董滿生， 趙佳佳， 牛忠榮， 耿淑偉

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；3.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

0 引 言

水中懸浮隧道（Submerged Floating Tunnel，簡(jiǎn)稱SFT）又稱阿基米德橋，是一種懸浮在水面下方的通道，對(duì)于那些由于環(huán)境限制使得水域難以跨越的地方，懸浮隧道提供了跨越的可能性。通常懸浮隧道自身重力小于浮力，通過錨索平衡富余浮力以達(dá)到平衡。與地面結(jié)構(gòu)物所處環(huán)境不同，水中懸浮隧道除了承受自重和車輛載荷外，還受到浮力、波浪、海流及地震等各種環(huán)境動(dòng)力荷載的作用，而維持懸浮隧道的穩(wěn)定主要依靠錨索的作用，因此研究錨索在復(fù)雜環(huán)境作用下的動(dòng)力響應(yīng)，成為研究懸浮隧道安全性、穩(wěn)定性的重點(diǎn)。

文獻(xiàn)［1］對(duì)水流下懸浮隧道的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，比較了渦激振動(dòng)和參數(shù)振動(dòng)對(duì)錨索振幅的影響；文獻(xiàn)［2］對(duì)懸浮隧道在波流聯(lián)合作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究，通過數(shù)值計(jì)算得出懸浮隧道的放置深度、跨越長(zhǎng)度、隧道斷面形式和支撐形式對(duì)懸浮隧道靜、動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)［3］對(duì)地震和水流作用下懸浮隧道整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行三維數(shù)值模擬；文獻(xiàn)［4］針對(duì)北海道的波浪環(huán)境，進(jìn)行了SFT的動(dòng)態(tài)特性二維模型試驗(yàn)；文獻(xiàn)［5］分析了風(fēng)浪作用下SFT的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，用基于Navier－Stokes方程的有限元方法計(jì)算了規(guī)則波作用下二維模型的水動(dòng)力；文獻(xiàn)［6］提出了波浪和地震等環(huán)境載荷下SFT的工程分析程序。錨索作為懸浮隧道關(guān)鍵機(jī)構(gòu)之一，成為懸浮隧道研究的一個(gè)熱點(diǎn)，已有一些研究關(guān)注波、流或波流聯(lián)合作用所致的渦激振動(dòng)［7－9］，但關(guān)于地震作用下錨索的動(dòng)力行為的相關(guān)報(bào)道不多，因此深入了解錨索對(duì)地震激勵(lì)的動(dòng)力反應(yīng)對(duì)懸浮隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和理論研究至關(guān)重要。

本文考慮錨索振動(dòng)時(shí)水體的流固耦合作用，建立錨索非線性動(dòng)力方程，運(yùn)用虛擬激勵(lì)法結(jié)合數(shù)值軟件研究錨索的隨機(jī)地震反應(yīng)，得出地震作用下懸浮隧道錨索的速度和位移動(dòng)力響應(yīng)，用以評(píng)價(jià)水中懸浮隧道在隨機(jī)地震激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為。

1 地震作用下懸浮隧道錨索振動(dòng)分析

根據(jù)水中懸浮隧道的水下定位方式，其結(jié)構(gòu)形式通?？煞譃殄^索式懸浮隧道、浮筒式懸浮隧道和固定支撐式懸浮隧道。本文的研究對(duì)象為錨索式懸浮隧道，其結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要由管體、錨索和錨固樁等結(jié)構(gòu)組成，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 懸浮隧道結(jié)構(gòu)示意圖

為了簡(jiǎn)化地震作用下水中懸浮隧道錨索模型，本文作以下假設(shè)：

（1）懸浮隧道錨索所受的拉力遠(yuǎn)大于其自身重力，拉力沿長(zhǎng)度方向不變。

（2）錨索幾何尺寸和材料性質(zhì)沿長(zhǎng)度方向不變。

（3）錨索的抗彎剛度很小，忽略不計(jì)。

（4）地震作用下由錨固樁處以水平剪切波形式輸入。

系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖1所示，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在錨索底端。錨索具有一定的垂度而不處于繃直的狀態(tài)，采用等效彈性模量方法考慮錨索的垂度效果，即將具有較高初始應(yīng)力和一定垂度的錨索等效為一直弦桿。采用Morison公式考慮結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的水動(dòng)力。根據(jù)以上假設(shè)，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理可得地震作用下錨索橫向振動(dòng)微分方程為：

其中，Eeq為考慮錨索垂度效應(yīng)后的錨索等效彈性模量［10］，Eeq＝E／（1＋E／Ef），E 為錨索的彈性模量，Ef＝（Lcosθ）2，Ef為錨索垂度產(chǎn)生的模量；σ＝T0／A為錨索應(yīng)力，T0為錨索靜力平衡時(shí)的張力，A為錨索橫截面積；γ1為錨索的浮容重；L為錨索長(zhǎng)度；θ為錨索傾角；ε為錨索的動(dòng)應(yīng)變；c為錨索的黏滯阻尼系數(shù)；m為單位長(zhǎng)度錨索的質(zhì)量；FD為錨索橫向振動(dòng)時(shí)水體對(duì)其單位長(zhǎng)度的水動(dòng)力；ag為地震波加速度。

錨索的動(dòng)應(yīng)變可由泰勒公式寫為：

由Morison公式可知，錨索振動(dòng)時(shí)水體對(duì)其單位長(zhǎng)度的作用力可寫成附加慣性力和阻尼力之和［11］，即

其中，ρw為水體密度；Dt為錨索直徑；CD為拖曳力系數(shù)，取CD＝0.7；Cm為附加質(zhì)量系數(shù)，取Cm＝1。

地震加速度ag由反應(yīng)譜［12］可得。平穩(wěn)隨機(jī)地面加速度ag的譜密度Sa（ω）已給定，則虛擬簡(jiǎn)諧地面激勵(lì)［13］為：

令magcosθ＝F1，magsinθ＝F2，方程（1）可寫為：

錨索兩端為鉸接，采用分離變量法，則振動(dòng)位移［14］可寫為：

將（2）式、（3）式和（6）式代入（5）式得：

文獻(xiàn)［15］指出，張緊弦的端部激勵(lì)振動(dòng)的基本模態(tài)占主要地位，取一階振動(dòng)模態(tài)簡(jiǎn)化（7）式，整理得：

（8）式兩端各項(xiàng)乘以φ（x）＝sin（πx／l），沿梁長(zhǎng)度方向積分，并考慮正交條件得：

（9）式可寫為：

分析可得N?n，故可以忽略軸向力對(duì)錨索的影響，（10）式可簡(jiǎn)化：

（11）式為非線性方程，可見地震下錨索動(dòng)力響應(yīng)屬于非線性問題。為解決此問題本文采用非線性問題等效線性化［13］的方法進(jìn)行求解，即用一個(gè)有精確解的線性系統(tǒng)代替非線性系統(tǒng)，并使得兩方程之差在統(tǒng)計(jì)意義上為最小。對(duì)高階項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，與一階項(xiàng)進(jìn)行合并，通過迭代的方法求解出非線性項(xiàng)的等效線性系數(shù)，等效方程為：

取初始值E（q2（t））＝1，代入（13）式，通過數(shù)值軟件迭代計(jì)算，當(dāng) An－An＋1＜An＋1／100，則取迭代完成，通過迭代法可求出A＝102.0922。

（14）式兩邊實(shí)部、虛部分別相等，可解得：

2 平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)值模擬

數(shù)值模擬懸浮隧道結(jié)構(gòu)參數(shù)見文獻(xiàn)［10］。地面加速度自功率譜采用Kanai－Tajimi平穩(wěn)過濾白噪聲公式［16］，即

白噪聲功率譜如圖2所示。錨索中間位置響應(yīng)最為劇烈，取錨索x＝l／2位置位移功率譜密度函數(shù)為：

運(yùn)用Matlab數(shù)學(xué)軟件分別對(duì)其展開式功率譜進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖2 白噪聲功率譜

圖3 位移功率譜密度曲線

圖4 速度功率譜密度曲線

從圖3、圖4可以看出，平穩(wěn)隨機(jī)地震作用下懸浮隧道錨索中間位置位移響應(yīng)和速度響應(yīng)均在角頻率為67rad／s左右達(dá)到最大，其最大值分別為4.9×10－7m2·s和2.1×10－3m2／s。

3 非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)值模擬

結(jié)構(gòu)受地震、陣風(fēng)之類的隨機(jī)作用有時(shí)持續(xù)時(shí)間很短，以至于激勵(lì)的平穩(wěn)性假定不成立，結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)［17］響應(yīng)得到研究。對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)過程，已有多種功率譜模型，其中演變功率譜密度模型在地震中得到廣泛應(yīng)用，具體形式為：

對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)過程，假定非均勻調(diào)制函數(shù)A（ω，t）和對(duì)應(yīng)的零均值平穩(wěn)地面加速度¨xg（t）的譜密度Sa（ω）已知，則虛擬簡(jiǎn)諧地面激勵(lì)為：

計(jì)算過程與平穩(wěn)類似計(jì)算中調(diào)制函數(shù)的選取取決于地面運(yùn)動(dòng)的持續(xù)時(shí)間，A（ω，t）的表達(dá)式為：

計(jì)算中，p＝0.0995，調(diào)制函數(shù)如圖5所示。

圖5 調(diào)制函數(shù)曲線

此時(shí)功率譜函數(shù)為隨時(shí)間變化的函數(shù)，即

錨索中間位移功率譜密度函數(shù)為：

經(jīng)過計(jì)算和Matlab仿真所得結(jié)果如圖6所示。

圖6 非平穩(wěn)位移功率譜曲線

從圖6可以看出，非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)錨索中間處位移響應(yīng)在角頻率為67rad／s、時(shí)間為10s左右達(dá)到最大，其值為4.4×10－7m2·s。

4 結(jié)束語

本文考慮了流固相互作用，將錨索簡(jiǎn)化為受張力的弦，對(duì)地震錨索動(dòng)力方程的非線性項(xiàng)進(jìn)行等效線性化處理，采用虛擬激勵(lì)法研究地震作用下懸浮隧道錨索的動(dòng)力響應(yīng)，給出該類結(jié)構(gòu)的一種理論分析方法。研究結(jié)果表明，地震輸入軸向力對(duì)錨索的橫向振動(dòng)影響較小，可忽略；錨索振動(dòng)時(shí)水的附加阻尼力與附加慣性力相比較小，影響可忽略。

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