王時(shí)建 徐勇根 吉馭嬪 徐竟躍 盧宏 劉曉旭 張世昌2)?

1)(西華大學(xué)物理與化學(xué)學(xué)院,成都 610039)

2)(西南交通大學(xué)光電子學(xué)研究所,成都 610031)

(2013年1月29日收到;2013年2月26日收到修改稿)

1 引言

自由電子激光器的顯著優(yōu)點(diǎn)是其工作頻率通過(guò)調(diào)整電子束的相對(duì)論能量因子γ和搖擺器(wiggler或者undulator)的空間周期λw,實(shí)現(xiàn)連續(xù)可調(diào),覆蓋從微波至γ射線全頻段[1,2].自由電子激光的研究熱點(diǎn)之一就是利用這一優(yōu)勢(shì)在短波長(zhǎng)(含紫外、X射線、γ射線)產(chǎn)生相干輻射.其中X射線自由電子激光被譽(yù)為“革命性光子源”,可用來(lái)實(shí)現(xiàn)單分子成像[3].近年來(lái),短波長(zhǎng)自由電子激光實(shí)驗(yàn)研究實(shí)現(xiàn)突破性進(jìn)展,繼2009年美國(guó)斯坦福加速器中心(SLAC)實(shí)現(xiàn)世界上第一臺(tái)硬X射線自由電子激光(波長(zhǎng)1.5A?,)[4],日本同步輻射研究所于2011年在其LASER自由電子激光裝置上把實(shí)驗(yàn)波長(zhǎng)縮短到1.2A?[5],據(jù)最新報(bào)道,隨后又縮短到0.634A?,創(chuàng)造了波長(zhǎng)短于1A?的世界最新紀(jì)錄[6].有關(guān)短波長(zhǎng)自由電子激光的理論、實(shí)驗(yàn)及應(yīng)用研究,正在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界、技術(shù)工程界蓬勃開(kāi)展[7-15].

由于自由電子激光的工作波長(zhǎng)與電子束的相對(duì)論能量因子γ的平方成反比,因此,長(zhǎng)波長(zhǎng)(紅外至微波段)自由電子激光只需弱相對(duì)論電子束(mild-relativistic electron beam,相對(duì)論能量因子在10以下),從工程實(shí)際講,電子束的電流強(qiáng)度也就可以做得很強(qiáng)(千安培及以上量級(jí)).低能高密度電子束給長(zhǎng)波長(zhǎng)自由電子激光帶來(lái)一個(gè)很大好處,即電子的集體效應(yīng)起支配性作用,使激光場(chǎng)獲得很高增益,從而也就不需要很長(zhǎng)的束-波互作用區(qū)(通常在1 m左右);另一方面,帶來(lái)的負(fù)面影響是電子之間的排斥力很大,為避免電子束發(fā)散,需外置縱向?qū)б艌?chǎng)來(lái)聚束.這樣一來(lái),長(zhǎng)波長(zhǎng)自由電子激光器中電子在搖擺器和縱向?qū)б艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)顯得較為復(fù)雜,演繹出獨(dú)特的物理性質(zhì)[16-19].

與長(zhǎng)波長(zhǎng)情況截然不同,短波長(zhǎng)自由電子激光需要超相對(duì)論電子束(ultra-relativistic electron,電子速度十分接近光速,相對(duì)論能量因子一般在100以上),工程上能提供的電流強(qiáng)度低,激光場(chǎng)從高能低密度電子束獲得能量全靠電子的個(gè)體貢獻(xiàn),故短波長(zhǎng)自由電子激光的增益相對(duì)較低,需要很長(zhǎng)的束-波互作用區(qū)(10 m左右或更長(zhǎng)).這樣一來(lái),盡管短波長(zhǎng)自由電子激光器中電子之間的排斥力不如長(zhǎng)波長(zhǎng)自由電子激光器中那樣強(qiáng),但是電子束傳輸通道卻漫長(zhǎng)而狹窄,電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)顯得格外重要.

已有文獻(xiàn)對(duì)短波長(zhǎng)自由電子激光器的電子在搖擺器中的運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性進(jìn)行了不少研究,但大多假設(shè)電子非?？拷鼡u擺器軸線,忽略了搖擺器磁場(chǎng)橫向分布的影響;其中對(duì)電子運(yùn)動(dòng)方程中參量條件的影響研究得多,往往忽略了對(duì)運(yùn)動(dòng)初始條件影響的研究.本文就短波長(zhǎng)自由電子激光器中超相對(duì)論電子在磁場(chǎng)具有橫向分布的搖擺器中的運(yùn)動(dòng)特性,采用逐次逼近法推導(dǎo)出電子運(yùn)動(dòng)方程的解析解,指出所得結(jié)果與已有文獻(xiàn)的區(qū)別;用非線性數(shù)值計(jì)算方法模擬電子傳輸過(guò)程,提出一種防止電子橫向運(yùn)動(dòng)發(fā)散的方法;借助科爾莫戈羅夫熵(Kolmogorov entropy)討論電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.本文所得研究結(jié)果對(duì)認(rèn)識(shí)短波長(zhǎng)自由電子激光的物理特性具有一定學(xué)術(shù)意義,對(duì)短波長(zhǎng)自由電子激光工程實(shí)踐也有一定參考價(jià)值.

2 超相對(duì)論電子運(yùn)動(dòng)的解析分析

2.1 基本方程

短波長(zhǎng)自由電子激光器使用的搖擺器一般由永磁體構(gòu)成,如圖1所示.這種平面搖擺器內(nèi)部的磁場(chǎng)Bw,從麥克斯韋方程?×Bw=0解出(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]p99)：

式中kw=2π/λw,Bw和λw是搖擺器的振幅和空間周期,sinh(kwy)和cosh(kwy)分別是雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù).(1)—(3)式含有橫向變量y,反映了偏離搖擺器軸線的磁場(chǎng)實(shí)際分布.

超相對(duì)論電子的運(yùn)動(dòng)方程為

式中m0和e是電子的靜質(zhì)量和基本電量(物理常數(shù)),γ和v是運(yùn)動(dòng)電子的相對(duì)論能量因子和速度.其中,由于磁場(chǎng)力不做功,電子的能量守恒,故γ為運(yùn)動(dòng)常數(shù).即使如此,也難于從耦合方程組(1)—(4)中求解出微分方程自洽的解析解,因?yàn)?4)式中同時(shí)含有待求的未知函數(shù)和變量的三角函數(shù)及雙曲函數(shù).為此,我們用逐次逼近法來(lái)求解.利用雙曲函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式

代入(2),(3)式,得

以(kwy)為近似標(biāo)度(approximation scale),視(kwy)0,(kwy)1,(kwy)2,···為零階、一階、二階、······近似量,(7),(8)式改寫為

式中上標(biāo)分別代表?yè)u擺器磁場(chǎng)的零級(jí)近似量：

一級(jí)近似量

其他高階近似量以此類推.相應(yīng)地,電子的運(yùn)動(dòng)量也分解成對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)展開(kāi)：

圖1 短波長(zhǎng)自由電子激光器的超相對(duì)論電子在平面搖擺器中傳輸示意圖

2.2 零級(jí)近似解

由搖擺器磁場(chǎng)零級(jí)近似(11)式代入(4)式,得零級(jí)近似運(yùn)動(dòng)方程

由于超相對(duì)論電子的縱向速度非常接近光速c,(14)式可近似為

由此解出

式中C1和C2為積分常數(shù),設(shè)初始時(shí)刻代入(19),(20)式定出C1=eBw/γm0kw,C2=0,再定義搖擺器參量

于是得到定解

2.3 一級(jí)近似解

下面求解一級(jí)近似量,來(lái)修正零級(jí)近似結(jié)果,逼近真值.為此,用搖擺器磁場(chǎng)的一級(jí)近似(12)式代入運(yùn)動(dòng)方程,利用零級(jí)近似結(jié)果,經(jīng)過(guò)不太復(fù)雜的計(jì)算,可得對(duì)零級(jí)運(yùn)動(dòng)量的修正量所滿足的方程

先由(22)式代入(27)式,并考慮到超相對(duì)論電子的γ2很大,z(0)≈vz0t≈ct,得到

上式中cos(kwz(0))在0—1之間周期性變化,因z(0)≈vz0t≈ct,其時(shí)間變化周期為2π/kwc,相應(yīng)的時(shí)間變化頻率為c/λw,是一個(gè)快變化量(此處c代表真空中光速),通過(guò)對(duì)(29)式兩邊在搖擺器周期λw內(nèi)求平均值可剔除 (29)式中的快變化影響,得到令

(30)式改寫為

(32)式表明：如果v(y1)和y(1)的初始時(shí)刻值為零,則v(y1)≡0,y(1)≡0;即使初始時(shí)刻v(y1)=v(1)和y,0y(1)=y(1)均不為零.(30),(32)式也對(duì)應(yīng)周期解：0

換言之,電子在y方向的運(yùn)動(dòng),絕不會(huì)√產(chǎn)生偏離軸線的發(fā)散運(yùn)動(dòng),y(1)的空間周期λ1=γλw/K 是搖擺器周期λw的γ/K 倍,非常大.

再把(22)式代∫入(28)式,兩邊在搖擺器周期λw內(nèi)求平均值剔除快速變化影響,得到

如果v(z1)和z(1)的初始時(shí)刻值為零,則v(z1)≡0,z(1)≡0;即使初始時(shí)刻v(z1)=v(z1,0)和z(1)=z(01)的值均不為零.(34)式解出一級(jí)修正值

由于超相對(duì)論電子的縱向速度非常接近光速,其縱向運(yùn)動(dòng)(z≈vz0t)起支配作用,故(35)和(36)式所示修正值不會(huì)對(duì)電子的縱向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響.

最后求解(26)式.如上分析,在y方向和z方向的修正值y(1),v(y1),z(1)對(duì)超相對(duì)論電子的運(yùn)動(dòng)影響甚微,故可視sin(kwz(1))≈0,v(y1)y(1)≈0,從而(26)式簡(jiǎn)化為

如果v(x1)和x(1)的初始時(shí)刻值為零,則v(x1)≡0,x(1)≡0;如果初始時(shí)刻v(x1)=v(x1,0)和x(1)=x(01)均不為零,(37)式給出線性一級(jí)修正值

2.4 物理意義

以上解析結(jié)果給出重要信息：電子運(yùn)動(dòng)在y方向會(huì)出現(xiàn)振幅微小的周期性運(yùn)動(dòng),但不可能產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性發(fā)散;在z方向以接近光速的初速度運(yùn)動(dòng),也不會(huì)對(duì)電子的傳輸產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響;但是,(23)式指明,電子在x方向的運(yùn)動(dòng)是(23)式右邊第一項(xiàng)所示的周期性搖擺運(yùn)動(dòng)和第二項(xiàng)所示的線性漂移運(yùn)動(dòng)的疊加,后者使電子在x方向持續(xù)產(chǎn)生偏離搖擺器軸線的橫向發(fā)散.這一結(jié)果與先前的理論分析有很大不同：以前的解析分析強(qiáng)調(diào)搖擺器對(duì)電子周期性調(diào)制作用,忽略了搖擺器磁場(chǎng)引起的橫向發(fā)散副作用(例如文獻(xiàn)[20]第(16)式中僅含周期性變化項(xiàng),沒(méi)有發(fā)散項(xiàng)).該結(jié)果為下一節(jié)的非線性數(shù)值模擬所證實(shí).

3 傳輸過(guò)程的非線性數(shù)值模擬分析

本節(jié)非線性數(shù)值模擬搖擺器磁場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的調(diào)制和發(fā)散雙重作用,采用四階龍格-庫(kù)塔法數(shù)值求解耦合微分方程組(1)—(4)式,用Fortran語(yǔ)言編寫程序.在數(shù)值計(jì)算中,以搖擺器周期的10-6量級(jí)為迭代步長(zhǎng),精細(xì)模擬電子在搖擺器中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在模擬計(jì)算中,按慣例將自變量時(shí)間t通過(guò)關(guān)系式d t=v-z1d z變換成z.算例參數(shù)取自最近美國(guó)布魯海文國(guó)家實(shí)驗(yàn)室(Brookhaven National Laboratory)的實(shí)驗(yàn)[14,21]：搖擺器空間周期λw=3.89 cm,幅值Bw=3028 G,長(zhǎng)度L=1000 cm,電子束相對(duì)論能量因子γ=201,束流Ib=350 A,束斑Rb=0.015 cm.

圖2 搖擺器中超相對(duì)論電子在x方向的位置坐標(biāo)沿縱向的演化曲線 搖擺器空間周期λw=3.89 cm,幅值B w=3028 G,長(zhǎng)度L=1000 cm,電子束相對(duì)論能量因子γ=201,束流I b=350 A,束斑R b=0.015 cm;電子的初始值為：βx0=vx0/c=0,βy0=vy0/c=0,x0=0,y0=0,圖(b)示出在靠入口1 m內(nèi)的細(xì)節(jié)

圖2 (a)示出電子在x方向的運(yùn)動(dòng)沿縱向的演化情況,圖2(b)示出前1 m的細(xì)節(jié),此處假設(shè)初始時(shí)刻電子處在搖擺器軸線上(x0=0,y0=0),且無(wú)橫向速度 (βx0=vx0/c=0,βy0=vy0/c=0).圖中清楚顯示電子的周期性運(yùn)動(dòng)上疊加了橫向漂移運(yùn)動(dòng).大約在z=550 cm處橫向位置就開(kāi)始超出束斑范圍(0.015 cm),在出口處橫向位置達(dá)0.075 cm,已嚴(yán)重超出束斑范圍,印證了上節(jié)解析分析所得電子在x方向會(huì)產(chǎn)生發(fā)散的結(jié)論.電子在y方向的運(yùn)動(dòng)沿縱向的演化情況如圖3所示,與上節(jié)解析結(jié)果一致,的確電子在y方向的位移非常微小,在10-19cm量級(jí).

圖3 搖擺器中超相對(duì)論電子在y方向的位置坐標(biāo)沿縱向的演化曲線(參數(shù)及初始條件與圖2相同)

在短波長(zhǎng)自由電子激光器中,為防止電子束橫向發(fā)散,通常采用外置的磁場(chǎng)聚焦系統(tǒng)(quadrupole magnets/dipole magnets,例如文獻(xiàn)[22]).下面的模擬結(jié)果顯示,在沒(méi)有外置的磁場(chǎng)聚焦系統(tǒng)情況下,通過(guò)恰當(dāng)選取電子的初始速度,仍然可以有效地防止電子束橫向發(fā)散.為此,我們采用與圖2和圖3完全相同的計(jì)算條件,只是對(duì)x方向速度取不同的初始值,來(lái)比較其對(duì)電子傳輸?shù)挠绊?如圖4所示,當(dāng)選取vx的初始值vx0=-2.1×103m/s(即βx0=vx0/c=-7×10-6),電子的離軸漂移被矯正,在長(zhǎng)達(dá)10 m的傳輸距離中,其橫向位置的范圍始終不超過(guò)0.09 mm.相應(yīng)的y方向位移仍然保持在10-19cm量級(jí)(限于篇幅未給出其曲線圖).

圖4 電子的x方向速度初始值對(duì)電子在搖擺器中傳輸?shù)挠绊?除電子的x方向速度初始值取圖中所示值外,所用參數(shù)及其余初始條件與圖2和圖3完全相同)

4 超相對(duì)論電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

科爾莫戈羅夫熵是一種研究微分方程解的穩(wěn)定性的常用方法.具體到本文的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究,就是從運(yùn)動(dòng)方程求解出電子的位形x,y,z和速度vx,vy,vz,在六維相空間(x,y,z,vx,vy,vz)框架跟蹤計(jì)算初始條件具有微小差別的兩條相軌道之間的距離

對(duì)應(yīng)的極限即為科爾莫戈羅夫熵下標(biāo)1和2分別代表具有初始條件1和初始條件2的兩個(gè)電子的位形及速度量,|d0|=|d(t=0)|是這兩個(gè)電子的相軌道之間的初始距離.顯然,k＞0表明所考察的兩條相軌道之間的距離相對(duì)其初始距離成指數(shù)增加,運(yùn)動(dòng)處于不穩(wěn)定狀態(tài);k＜0表明所考察的兩條相軌道之間的距離比起其初始距離成指數(shù)減小,運(yùn)動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài);k=0則表明所考察的兩條相軌道之間的距離保持其初始距離值,運(yùn)動(dòng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界狀態(tài).在數(shù)值計(jì)算時(shí),可由恒等式 d t/d z=1/vz通過(guò)t與z變量互易把z換成自變量[19,23].本文取|d0|=10-7數(shù).量級(jí)等效于|d0|→0.設(shè)搖擺器有限長(zhǎng)度L=Mh=vˉz0t,vˉz0是電子的平均縱向速度,M和h為數(shù)值計(jì)算的迭代次數(shù)和迭代步長(zhǎng).本文算例,L=10 m,取M=109等效于t→∞,相應(yīng)的迭代步長(zhǎng)為h=L/M=10 m/109=10-6cm,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于搖擺器周期3.89 cm,精細(xì)地描述了相軌道的演化.

圖5 初始值vx0=-2.1×103 m/s(即βx0=vx0/c=-7×10-6)和vx0=0(即βx0=vx0/c=0)兩種運(yùn)動(dòng)情況的科爾莫戈羅夫熵(計(jì)算參數(shù)與圖4中完全相同)

圖5 給出對(duì)應(yīng)圖4中vx的初始值vx0=-2.1×103m/s(即 βx0=vx0/c=-7×10-6)和 vx0=0(即βx0=vx0/c=0)兩種運(yùn)動(dòng)情況的科爾莫戈羅夫熵隨迭代次數(shù)的演化曲線.從圖中可以看出,前者的科爾莫戈羅夫熵小于零,比后者更小,表明選取初始值vx0=-2.1×103m/s不僅有效地抑制了電子運(yùn)動(dòng)的橫向發(fā)散,而且運(yùn)動(dòng)具有很好的穩(wěn)定性,電子可以在長(zhǎng)達(dá)10 m的搖擺器中穩(wěn)定傳輸.

5 結(jié)論

本文從解析分析、非線性模擬、穩(wěn)定性分析三個(gè)方面,較全面地研究了短波長(zhǎng)自由電子激光器的超相對(duì)論電子,在具有橫向分布的平面搖擺器中的運(yùn)動(dòng)特性.結(jié)果表明：

1)搖擺器磁場(chǎng)迫使電子做周期性搖擺運(yùn)動(dòng)的同時(shí),還給電子疊加了偏離搖擺器軸線的橫向漂移運(yùn)動(dòng);在沒(méi)有外置的磁場(chǎng)聚焦系統(tǒng)情況下,漂移運(yùn)動(dòng)使電子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生橫向發(fā)散,不能在搖擺器中正常傳輸;

2)恰當(dāng)?shù)剡x取電子的初始橫向速度值,可以有效地抑制搖擺器疊加給電子的偏離搖擺器軸線的橫向漂移運(yùn)動(dòng),電子可以在沒(méi)有外置的磁場(chǎng)聚焦系統(tǒng)情況下,在極為狹長(zhǎng)(例如長(zhǎng)10 m,窄0.09 mm)的通道正常傳輸,而且其運(yùn)動(dòng)的科爾莫戈羅夫熵小于零,具有很好的穩(wěn)定性.

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