王永弟，丁海勇，羅海濱

（1.南京信息工程大學(xué) 遙感學(xué)院，江蘇 南京 210044）

線性模型最小二乘估計(jì)是線性最優(yōu)無偏估計(jì)，這一結(jié)論是在假設(shè)觀測(cè)值服從正態(tài)分布的前提下得到的，但在實(shí)際中，由于觀測(cè)量中往往不可避免地存在粗差，因此，正態(tài)分布的假設(shè)前提不再成立，即觀測(cè)值遭受粗差污染時(shí)，最小二乘估計(jì)不具有抵抗粗差干擾的能力，單個(gè)觀測(cè)值的偏差也可能導(dǎo)致最小二乘估計(jì)面目全非[1]。為了解決這個(gè)問題，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家們提出了具有抵抗粗差能力的穩(wěn)健估計(jì)。穩(wěn)健估計(jì)是假設(shè)觀測(cè)值服從污染分布的前提下，通過犧牲最優(yōu)性來達(dá)到抵抗粗差的目的。在實(shí)際的參數(shù)估計(jì)過程中，人們一般不是選用最小二乘估計(jì)，就是選用穩(wěn)健估計(jì)，由于不知道觀測(cè)值究竟服從什么分布，所以不論選用哪種估計(jì)，都要擔(dān)很大的風(fēng)險(xiǎn)[2]。利用模糊邏輯關(guān)系構(gòu)建抗差估計(jì)解，能取得滿意的結(jié)果。為此中國學(xué)者建立了觀測(cè)誤差與殘差的模糊邏輯關(guān)系以及觀測(cè)誤差屬于粗差的隸屬函數(shù)，提出了顧及模糊邏輯關(guān)系的抗差估計(jì)算法[3，4]。另一方面，現(xiàn)實(shí)中的模型往往并不是線性模型，而是非線性模型，用線性模型的理論來處理非線性模型，只是一種簡(jiǎn)單的、近似的方法，不可避免地會(huì)引起模型誤差[5]。

本文利用模糊隸屬函數(shù)，通過隸屬度加權(quán)來削弱個(gè)別異常數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響，從而在不影響最優(yōu)性的前提下達(dá)到提高參數(shù)估計(jì)穩(wěn)健性的目的。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理前，無需考慮觀測(cè)值究竟服從什么樣的分布，也無需考慮模型本身是否為線性模型，只需要利用模糊隸屬函數(shù)進(jìn)行定權(quán)，然后再按照定權(quán)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)最小二乘運(yùn)算，即可得到滿意的結(jié)果。

1 模糊隸屬函數(shù)簡(jiǎn)介

模糊集合定義如下：論域U上的模糊子集A是指對(duì)于任何x∈U都有一個(gè)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，即

映射μA稱為A的隸屬函數(shù)，μA(x)表示元素x屬于A的程度，稱為x對(duì)A的隸屬度。

模糊子集由其隸屬函數(shù)所確定。隸屬函數(shù)是普通集合中特征函數(shù)的推廣[6]，是模糊數(shù)學(xué)中最為基本的概念，模糊集合完全由其隸屬函數(shù)決定。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí)，隸屬函數(shù)的確定非常重要。合理地確定隸屬函數(shù)將更能反映模糊概念的本質(zhì)，包含更多的信息[7]。確定隸屬函數(shù)的方法主要有模糊統(tǒng)計(jì)法、三分法、增量法等[8]。常用的隸屬函數(shù)有B樣條隸屬函數(shù)、高斯隸屬函數(shù)等，Matlab 軟件模糊邏輯工具箱內(nèi)置的隸屬函數(shù)有11種（主要由分段線性函數(shù)、高斯分布函數(shù)、S形曲線、二次和三次多項(xiàng)式曲線等基函數(shù)構(gòu)成），本文選取高斯隸屬函數(shù)、三角形隸屬函數(shù)和鐘形隸屬函數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。

2 模型簡(jiǎn)介

2.1 模型的建立

設(shè)不同精度獨(dú)立觀測(cè)值為L(zhǎng)=(L1L2…Ln)T[9]，相應(yīng)的權(quán)矩陣為P=diag(p1p2…pn)，其誤差方程為：

其純量形式為：

式中，f既可以是線性函數(shù)，也可以是非線性函數(shù)。

相應(yīng)的權(quán)為pi，根據(jù)隸屬度可作為權(quán)重的原理，權(quán)值pi可以由模糊隸屬函數(shù)按式（4）確定：

式中，μ(vi)即為模糊隸屬函數(shù)。于是，將pi也表示成誤差vi的函數(shù)，則求解誤差方程的準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)化為求加權(quán)最小二乘：

將式（3）代入式（5）進(jìn)行求解，本文選擇迭代算法中收斂快、運(yùn)算量較小的高斯-牛頓法或改進(jìn)的高斯-牛頓法進(jìn)行迭代運(yùn)算，2種迭代都可以得到滿意的結(jié)果。

2.2 模糊隸屬函數(shù)的選擇

對(duì)于式（4）、式（5）中μ(vi)的確定，本文選取了3個(gè)隸屬函數(shù)：高斯曲線隸屬函數(shù)、三角形隸屬函數(shù)和鐘形隸屬函數(shù)（如圖1～圖3所示）。

圖1 高斯隸屬函數(shù)

圖2 三角形隸屬函數(shù)

圖3 鐘形隸屬函數(shù)

1）高斯隸屬函數(shù)，其表達(dá)式為：

2）三角形隸屬函數(shù)，其表達(dá)式為：

3）鐘形隸屬函數(shù)，其表達(dá)式為：

其中，定義域由向量x確定，曲線形狀由參數(shù)σ、a、b、c確定。

隸屬函數(shù)曲線形狀較尖，則敏感性和快速性好，但穩(wěn)定性較弱；形狀平緩，敏感性和快速性差，但可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。曲線型隸屬函數(shù)與概率分布函數(shù)接近，有較好的準(zhǔn)確性，直線型的隸屬函數(shù)準(zhǔn)確性較差，但計(jì)算簡(jiǎn)單快速[10]。在以上3種模糊隸屬函數(shù)中，三角形隸屬函數(shù)既有較高的敏感性和快速性，也具有計(jì)算簡(jiǎn)單、快速的特點(diǎn)，是一種比較實(shí)用的隸屬函數(shù)。

在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，事先并不清楚觀測(cè)值是否服從正態(tài)分布，這樣，在判斷數(shù)據(jù)是“正態(tài)分布”或“非正態(tài)分布”過程中帶有一定的模糊性。因此，可以利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)隸屬度的計(jì)算公式進(jìn)行區(qū)分，建立以該隸屬度為權(quán)重的參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)模型。該模型通過隸屬度加權(quán)來削弱個(gè)別粗差污染數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響，從而達(dá)到提高參數(shù)估計(jì)穩(wěn)健性的目的。

由于基于模糊隸屬函數(shù)的參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)兼有最小二乘估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，所以，當(dāng)觀測(cè)值服從正態(tài)分布時(shí)，該模型和最小二乘估計(jì)一樣，是未知參數(shù)的最優(yōu)無偏估計(jì)。當(dāng)觀測(cè)值含有粗差，不服從正態(tài)分布時(shí)，該模型具有很好的抵抗粗差的能力。

3 實(shí)例應(yīng)用

針對(duì)線性與非線性模型2種情況，通過下面2個(gè)實(shí)例分別進(jìn)行計(jì)算和比較，并討論基于模糊隸屬函數(shù)的參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)的抗差性能。

3.1 線性模型

實(shí)例1：某回歸問題的自變量取值xi和觀測(cè)值yi的數(shù)據(jù)如表1，求回歸方程（本例取自文獻(xiàn)[11]中的例 1）。

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)

由表2可知，當(dāng)觀測(cè)值中不含粗差時(shí)，利用3種模糊隸屬函數(shù)進(jìn)行定權(quán)都可以取得與普通最小二乘法基本相同的結(jié)果；而當(dāng)觀測(cè)值中加入粗差（x3=4，y3=17）時(shí)，普通的等權(quán)最小二乘計(jì)算結(jié)果明顯變差（Δ=1.317 618），而其余方法結(jié)果（Δ=0.193 926、0.000 026、0.000 040）均明顯好于普通最小二乘法。

表2 計(jì)算結(jié)果

3.2 非線性模型

實(shí)例2：本例取自文獻(xiàn)[9]第32頁中的例2-1-1。已知非線性模型為L(zhǎng)i=x1eix2，其中參數(shù)x1和x2的真值為X=(5.420136187-0.25436189)T，Li的5個(gè)真值（用參數(shù)的真值X算得）和相應(yīng)的5個(gè)同精度獨(dú)立觀測(cè)值列于表3。

表3 原始數(shù)據(jù)

表4 計(jì)算結(jié)果

由表4可知，當(dāng)觀測(cè)值中不含粗差時(shí)，利用3種模糊隸屬函數(shù)進(jìn)行定權(quán)都可以取得與普通最小二乘法基本相同的結(jié)果；而當(dāng)觀測(cè)值中加入粗差（L3=8.52）時(shí)，普通的等權(quán)最小二乘計(jì)算結(jié)果明顯變差（Δ=0.330 528 681），而其余方法結(jié)果（Δ=0.047 210 225、0.003 195 524、0.003 120 442）均明顯好于普通最小二乘法。

4 結(jié) 語

當(dāng)觀測(cè)值不服從正態(tài)分布時(shí)，最小二乘法具有明顯的負(fù)面影響，穩(wěn)健估計(jì)能達(dá)到抵抗粗差的目的，卻是以犧牲最優(yōu)性為代價(jià)。另外，非線性模型參數(shù)估計(jì)進(jìn)行線性近似處理時(shí)，模型誤差會(huì)導(dǎo)致對(duì)粗差的錯(cuò)誤鑒別和定位。針對(duì)上述問題，本文使用模糊隸屬函數(shù)對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行了動(dòng)態(tài)定權(quán)。該模型通過隸屬度加權(quán)來削弱個(gè)別異常數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理前，無需考慮觀測(cè)值究竟服從什么樣的分布，也無需考慮模型本身是否為線性模型。本文以實(shí)例進(jìn)行計(jì)算分析，結(jié)果表明：①基于模糊隸屬函數(shù)的參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)是一種抗差性能良好的穩(wěn)健估計(jì)，當(dāng)觀測(cè)值服從正態(tài)分布時(shí)，能夠達(dá)到最小二乘的最優(yōu)無偏效果；當(dāng)觀測(cè)值含有粗差而不服從正態(tài)分布時(shí)，不僅能很好地抵抗粗差，而且能得到最優(yōu)效果；②基于模糊隸屬函數(shù)的參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)不但適用于線性模型，而且適用于非線性模型。

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