王飛魏兵

(西安電子科技大學物理系,西安 710071)

(2012年11月26日收到;2013年1月22日收到修改稿)

1 引言

鐵氧體材料為磁色散介質(zhì),在有外加磁場時又是磁各向異性介質(zhì).近年來,對其物理特性的研究已成為熱點之一,如文獻[1,2]分別研究了磁化鐵氧體材料的自旋電流及自旋極化電流的影響和作用.磁化鐵氧體材料的磁導系數(shù)是頻率的張量函數(shù),對含有磁化鐵氧體目標的電磁散射進行嚴格三維分析是非常困難的.本文主要研究應用于磁各向異性色散介質(zhì)的電磁散射的時域有限差分(finite difference time domain,FDTD)算法.文獻中處理各向同性色散介質(zhì)電磁問題的FDTD方法有：遞歸卷積(recursive convolution,RC)法[3]、分段線性遞歸卷積(piecewise linear recursive convolution,PLRC)法[4]、電流密度卷積(current density convolution,JEC)法[5]、分段線性電流密度遞歸卷積(piecewise linear current density recursive convolution,PLJERC)法[6,7]、輔助方程 (auxiliary differential equation,ADE)法[8,9]、Z 變換 (Z-transform,ZT)法[10-12]、移位算子(shift operator,SO)法[13]和半解析遞推卷積(semianalytical recursive convolution,SARC)法[14]等.外加磁場時鐵氧體介質(zhì)具有磁各向異性色散特性,因此對磁化鐵氧體問題,需要將上述算法進行推廣.Chen等[15,16]計算分析了處于自由空間和波導內(nèi)的飽和磁化鐵氧體目標的環(huán)流特征.楊利霞等分別采用Pade′-FDTD法[17],RC-FDTD法[18]和直接差分法[19]計算了飽和磁化鐵氧體球的電磁散射.

Z變換法是數(shù)字信號處理中處理離散信號的一種常用的變換方法[20].在FDTD法中運用Z變換的優(yōu)點是將與頻率相關的媒質(zhì)的介電常數(shù)由頻域變換到Z域,把時域中的卷積積分轉(zhuǎn)化為Z域內(nèi)的乘法,可以方便地求出媒質(zhì)的差分方程,避免了時域卷積運算.本文根據(jù)飽和磁化鐵氧體介質(zhì)電磁特性,將Z變換法推廣應用于任意磁化方向的鐵氧體目標FDTD分析.考慮到在實驗室參照系中飽和磁化鐵氧體磁導系數(shù)張量的形式和磁化方向密切相關,首先利用坐標系轉(zhuǎn)換矩陣給出實驗室系中飽和磁化鐵氧體的頻域磁化率張量,再采用部分分式展開方法通過Z變換得到磁化率張量的Z域形式,最后將飽和磁化鐵氧體的頻域磁本構關系轉(zhuǎn)換到Z域再根據(jù)移位定理轉(zhuǎn)換到離散時域,從而實現(xiàn)電磁場量B→H的迭代計算.該方法對于研究鐵氧體目標處于任意方向外磁場情況下的電磁散射問題具有應用價值.作為驗證,計算了飽和磁化鐵氧體球的后向雷達散射截面(radar scattering cross-section,RCS),所得結(jié)果與文獻[21]結(jié)果一致.理論推導及算例表明該方法是正確有效的.文中時諧因子取exp(jωt).

2 飽和磁化鐵氧體Maxwell旋度方程和頻域本構關系

飽和磁化鐵氧體介質(zhì)的Maxwell旋度方程及頻域本構關系為

其中μr(ω)是飽和磁化鐵氧體相對磁導系數(shù)張量的頻域形式.按標準Yee元胞[22]對旋度方程(1)和(2)式差分離散便可實現(xiàn)H→E→B的FDTD迭代計算,而要實現(xiàn)B→H的迭代計算則需要對頻域本構關系(3)式進行特殊處理.(3)式可以寫為另一種形式[23]

其中μ∞是無限大頻率時的相對磁導系數(shù)張量,M為磁化矢量

其中 χm(ω)為頻域磁化率張量,設 χmαβ(ω)是χm(ω)的元素 (α,β=x,y,z),有

由(3)—(5)式可知

3 頻域磁化率張量從外磁場坐標系到實驗室坐標系的轉(zhuǎn)換

各向異性介質(zhì)的本構參數(shù)與所選取的坐標系有關.飽和磁化鐵氧體的磁化率張量在外磁場坐標系 (設為 x′y′z′系)中有簡單的表達式,而電磁測量往往在實驗室坐標系(設為xyz系)下進行.下面根據(jù)外磁場系和實驗室系的轉(zhuǎn)換矩陣以及外磁場系中飽和磁化鐵氧體的相對磁導系數(shù)張量,得到實驗室系中磁化率張量的表達式.

圖 1 外磁場 (x′y′z′)系和實驗室 (xyz)系

建立外磁場直角坐標系：x′y′z′系,并令外磁場H0方向為z′軸正向,即H0=z?′H0,z?′為z′軸正向單位矢,H0是H0的大小.設外磁場H0在實驗室直角坐標系(xyz系)中的方向角為θt,φt,如圖1所示.

設 x′y′z′系中,飽和磁化鐵氧體的相對磁導系數(shù)張量為 μ′r(ω),根據(jù)文獻 [23]有

式中

上式中ω0=γH0,γ=1.76×107rad/Oe·s為旋磁比,ωm=γ4πMs,Ms為飽和磁化率,α為阻尼因子.

式可知

設μ′∞為單位矩陣,即

由 (8)—(11)式可得到 x′y′z′系中

其中

可以證明(12)式中

其中

xyz系中的 μr(ω)可由 x′y′z′系中的 μ′r(ω)通過轉(zhuǎn)換計算得到[24]

U 為x′y′z′系到 xyz系的轉(zhuǎn)換矩陣,UT是 U 的轉(zhuǎn)置矩陣,且

將(10)式代入(16)式有

即有

根據(jù)(12),(14),(16)式可知,χm(ω)的各元素也可寫成jω的有理分數(shù)形式

其中qn的值見(15)式,pαβn的值可由(15)和(19)式計算得到, 即

4 實驗室系中極化率張量的Z域形式

由上可知,χm(ω)各個元素 χmαβ(ω)可寫成jω的有理分式的真分式,可采用部分分式展開法展開為部分分式進而轉(zhuǎn)換到Z域.令

由(15),(20)式知A(jω)有兩個共軛復數(shù)單根(2單極點),即A(jω)可寫為

2個共軛復數(shù)單根為

根據(jù)部分分式展開法,χmαβ(ω)可展開為部分分式

其中系數(shù)

上式的Z域形式為

其中

設其為張量χ1和χ2的元素,在(29),(30)式中同時考慮了(24)式.

5 飽和磁化鐵氧體的Z變換——FDTD方法

飽和磁化鐵氧體頻域本構關系(4)式和磁化矢量(5)式的Z域形式為

將(29),(30)式代入(32)式并整理得

將(33)式代入(31)式并整理得

根據(jù)Z域和離散時域?qū)P系和移位定理[22],可以將以上Z域關系式過渡到離散時域,于是得到(33),(34)式對應的離散時域形式為

綜上所述,可以得到飽和磁化鐵氧體的ZTFDTD計算步驟：

1)由B,M →H,用(36)式計算;

2)由H→M,用(35)式計算;

3)由H→E→B,用旋度方程(1),(2)式的差分離散式計算;

4)回到步驟1).

6 算例驗證及數(shù)值結(jié)果

飽和磁化鐵氧體球半徑為d=1.5 cm,參數(shù)為

設x方向極化的平面高斯脈沖沿z方向入射,其中τ=34Δt和t0=0.8τ.

圖2(a)和(b)分別為該飽和磁化鐵氧體球的同極化和交叉極化后向RCS.圖中實線表示當外加磁場沿z軸正向(θt=0,φt=0)時,本文方法的計算結(jié)果,作為對比,圖中同時給出了文獻[21]的計算結(jié)果,在圖中用圓圈表示.由圖可見,兩者符合得非常好.

在圖2中同時給出了當外加磁場沿x軸正向(θt=90°,φt=90°)時該球的后向 RCS,在圖 2 中用虛線表示.由圖2(a)可見,兩種外磁場方向情形下,該鐵氧體球的同極化后向RCS在頻率小于12GHz時幾乎無差別,在更高頻率時將略有不同;而又由圖2(b)所示,該鐵氧體球的交叉極化后向RCS對外磁場方向非常敏感,在該算例的兩種外磁場方向情形下,其差別很大.

7 結(jié)論

利用坐標系轉(zhuǎn)換矩陣給出實驗室系中飽和磁化鐵氧體的頻域磁化率張量,并采用部分分式展開方法通過Z變換得到磁化率張量的Z域形式,以Z變換為橋梁將飽和磁化鐵氧體的頻域磁本構關系轉(zhuǎn)換到離散時域,實現(xiàn)了電磁場量B→H的迭代計算.從而給出了任意磁化方向鐵氧體電磁散射的ZT-FDTD算法,該方法對于研究鐵氧體目標處于任意方向外磁場情況下的電磁散射問題具有應用價值.作為驗證,計算了飽和磁化鐵氧體球的后向RCS,所得結(jié)果與文獻結(jié)果一致.理論推導及算例表明該方法正確可行,推導簡單,概念簡明.

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