楊 春 峰， 路 林 華， 張 盛＊， 李 云 鵬， 陳 飆 松

（1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 運載工程與力學(xué)學(xué)部 工程力學(xué)系，遼寧 大連 116024）

0 引 言

模型修正（model updating）技術(shù)旨在獲得一個能夠重現(xiàn)所有實驗測得的模態(tài)參數(shù)的有限元模型，或者是獲得一個能夠重現(xiàn)所有測得的頻率響應(yīng)函數(shù)的模型.

有限元模型（理論模型）計算中最主要的問題是精度問題.Mottershead等［1］把有限元模型的誤差主要歸結(jié)為以下三方面：一是有限元模型的結(jié)構(gòu)誤差，這種誤差通常是由有限元建模過程中的線性化假設(shè)以及邊界條件的近似引起的；二是模型的階次誤差，這是指有限元方法將實際連續(xù)的無限維模型離散為有限維模型所帶來的誤差，離散后的有限元模型的自由度數(shù)有限而無法模擬出無限自由度的真實結(jié)構(gòu)；三是模型的參數(shù)誤差，這種誤差主要由對初始模型不精確的簡化、近似以及環(huán)境變化和生產(chǎn)制作等原因造成材料和幾何參數(shù)的不確定引起的.

結(jié)構(gòu)動力模型修正興起于20世紀(jì)70年代，常用方法有矩陣型修正法、參數(shù)型修正法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的修正方法、基于優(yōu)化設(shè)計的修正方法等.

將模型修正問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題來處理是參數(shù)型模型修正方法中比較常見的一種方法.劉繼承等［2］基于一階優(yōu)化算法，只需利用結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗的部分固有頻率，就能獲得較精確的有限元模型.郭彤等［3］采用基于特征靈敏度的優(yōu)化設(shè)計方法對潤揚長江大橋斜拉橋進行了模型修正，分析結(jié)果為大跨橋梁的結(jié)構(gòu)損傷識別和安全監(jiān)測工作提供了一定的依據(jù).鄭惠強等［4］利用Ansys中的優(yōu)化功能對TL50型橋吊結(jié)構(gòu)進行了模型修正，為之后的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動力學(xué)分析提供了切合實際的數(shù)學(xué)模型.

本文首先闡述將參數(shù)型模型修正方法轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題來求解的基本思路，然后通過桁架和Garteur算例來驗證該方法的可行性，并詳細分析介紹基于優(yōu)化的模型修正方法中模型精化、修正參數(shù)選擇、取值范圍調(diào)整等問題.

1 參數(shù)型模型修正方法

Mottershead等認(rèn)為理論模型的不精確主要一個原因便是有限元模型的參數(shù)誤差.這種誤差主要由對初始模型不精確的簡化、近似以及環(huán)境變化和生產(chǎn)制作等原因造成材料和幾何參數(shù)的不確定引起的.進一步考慮，將這種誤差定位為有限元模型中各個單元的誤差共同作用引起的［5－7］.假設(shè)實驗?zāi)Ｐ秃陀邢拊嬎隳Ｐ痛嬖谥韵玛P(guān)系：

式中：Kn、Mn分別為有限元模型第n個單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣對系統(tǒng)整體矩陣的貢獻；K＊、M＊分別為實驗測試模型對應(yīng)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣；Ne表示有限元模型單元的個數(shù)；ΔKn、ΔMn分別是有限元模型和實驗?zāi)Ｐ椭g的第n個單元的補償剛度陣、補償質(zhì)量陣，其參數(shù)αn、βn為第n個單元的剛度修正參數(shù)、質(zhì)量修正參數(shù)，可以是單元的彈性模量、密度，或者是其他量.

由式（1）可以看出，每一個單元的剛度陣和質(zhì)量陣分別只有一個修正參數(shù)，有時候可能無法準(zhǔn)確地描述單元的誤差.于是對式（1）進行改造可得［6］

式中：αnk表示第n個單元的補償剛度陣的第k個修正參數(shù)，βnk表示第n個單元的補償質(zhì)量陣的第k個修正參數(shù).

將模型修正問題轉(zhuǎn)化為一個以αnk、βnk為參數(shù)的優(yōu)化問題：

其中L、U分別指參數(shù)的下、上限.目標(biāo)函數(shù)f設(shè)定為動力分析結(jié)果的函數(shù)，如頻率相關(guān)性函數(shù)、模態(tài)相關(guān)性函數(shù).本文以頻率相關(guān)性函數(shù)

為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).其中ωi為有限元分析的第i階頻率為實驗所測得的第i階頻率.根據(jù)對不同頻率的重要性，對上式進行改造，于是其中αi為第i階頻率相關(guān)性的權(quán)重因子，其值越大，該階頻率對優(yōu)化目標(biāo)的影響越大，修正后該階頻率的精度也會越高.

模型修正的關(guān)鍵工作之一是選擇修正參數(shù).面向具體問題，應(yīng)根據(jù)有限元模型力學(xué)特性、優(yōu)化目標(biāo)、試驗結(jié)果等因素選取合適的模型參數(shù)，甚至可以說模型參數(shù)的選擇是成敗的關(guān)鍵.一般而言，有限元模型的連接剛度、主要部件的剛度／質(zhì)量、部件幾何參數(shù)都可能是被選參數(shù).

2 基于SiPESC.OPT的模型修正方法的實現(xiàn)

SiPESC.OPT［8］是大連理工大學(xué)工程力學(xué)系自主研發(fā)的一個開放的通用優(yōu)化問題求解軟件，用于求解單目標(biāo)或多目標(biāo)、連續(xù)設(shè)計變量和離散設(shè)計變量、線性或非線性的大規(guī)模復(fù)雜優(yōu)化問題.SiPESC.OPT包含有試驗設(shè)計、近似模型模擬、靈敏度分析、子系統(tǒng)集成、文本文件解析等多種先進功能模塊.它包含BFGS、SLP、SQP、GA等多種業(yè)界公認(rèn)的成熟優(yōu)化算法；提供均勻試驗設(shè)計、正交試驗設(shè)計、中心復(fù)合試驗設(shè)計、析因試驗設(shè)計等試驗設(shè)計方法；響應(yīng)面法、多二次徑向基函數(shù)、高斯徑向基函數(shù)、逆多二次徑向基函數(shù)等近似模型擬合方法.該軟件一個特色功能是支持腳本語言（JavaScript）功能，可通過腳本集成外部軟件（如結(jié)構(gòu)有限元分析軟件），完成復(fù)雜問題的集成計算與優(yōu)化.

通過編寫SiPESC.OPT的腳本文件，實現(xiàn)了優(yōu)化算法和商用軟件的集成.其優(yōu)化流程如圖1所示，所有的環(huán)節(jié)都是在腳本的控制下進行的.

圖1 模型修正流程圖Fig.1 Flow chart of model updating

主要步驟1 集成計算軟件.調(diào)用有限元軟件，如Ansys，讀取參數(shù)化模型文件進行建模分析計算并生成結(jié)果文件，腳本代碼如下：

var programe＝″＼″C：／Program Files／ANSYS Inc／v121／ansys／bin／intel／ansys 121.exe＼″－b－i E：／ansys／GARTEUR（4）／3stepGarteur.txt－o output.txt－dir e：／ansys／GARTEUR（4）″

process＝new Process；

process.execute（programe）；

3stepGarteur.txt為Ansys參數(shù)化模型文件，其中采用了APDL參數(shù)建模功能.針對不同的商用軟件集成，均可參照上述步驟進行，只需進行腳本代碼的修改即可.

主要步驟2 導(dǎo)入結(jié)果及修改計算參數(shù).通過腳本語言讀取有限元分析結(jié)果，以及修改計算參數(shù)，實現(xiàn)商業(yè)軟件計算的輸入輸出的控制.文件和修改修正參數(shù)的腳本代碼如下：

parser＝new FileParser；

parser.open（″E：／ansys／GARTEUR（4）／modefile＿ansys.txt″）；

var obj1＝parseFloat（parser.retrieveString（760，774））；

var link2H＝ theModel.getVariable（″link2H″）；

parser＝new FileParser；

parser.open（″E：／ansys／GARTEUR（4）／3stepGarteur.txt″）；

parser.replaceString（103，111，link2H）；

parser.close（）；

其中 modefile＿ansys.txt為結(jié)果文件，obj1為結(jié)果文件中的某階頻率，link2H為參數(shù)化模型文件中的一個修正參數(shù).

主要步驟3 設(shè)置優(yōu)化算法.如本文采用的GA（遺傳）算法，其設(shè)置如下：

GA.setMINMAX（－1）；

GA.setGENERATION（200）；

GA.setPOPULATIONSIZE（60）；

GA.setMUTATIONPROBABILITY（0.1）；

GA.setCROSSOVERPROBABILITY（0.8）；

var Solver＝ GA ；

若需選擇其他算法，只需修改這部分代碼即可.

3 基于優(yōu)化的模型修正算例

按照上述方法，本文完成了桁架結(jié)構(gòu)和Garteur飛機模型兩個模型修正算例.前者主要是用來驗證基于SiPESC.OPT的結(jié)構(gòu)動力模型修正方法的可行性，后者則進一步分析研究了模型修正中模型精化、參數(shù)選擇、靈敏度分析等過程.

3.1 桁架算例

如圖2所示，該桁架結(jié)構(gòu)有8個節(jié)點，13個單元.其中1、8號節(jié)點固定.橫截面積均為5.0×10－5m2，彈性模量為20.7GPa，目標(biāo)密度為7.8×103kg／m3，泊松比為0.3，垂直和水平方向的桿長2m.

圖2 桁架結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Truss structure

圖3 部分腳本代碼Fig.3 Part of script code

表1 桁架修正結(jié)果Tab.1 Updating result of truss structure

結(jié)果表明，當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)值收斂以后，修正參數(shù)的修正結(jié)果與目標(biāo)值的平均誤差降為了0.087%，很好地完成了對有限元計算模型的修正，說明將模型修正問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題來處理是一種可行的方法，其中關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是提取正確的優(yōu)化模型.

3.2 Garteur飛機模型算例

Garteur［9］飛機模型是具有12個成員的歐洲航空科技研究組織結(jié)構(gòu)與材料工作組建立的一個典型的標(biāo)準(zhǔn)飛機模型，如圖4、5所示.該模型具有真實飛機高柔度、模態(tài)頻率低且密集的特點，寬2.0m，長1.5m，由硬質(zhì)鋁材通過螺栓連接而成，目前已經(jīng)被該組織設(shè)為評估模型修正技術(shù)與實驗分析技術(shù)的基準(zhǔn)模型.國內(nèi)外很多學(xué)者和單位也對此模型進行了大量的實驗分析，并以此展開模型修正的研究.G ge等［10］把誤差定位為機身與機翼連接處、機身與尾翼連接處，并以此為重點對模型進行修正.丁繼鋒等［11］提出了模型修正的三步策略，并對Garteur飛機模型進行修正，取得了很好的精度.王彬文等［12］對Garteur飛機模型進行實驗，結(jié)合修正參數(shù)運用參數(shù)優(yōu)化的手段修正了有限元模型，使仿真結(jié)果和實驗結(jié)果取得很好的一致性.李偉明［5］根據(jù)經(jīng)驗選取了建模中材料參數(shù)不確定的5個連接部位及其附近部位共26個單元作為待修正單元，將每個單元的彈性模量和密度作為修正參數(shù)對模型進行修正.

一般Garteur飛機修正算例中都采用彈簧單元和剛性單元來模擬飛機模型的螺栓連接部分，本文用彈性體單元來模擬模型中的連接部分.修正過程中考慮了實驗溫度對模型材料的影響以及螺栓連接的特殊性，采用循序漸進的方法逐步精化和修正有限元模型.

將Garteur飛機模型算例分為三步來進行.第一步針對簡化的有限元模型進行修正，初步定位有限元模型誤差產(chǎn)生的原因.第二步是在第一步修正信息的基礎(chǔ)上，建立精細的有限元模型，增加新的修正參數(shù)，調(diào)整修正參數(shù)的取值范圍，然后對模型進行修正.第三步考慮到過多的修正變量不僅會降低模型修正的效率，還會影響優(yōu)化算法本身對全局最優(yōu)解的逼近，于是通過靈敏度分析進一步縮減參與修正的變量，并且在考慮螺栓連接特殊性的基礎(chǔ)上進一步調(diào)整部分修正變量的取值范圍.

3.2.1 Garteur飛機簡化模型的修正 首先通過Ansys建立Garteur飛機簡化的有限元模型，采用彈性體單元來模擬Garteur飛機的連接處，如圖5所示.整個模型可以分為6部分：機身、水平機翼和4處連接.

圖4 Garteur飛機模型Fig.4 Garteur plane model

圖5 簡化模型及其連接處Fig.5 Simplified model and details connections

Garteur飛機模型是由鋁合金板在螺栓的作用下連接生成的.鋁合金板的密度和彈性模量會因?qū)嶒灉囟群鸵?guī)格的不同而不同，故將其列為修正變量.模型連接處是由螺栓和鋁板共同組成的，在有限元中由彈性體單元來模擬，此處的誤差是整體誤差中最重要的一部分，故將其也列為修正變量.由于無法確認(rèn)其精確的修正范圍，在初步修正中所有的修正變量都定義在一個很大的范圍內(nèi)，密度的取值范圍為1.0×103～5.0×103kg／m3，彈性模量的取值范圍為10～500GPa.以作為目標(biāo)函數(shù)，其中ωi表示有限元分析中的第i階頻率表示西悉尼大學(xué)（UWS）實驗結(jié)果［12］中的第i階頻率.采用遺傳算法對模型進行修正，修正結(jié)果如表2所示.

由表2可以發(fā)現(xiàn)，修正后的有限元模型的計算結(jié)果和實驗結(jié)果的平均誤差為3.52%.該模型不足以進一步提高結(jié)果的精準(zhǔn)度，必須在此基礎(chǔ)上進一步精化有限元模型.

表2 簡化模型的修正結(jié)果Tab.2 Updating results of simplified model

3.2.2 Garteur精化模型的修正 在簡化模型進行修正和結(jié)果分析的基礎(chǔ)上進一步精化有限元模型，將機身機翼連接處分成了上中下三部分，將機身尾翼連接處分成了前后兩部分，尾翼上方連接處分成了上下兩部分，如圖6所示.整個模型可以分為10部分，把每一部分的彈性模量和密度作為模型修正參數(shù).

圖6 精化Garteur模型及其連接處Fig.6 Fine Garteur model and details connections

鋁合金板和螺栓的密度及彈性模量會因?qū)嶒灉囟群鸵?guī)格的不同而不同.鋁合金板其密度大多分布在2.5×103～3.0×103kg／m3，其彈性模量大多分布在65～75GPa.鋼質(zhì)螺栓的密度大多分布在7.5×103～8.0×103kg／m3，彈性模量分布在190～220GPa.以此為參考重新調(diào)整修正變量的取值范圍：模型連接處體單元密度的取值范圍定為2.5×103～10.0×103kg／m3，彈性模量下限定為70GPa；模型非連接處體單元的密度取值范圍定為2.5×103～3.0×103kg／m3，彈性模量的取值范圍為 65～75GPa.以 mino＝作為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法對模型進行修正，修正結(jié)果如表3所示，平均誤差為2.58%.

表3 精化模型的修正結(jié)果Tab.3 Updating results of fine model

3.2.3 調(diào)整修正參數(shù)及其取值范圍 如前文所述，模型修正是數(shù)學(xué)上的反問題.過多的修正參數(shù)不僅會大幅度地降低模型修正效率，而且還會增加模型陷入局部最優(yōu)解的可能性.為了去除不必要的修正參數(shù)，在精化模型修正結(jié)果的基礎(chǔ)上對各修正參數(shù)進行靈敏度分析，判別各參數(shù)對模型動力分析結(jié)果的影響.去除對動力分析結(jié)果幾乎沒有影響的修正參數(shù)；去除模型中每一部分的密度參數(shù)，其數(shù)值沿用第二步的修正結(jié)果.對模型各部分的彈性模量進行靈敏度分析，各修正參數(shù)及其對模型動力分析結(jié)果的影響如表4所示.由于第一階頻率誤差較大，并且其相關(guān)參數(shù)僅僅有水平機翼的彈性模量一個，為了避免出現(xiàn)現(xiàn)有參數(shù)不足以描述第一階頻率誤差的情況，增加機身機翼連接處上部的水平尺寸為修正參數(shù).由于尾翼上方連接處上部分的彈性模量和尾翼上方連接處下部分的彈性模量對動力分析結(jié)果幾乎沒有影響，去除這兩個修正參數(shù).

表4 各修正參數(shù)對動力分析結(jié)果的影響Tab.4 The impact of updated parameters on dynamic analysis results

由于螺栓連接比較特殊，在有限元中屬于非線性問題，本文采用彈性體單元來模擬螺栓連接，其彈性模量會有較大浮動范圍，因此螺栓連接處的彈性模量的取值范圍應(yīng)為10～500GPa，以作為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法對模型進行修正.修正結(jié)果如表5所示.由表可以看出，作為目標(biāo)值的1到9階頻率的平均誤差為1.18%，僅有兩階頻率的誤差超過了1.00%，精度非常高.

為了進一步評估模型修正結(jié)果的質(zhì)量，取有限元中不參與目標(biāo)修正的第10～14階頻率與實驗結(jié)果中的第10～14階頻率進行比較，如表6所示.其平均誤差為2.20%，符合修正要求.

表5 新修正參數(shù)的修正結(jié)果Tab.5 Results based on new updated parameters

表6 未參與修正的各階頻率Tab.6 Independent frequencies

4 結(jié) 論

本文基于自主優(yōu)化軟件SiPESC.OPT，通過集成結(jié)構(gòu)有限元分析軟件，進行了結(jié)構(gòu)動力模型修正問題研究.主要思路是將模型修正問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，通過提取有效合理的優(yōu)化模型完成對有限元模型的修正.桁架和Garteur飛機的修正算例很好地驗證了該方法的可行性以及工程實用價值.

研究工作表明模型修正問題是數(shù)學(xué)上的反問題，修正過程中的不同設(shè)定，如修正參數(shù)的不同、目標(biāo)函數(shù)的不同、參數(shù)范圍的不同，都可能導(dǎo)致不同的修正結(jié)果.只有準(zhǔn)確定位誤差產(chǎn)生的原因，并提取正確的參數(shù)，嚴(yán)格控制其取值范圍，結(jié)合高性能高精度的優(yōu)化算法才能得出質(zhì)量較高的修正結(jié)果.

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