(diǎn)集V= （v1，v2，…，vn），邊集E= （e1，e2，…，em）。一般用權(quán)重鄰接矩陣W= （wij）n×n表示加權(quán)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，wij表示節(jié)點(diǎn)vi與vj連接的邊的權(quán)重，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中各條邊的權(quán)值都相同時(shí)，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)即退化為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

把一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)抽象為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程并不是平庸的，以往的權(quán)重模型主要有YJBT模型、AK模型以及BBV模型等。本文考慮了一種將無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為邊權(quán)的賦權(quán)模型，邊權(quán)與其兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)的度相關(guān)［6，15］。邊權(quán)的賦予方式為：假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中邊eij連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)vi與vj的度值分別為ki和kj，那么該邊的權(quán)重為wij=wji= （kikj）θ，其中θ（θ＞0）為一個(gè)可調(diào)的權(quán)重系數(shù)，用于描述邊權(quán)與節(jié)點(diǎn)度之間的相互關(guān)系。這種邊權(quán)的賦予方式是有實(shí)證數(shù)據(jù)作支撐的，在目前加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究中得到了廣泛的應(yīng)用。權(quán)重系數(shù)θ決定了加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊的非同質(zhì)性，當(dāng)θ=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的邊權(quán)w=1，表明邊權(quán)與節(jié)點(diǎn)度之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)退化為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)θ＞0時(shí)，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的特性由權(quán)重來(lái)刻畫(huà)，且θ越大則各邊之間的差異越大。

1.2 級(jí)聯(lián)失效

假設(shè)加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效是由一個(gè)微小的初始攻擊觸發(fā)的，比如切除網(wǎng)絡(luò)中的任意一條邊。那么，在局部加權(quán)的負(fù)載重分配準(zhǔn)則［5-6］下，這條斷邊上的負(fù)載將分配給其端節(jié)點(diǎn)相連的鄰邊，且鄰邊接收到的負(fù)載正比于邊的權(quán)重。與以往的模型一樣，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中每條邊所能處理的最大負(fù)載稱為該邊的容量，一般來(lái)說(shuō)邊的容量是有限的。

負(fù)載的重分配和有限容量使得一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效足以導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰。在初始狀態(tài)下，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)處于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，每條邊上的負(fù)載均小于其容量。任意一條邊的移除將改變之前的平衡狀態(tài)，由此引發(fā)的負(fù)載重分配可能導(dǎo)致其它相連邊的失效，這些邊的失效又可能導(dǎo)致相連邊的失效，直到網(wǎng)絡(luò)中每條邊的負(fù)載都不超過(guò)其容量為止。

P.Holme等［16］的研究指出，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中邊的介數(shù)與該邊的端節(jié)點(diǎn)的度的乘積形式是正相關(guān)的。因此，可以合理地設(shè)定在邊eij移除之前，如果其沒(méi)有接收到額外的負(fù)載Δwij，那么該邊上的負(fù)載就等于該邊的權(quán)重wij。

2 改進(jìn)的負(fù)載容量非線性模型

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，邊的容量是受成本和可用資源約束的。因此，在以往的研究工作中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中邊的容量被設(shè)定為正比于其權(quán)重，比如C=Tw，其中常數(shù)T（T＞1）為臨界系數(shù)，w為邊的權(quán)重；或者C= （1+a）L，其中常數(shù)a為容忍系數(shù)，L為邊的初始負(fù)載。然而，D H Kim等通過(guò)對(duì)航空運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)、公路交通網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)及路由器網(wǎng)絡(luò)的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中容量較小的節(jié)點(diǎn)（邊）反而有較大的未使用容量，即負(fù)載與容量之間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，表明以上假設(shè)的負(fù)載容量線性模型與現(xiàn)實(shí)是不相符的。

據(jù)此，本文給出了一個(gè)改進(jìn)的負(fù)載容量非線性模型，將加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中邊的容量表示為C=L+βLα，其中α（α＞0）和β（β＞0）為容量參數(shù)。該模型包含兩個(gè)可變參數(shù)，靈活性更高，且當(dāng)α=1時(shí)模型即退化為線性模型。圖1給出了改進(jìn)負(fù)載容量模型與線性模型C= （1+a）L在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的比較，圖中灰色實(shí)線表示改進(jìn)的負(fù)載容量模型，虛線表示線性模型，黑色實(shí)線為容量等于負(fù)載的參考線。

由圖1可以看出，以往的線性模型中容量是正比于負(fù)載的，改進(jìn)的負(fù)載容量模型在負(fù)載較小時(shí)空閑容量較大，負(fù)載較大時(shí)空閑容量反而較小，與文獻(xiàn)［14］中對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的研究結(jié)論一致。

另外，在級(jí)聯(lián)失效發(fā)生后，本文采用崩塌規(guī)模Sij來(lái)表示切斷邊eij觸發(fā)的級(jí)聯(lián)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的破壞程度，崩塌規(guī)模Sij即網(wǎng)絡(luò)中失效邊的數(shù)量。為了衡量整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性，對(duì)崩潰規(guī)模進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，采用標(biāo)準(zhǔn)化崩塌規(guī)模SN來(lái)表示依次切斷每條邊后對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的平均破壞程度。S=∑ijSij/N，其中N為網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)量。標(biāo)準(zhǔn)化崩潰規(guī)模SN可以看作是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)面對(duì)隨機(jī)失效的級(jí)聯(lián)抗毀性的平均度量。

圖1 線性與非線性負(fù)載容量模型Fig.1 The linear and nonlinear load-capacity model

3 加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性仿真分析

現(xiàn)實(shí)生活中的許多網(wǎng)絡(luò)如因特網(wǎng)、航空運(yùn)輸網(wǎng)、電力網(wǎng)等都具有明顯的無(wú)標(biāo)度特性。為了更好地理解實(shí)際網(wǎng)絡(luò)特征參數(shù)與級(jí)聯(lián)抗毀性之間的關(guān)系，本文研究了加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。首先，構(gòu)建加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其初始節(jié)點(diǎn)數(shù)n0=5，m=4，節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=5 000，網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建依賴于擇優(yōu)吸附機(jī)制。然后，依據(jù)1.1節(jié)中的賦權(quán)方式對(duì)BA網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行賦權(quán)，其中權(quán)重系數(shù)θ在［0，2］之間取值。當(dāng)θ=0.5時(shí)，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載分布如圖2所示，呈現(xiàn)出冪律分布的特性。

加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性與權(quán)重系數(shù)θ、容量參數(shù)α和β等是密切相關(guān)的，其級(jí)聯(lián)抗毀性分析較為復(fù)雜。本節(jié)分別研究加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性與權(quán)重系數(shù)、容量參數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)密度等網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的關(guān)系，并定量分析了成本和性能約束下的級(jí)聯(lián)抗毀性。

3.1 容量參數(shù)固定的抗毀性仿真

加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中邊的容量由α和β兩個(gè)參數(shù)共同決定的，在對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，獲得容量參數(shù)的近似值。設(shè)定α=0.45，β=0.20，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性與權(quán)重系數(shù)θ的關(guān)系如圖2所示，仿真結(jié)果為10次計(jì)算的平均值。

由圖3可知，在容量參數(shù)固定的情況下，標(biāo)準(zhǔn)化崩塌規(guī)模SN隨著權(quán)重系數(shù)θ的增大不斷增大，即網(wǎng)絡(luò)的抗毀性隨θ增大而不斷降低。當(dāng)θ＜0.4時(shí)，SN接近于0，網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出最強(qiáng)的抗毀性。然而當(dāng)θ≥0.4時(shí)，SN迅速增大，且當(dāng)θ＞0.8時(shí)，網(wǎng)絡(luò)幾乎全盤(pán)崩潰。這一結(jié)果與對(duì)文獻(xiàn)［5］的進(jìn)一步的研究結(jié)論完全不同。Wang W X等采用線性負(fù)載容量模型，其研究工作側(cè)重于控制級(jí)聯(lián)失效的開(kāi)始及傳播，對(duì)于控制任意結(jié)構(gòu)加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的發(fā)生及失效范圍具有重要指導(dǎo)意義。然而，進(jìn)一步的研究表明，隨著級(jí)聯(lián)失效范圍的擴(kuò)大，標(biāo)準(zhǔn)化崩塌規(guī)模SN與閾值T的關(guān)系是單調(diào)的。在線性負(fù)載容量模型中，網(wǎng)絡(luò)抗毀性與閾值T的關(guān)系如圖4所示，仿真結(jié)果為10次計(jì)算的平均值。

圖2 加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載分布曲線Fig.2 Load distribution of weighted scale-free networks

圖3 網(wǎng)絡(luò)抗毀性與權(quán)重系數(shù)的關(guān)系曲線Fig.3 Invulnerability as a function of weight coefficient

圖4 線性模型中抗毀性與閾值T的關(guān)系曲線Fig.4 Relationship between invulnerability and the threshold T

由圖4可以看出，在線性負(fù)載容量模型中，隨著級(jí)聯(lián)失效規(guī)模的擴(kuò)大，對(duì)于確定的閾值T0，權(quán)重系數(shù)θ越大，標(biāo)準(zhǔn)化崩塌規(guī)模SN就越小，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性越強(qiáng)。這與本文上述得出的結(jié)論是截然不同的，這種差異正是由于負(fù)載容量之間的非線性關(guān)系造成的。

3.2 不同容量參數(shù)的抗毀性仿真

D H Kim等對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的實(shí)證研究也發(fā)現(xiàn)，不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載容量的關(guān)系曲線是不同的。為此，本文研究了不同容量參數(shù)下加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性。圖5和圖6分別為加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性與容量參數(shù)α和β的關(guān)系曲線，仿真結(jié)果為10次計(jì)算的平均值。

圖5 網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨容量參數(shù)α的變化曲線Fig.5 Invulnerability as a function of parameterα

圖6 網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨容量參數(shù)β的變化曲線Fig.6 Invulnerability as a function of parameterβ

在圖5中，參數(shù)β=0.20。由圖5a可知，對(duì)于給定的α值，隨著θ的不斷增大，SN不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性不斷降低。對(duì)于給定的θ值，隨著α的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性不斷增強(qiáng)，θ=0.5時(shí)的情況如圖5b所示。在圖6中，參數(shù)α=0.45。參數(shù)β對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性的影響與α類似。對(duì)于給定β值，隨著θ的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性不斷降低。對(duì)于給定的θ值，隨著β的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性不斷增強(qiáng)，如圖6b所示。隨著參數(shù)α和β的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性不斷增強(qiáng)，這與直觀上的認(rèn)識(shí)是一致的。

從圖5和圖6也可以看出，不同容量參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)在θ較小（θ≤0.3）時(shí)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的抗毀性，隨著θ的進(jìn)一步增大，網(wǎng)絡(luò)抗毀性急劇降低。另外，隨著α和β的增大，網(wǎng)絡(luò)抵抗級(jí)聯(lián)失效的空閑容量ΔC=βLα也不斷增大，網(wǎng)絡(luò)成本也進(jìn)一步增加。因此，從控制成本的角度考慮，可以減小網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重系數(shù)，隨后根據(jù)實(shí)際需要對(duì)容量參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，使網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性最強(qiáng)。

3.3 不同網(wǎng)絡(luò)密度對(duì)抗毀性的影響

網(wǎng)絡(luò)密度對(duì)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性也存在一定影響。網(wǎng)絡(luò)密度表現(xiàn)為平均度〈k〉，網(wǎng)絡(luò)密度與網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性的關(guān)系曲線如圖7所示，仿真結(jié)果為10次計(jì)算的平均值。

在圖7中，容量參數(shù)α=0.45，β=0.20。由圖7a可知，給定〈k〉的情況下，隨著權(quán)重系數(shù)θ的不斷增大，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性先降低，隨后又略有增強(qiáng)。對(duì)于給定的θ值，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性與〈k〉的關(guān)系如圖7b所示。由圖7b可知，在θ=0.5的情況下，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性在〈k〉=2時(shí)最強(qiáng)，在〈k〉=4時(shí)最差，隨著〈k〉的繼續(xù)增大有所增強(qiáng)。另外，由圖7a可以看出，不同密度的加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在θ＜0.3時(shí)級(jí)聯(lián)失效規(guī)模較小，而當(dāng)θ≥0.3時(shí)級(jí)聯(lián)失效傳播的速度迅速加快。從控制級(jí)聯(lián)失效傳播范圍的角度考慮，可以采取的方法是首先減小權(quán)重系數(shù)，進(jìn)而根據(jù)需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)密度進(jìn)行一定調(diào)整。

3.4 考慮成本與性能的抗毀性優(yōu)化分析

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的抗毀性研究中，通常人們比較關(guān)心的是如何在保持成本一定的情況下，設(shè)計(jì)抗毀性最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)［17］。前面給出了加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性與各參數(shù)的定性關(guān)系，下面從定量的角度給出加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)抗毀性的優(yōu)化分析模型。

加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性可以表示為網(wǎng)絡(luò)魯棒性與網(wǎng)絡(luò)成本的函數(shù)。

其中，F(xiàn)為加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性目標(biāo)函數(shù)。R為網(wǎng)絡(luò)魯棒性，用最大連通子圖的相對(duì)大小來(lái)表示，R=G′/G，G′和G分別表示級(jí)聯(lián)失效發(fā)生前后的最大連通子圖大小。S為成本，與網(wǎng)絡(luò)密度〈k〉和邊容量C相關(guān)，表示為S（〈k〉）和S（C）。S（〈k〉）=m/n0，m 為平均連接數(shù)，n0為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)。S（C）=∑ijΔC/ΣijL，L為初始負(fù)載，S（C）為網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)增加成本。γ為加權(quán)系數(shù)，表示網(wǎng)絡(luò)邊容量決定的網(wǎng)絡(luò)成本的重要性，通過(guò)調(diào)節(jié)γ，可以均衡容量成本和密度成本對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響。本文重點(diǎn)考慮容量成本對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)抗毀性的影響，取γ=1。成本和性能約束下，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性與各參數(shù)的關(guān)系曲線如圖8所示。

圖7 不同網(wǎng)絡(luò)密度與級(jí)聯(lián)抗毀性的關(guān)系曲線Fig.7 Invulnerability as a function of parameter〈k〉

圖8 成本和性能約束下級(jí)聯(lián)抗毀性與α，β和θ的關(guān)系曲線Fig.8 Invulnerability as functions ofα，βandθconsidering cost and network performance

由圖8a可知，在確定容量參數(shù)α和β的情況下，網(wǎng)絡(luò)在θ∈［0.1 0.3］時(shí)具有較強(qiáng)的級(jí)聯(lián)抗毀性，且在θ=0.3時(shí)抗毀性最強(qiáng)，隨后又迅速降低，到θ≥0.7時(shí)網(wǎng)絡(luò)全盤(pán)崩潰。在圖8b和c可知，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著α和β的逐漸增大呈現(xiàn)出先增強(qiáng)后減弱的趨勢(shì)，也就是說(shuō)在確定權(quán)重系數(shù)θ的情況下，網(wǎng)絡(luò)存在最優(yōu)級(jí)聯(lián)抗毀性，以θ=0.5為例，網(wǎng)絡(luò)在α=0.60，β=0.20時(shí)抗毀性最強(qiáng)。

由圖3～圖8的仿真結(jié)果可以得出如下結(jié)論，在非線性負(fù)載容量模型條件下：

1）加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著權(quán)重系數(shù)θ的增大而降低，當(dāng)θ≤0.3時(shí)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的抗毀性，當(dāng)θ＞0.3時(shí)級(jí)聯(lián)抗毀性迅速降低，而當(dāng)θ＞0.8時(shí)網(wǎng)絡(luò)接近全盤(pán)崩潰，這與文獻(xiàn)［5］中關(guān)于線性模型的結(jié)論是完全相反的。

2）加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著容量參數(shù)α和β的增大而增強(qiáng)，這與直觀上的認(rèn)識(shí)是一致的。然而，容量參數(shù)的增大也在一定程度上增加了網(wǎng)絡(luò)成本。從控制成本的角度考慮，首要是減小網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重系數(shù)，隨后根據(jù)需要對(duì)容量參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，使得網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性最強(qiáng)。

3）在成本和抗毀性約束下，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性在權(quán)重系數(shù)θ≤0.3時(shí)較強(qiáng)，且在權(quán)重系數(shù)θ確定的情況下，通過(guò)調(diào)節(jié)容量參數(shù)α和β，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在最優(yōu)的級(jí)聯(lián)抗毀性。

由此可以看出，本文的研究成果能夠從整體上把握加權(quán)負(fù)載網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性狀況，且能靈活調(diào)節(jié)參數(shù)以獲取最大的級(jí)聯(lián)抗毀性。

4 結(jié)論

本文通過(guò)引入改進(jìn)的非線性負(fù)載容量線性模型，對(duì)加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性進(jìn)行了深入研究。結(jié)果表明，加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)抗毀性隨著權(quán)重系數(shù)的增大而降低，隨容量參數(shù)的增大而增強(qiáng)，且在權(quán)重參數(shù)固定的情況下存在最優(yōu)參數(shù)組合使得網(wǎng)絡(luò)具有最強(qiáng)抗毀性。研究成果能夠?yàn)閷?shí)際網(wǎng)絡(luò)的抗毀性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考和借鑒。另外，本文的研究可以看作是加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)面對(duì)隨機(jī)失效的級(jí)聯(lián)抗毀性，實(shí)際上網(wǎng)絡(luò)面臨的攻擊更多的是蓄意攻擊，因此加權(quán)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)面對(duì)基于高負(fù)載節(jié)點(diǎn)或蓄意攻擊的級(jí)聯(lián)抗毀性問(wèn)題將是下一步研究重點(diǎn)。

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Invulnerability of Weighted Scale-Free Networks Against Cascading Failure

WANG Jia-sheng，WU Xiao-ping，CHEN Yong-qiang
（Department of Information Security，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

To solve the problem of invulnerability analysis of weighted scale-free networks against cascading failure，an improved nonlinear load-capacity model is introduced.The normalized avalanche size is adopted as the measurement of invulnerability，and under the rule of local weighted load redistribution，the influence of weight coefficient，capacity parameters and density of the network on invulnerability of weighted scale-free networks against cascading failure is investigated by numerical simulation.The results demonstrate that the smaller of the weight coefficientθ，the better of the invulnerability，especially whenθ≤0.3，which contrasts with the conclusion drawn from the linear model.In addition，the larger of the capacity parameters，the better of the invulnerability.And moreover，when the weight coefficient is fixed，there exists an optimal combination of the capacity parameters which ensures that the weighted networks reach the strongest invulnerability level.Finally，the qualitative analysis of invulnerability of weighted scale-free networks against cascading failure under the restrictions of cost and performance is presented.

weighted scale-free networks；invulnerability；cascading failure；load-capacity model；weight coefficient

N949

A

1672-3813（2013）02-0013-07

2012-08-24

國(guó)家自然科學(xué)基金（71171198，61100042）；湖北省自然科學(xué)基金（2011CDB052）

王甲生（1984-），男，陜西渭南人，博士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)分析建模與仿真。

（責(zé)任編輯 李進(jìn)）