徐勇根 王時建 吉馭嬪 徐竟躍 盧宏 劉曉旭 張世昌2)?

1)(西華大學(xué)物理與化學(xué)學(xué)院物理系,成都 610039)

2)(西南交通大學(xué)光電子學(xué)研究所,成都 610031)

(2012年10月9日收到;2012年11月7日收到修改稿)

1 引言

與普通激光器不同,自由電子激光器的工作頻率主要由電子束的相對論能量因子γ和搖擺器的空間周期λw決定;因此,通過控制某些工作參量,從而改變γ和λw值,實(shí)現(xiàn)頻率連續(xù)可調(diào),原則上可以覆蓋從微波至γ射線全波段[1,2].自由電子激光的研究熱點(diǎn)之一,就是利用這一優(yōu)勢向普通高功率有源器件(千瓦及以上)難于達(dá)到的頻譜高、低兩極發(fā)展.目前,在頻譜的高端即短波長方面,2009年美國斯坦福加速器中心(SLAC)實(shí)現(xiàn)世界上第一臺硬X射線自由電子激光(波長0.15 nm)[3];2011年2月,日本同步輻射研究所的LASER自由電子激光裝置,實(shí)驗(yàn)波長縮短到0.12 nm[4],據(jù)2011年8月在上海召開的第33屆國際自由電子激光大會報(bào)道,2011年6月該裝置受激出光,創(chuàng)造了波長短于0.1 nm的世界最新記錄.在頻譜的低端即長波長方面,國內(nèi)外均早已實(shí)現(xiàn)兆瓦級毫米波、太赫茲波自由電子激光[5-8].有關(guān)自由電子產(chǎn)生相干短波長及長波長電磁輻射的研究在不斷開展[9-14].

短波長自由電子激光器采用高能量低密度相對論電子束,屬于康普頓型,而長波長自由電子激光器則采用低能量高密度相對論電子束,屬于拉曼型.由于拉曼型自由電子激光器使用的電子束的流密度高、能量低,為防止電子束在輸運(yùn)過程中發(fā)散,需外加與電子束平行的縱向靜磁場來引導(dǎo)電子束輸運(yùn).早期通常采用導(dǎo)引磁場的方向與電子縱向運(yùn)動同向,即正向?qū)б艌?后來,美國麻省理工學(xué)院的Conde和Bekefi[6]實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)導(dǎo)引磁場方向與電子束縱向運(yùn)動方向相反,所獲得的輸出功率和效率比同向情況高得多.Conde-Bekefi實(shí)驗(yàn)揭示了一種新機(jī)制,拉曼型自由電子激光器由此分成正向?qū)б艌龊头聪驅(qū)б艌鰞纱箢?其理論和實(shí)驗(yàn)研究持續(xù)至今.2011年,俄羅斯杜布納聯(lián)合核研究所(JINR)和俄羅斯科學(xué)院應(yīng)用物理研究所(IAP)用反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す庋b置,開展了高功率射頻電磁波對銅質(zhì)諧振腔表面性能衰退的應(yīng)用研究[15,16].

無論哪種類型的自由電子激光器,由于其激光增益所需的能量由相對論電子束的動能轉(zhuǎn)化而來,因此電子的運(yùn)動狀態(tài)及其運(yùn)動穩(wěn)定性對器件的效率和性能至關(guān)重要[1,2].影響拉曼型自由電子激光器中電子運(yùn)動穩(wěn)定性的諸因素中,搖擺器初始段的絕熱壓縮磁場以及電子束自身場的作用,顯得尤為突出.其中,絕熱壓縮磁場關(guān)系到電子初始階段的運(yùn)動及電子束的成型,而高密度低能量束流的自身場所產(chǎn)生的電場力和磁場力也會影響電子束的輸運(yùn).

已有文獻(xiàn)對拉曼型自由電子激光器中電子的運(yùn)動穩(wěn)定性進(jìn)行了不少研究,其中Chen和Davidson[17,18]以及 Spindler和 Renz[19]數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),正向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦须娮邮陨韴鰰?dǎo)致電子的龐加萊截面圖出現(xiàn)混沌;Zhang等[20,21]則發(fā)現(xiàn),反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦须娮邮陨韴瞿苁闺娮舆\(yùn)動的封閉相軌道變窄,從而電子的速度離散變小.但是,這些文獻(xiàn)或者針對正向?qū)б艌鲱愋?或者針對反向?qū)б艌鲱愋?缺乏對這兩種類型的對比研究.鑒于此,本文對拉曼型正向?qū)б艌鲱惡头聪驅(qū)б艌鲱愖杂呻娮蛹す馄髦衅胶鈶B(tài)電子的運(yùn)動穩(wěn)定性進(jìn)行比較研究.本文所得研究結(jié)果對認(rèn)識自由電子激光物理特性具有一定學(xué)術(shù)意義,對自由電子激光工程實(shí)踐具有一定參考價值.

2 數(shù)理模型

研究自由電子激光器中電子運(yùn)動穩(wěn)定性,最早采用并沿用至今的方法是計(jì)算電子相軌道的龐加萊截面圖(Poincare′surface-of-section map)[17-22].這種方法的優(yōu)點(diǎn)是圖像反映穩(wěn)定性很直觀、形象;其不足之處是當(dāng)作用在電子的電磁場稍復(fù)雜,就不容易找到恰當(dāng)?shù)墓茴D函數(shù)變換母函數(shù)來使正則方程組約化,特別是考慮搖擺器初始段的絕熱壓縮磁場后,就更難找到足夠多的初積分使正則方程組約化(這也是采用龐加萊截面圖方法的論文從來沒有涉及絕熱壓縮場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性影響的原因).

科爾莫戈羅夫熵(Kolmogorov entropy,又名metric entropy或者Lyapunov exponent,以下簡稱K熵)是研究微分方程解的穩(wěn)定性的常用方法之一[23,24].具體用到運(yùn)動的穩(wěn)定性,就是通過跟蹤計(jì)算初始條件具有微小差別的兩條相軌道之間的距離演化來判斷穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[25]率先采用K熵方法研究了反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦须娮舆\(yùn)動穩(wěn)定性;隨后,該方法被應(yīng)用到康普頓型自放大自發(fā)發(fā)射(SASE)自由電子激光器中電子運(yùn)動穩(wěn)定性的研究[26],以及離子通道電磁波搖擺器自由電子激光器中電子運(yùn)動穩(wěn)定性的研究[27].相對于龐加萊截面圖方法,K熵方法的計(jì)算量更大,但其長處是無論作用于電子的電磁場多么復(fù)雜,都可以通過數(shù)值計(jì)算求解其運(yùn)動穩(wěn)定性.

相對論自由電子在任意復(fù)雜電磁場E和B作用下的六維相軌道,可從下面通用的六個歸一化無量綱一階常微分方程組求解[2,25,26]：

式中電子速度、矢徑、作用于電子的電磁場的歸一化表達(dá)式為

取極限就得到K熵

本文考慮作用在電子上的電磁場E和B,包括縱向?qū)б艌鯞0,三維螺旋搖擺器磁場Bw,電子束自身磁場Bs和電場Es,其中：

式中︵ez是縱向單位矢量,B0是其幅值(B0＞0與B0＜0分別代表正向與反向?qū)б艌?.考慮到測試電子的運(yùn)動軌道有可能逸出電子束區(qū)域,本文數(shù)值計(jì)算較之以前文獻(xiàn)中的電子束自身場做了改進(jìn),采用下面分段函數(shù)全面反映束內(nèi)、束外的自身場[28]：

式中︵eR和︵eφ分別是圓柱坐標(biāo)系的徑向和角向單位矢量,參數(shù)Rb和nb是電子束的平均半徑和體密度.對于三維螺旋搖擺器磁場

本文充分考慮搖擺器絕熱壓縮段的影響,其振幅函數(shù)為

式中Fadia(z)是搖擺器磁場在絕熱壓縮段0≤kwz≤2πNw內(nèi)的變化函數(shù),Nw代表絕熱壓縮周期數(shù)目,參數(shù)Bw0是搖擺器的幅值,I0(kwR)和I1(kwR)分別為零階和一階變型貝塞爾函數(shù).本文以Conde-Bekefi實(shí)驗(yàn)[6]為研究對象,故我們用線性擬合方法具體模擬出了該裝置所公布的絕熱壓縮磁場分布曲線(文獻(xiàn)[29]圖4)：

在數(shù)值計(jì)算中,本文以搖擺器周期的10-6量級為迭代步長,精細(xì)模擬電子在搖擺器中的運(yùn)動狀態(tài).

3 搖擺器絕熱壓縮磁場對運(yùn)動穩(wěn)定性的影響

Conde和Bekefi[6]實(shí)驗(yàn)參數(shù)為：搖擺器的長度L=200 cm,波長λw=3.18 cm,絕熱壓縮周期數(shù)目Nw=6,電子束的半徑Rb=0.2540 cm,相對論能量因子γ=2.4677,流強(qiáng)I=300 A,正向?qū)б艌鯞0=4060 G(1 G=10-4T)時搖擺器幅值Bw0=630 G.圖1給出有絕熱壓縮場和無絕熱壓縮場這兩種情況下,初始位置為R0=0.125 cm的測試電子,其k值隨迭代次數(shù)的演化曲線.從圖中可見,在開始階段,無絕熱壓縮場的曲線波動較大,但當(dāng)?shù)螖?shù)足夠大,兩者差別越來越小,最后趨向相同k值,即K熵相同.這就表明,在正向?qū)б艌銮闆r下,搖擺器絕熱壓縮場對電子的運(yùn)動穩(wěn)定性無實(shí)質(zhì)影響.

圖1 正向?qū)б艌鯞0=4060 G,B w0=630 G,搖擺器絕熱壓縮場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性K熵的影響 曲線1代表有絕熱壓縮場,曲線2代表無絕熱壓縮場

Conde和Bekefi實(shí)驗(yàn)采用反向?qū)б艌鯞0=-10900 G時,所用的搖擺器磁場幅值Bw0=1470 G[6],相應(yīng)K熵的曲線演化如圖2所示.顯而易見,在反向?qū)б艌銮闆r下,搖擺器絕熱壓縮場對電子的運(yùn)動穩(wěn)定性也無實(shí)質(zhì)影響.

圖2 反向?qū)б艌鯞0=-10900 G,B w0=1470 G,搖擺器絕熱壓縮場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性K熵的影響 曲線1代表有絕熱壓縮場,曲線2代表無絕熱壓縮場

應(yīng)當(dāng)指出：電子的運(yùn)動和運(yùn)動穩(wěn)定性是不同的概念,從數(shù)學(xué)上講,前者對應(yīng)運(yùn)動微分方程的解,后者對應(yīng)該解的穩(wěn)定性.上面得到的搖擺器絕熱壓縮場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性無實(shí)質(zhì)影響結(jié)論,并不意味著對電子運(yùn)動無實(shí)質(zhì)影響.以正向?qū)б艌銮闆r為例,圖3給出了圖1對應(yīng)的電子運(yùn)動軌跡在橫平面的投影,從中可以清楚看到：比起有絕熱壓縮場情況,無絕熱壓縮場時電子軌跡散布在寬得多的范圍,其瞬時拉莫爾半徑要大得多,瞬時導(dǎo)引中心的進(jìn)動也更嚴(yán)重.這是因?yàn)椋河捎跊]有絕熱壓縮磁場,電子進(jìn)入搖擺器時立刻受到一個較大的洛倫茲力,電子的橫向速度迅即陡增,運(yùn)動出現(xiàn)嚴(yán)重的漲落;而有(15)式所示的絕熱壓縮磁場時,電子進(jìn)入搖擺器受到的洛倫茲力由零逐漸增加,其橫向速度平緩加大.由此可知,搖擺器絕熱壓縮場對單電子的運(yùn)動及整個電子束的成形有實(shí)質(zhì)性影響,它使電子平滑獲得橫向運(yùn)動,有利于電子束成形.

圖3 正向?qū)б艌鯞0=4060 G,B w0=630 G,搖擺器絕熱壓縮場對電子運(yùn)動的影響 (a)和(b)分別代表有絕熱壓縮場和無絕熱壓縮場情況下電子軌跡在橫平面的投影

4 電子束自身場對運(yùn)動穩(wěn)定性的影響

電子束由帶負(fù)電荷的流動電子組成,因此電子束會在其內(nèi)部及外部產(chǎn)生如(11),(12)式所表達(dá)的自身場,從而置身于自身場中的電子都會受到自身場產(chǎn)生的電場力和磁場力作用.拉曼型自由電子激光器的束流較強(qiáng),電子束自身場對電子的運(yùn)動穩(wěn)定性有著不可忽略的影響.

圖4給出對應(yīng)Conde和Bekefi[6]的正向?qū)б艌鰧?shí)驗(yàn)參數(shù)(B0=4060 G,Bw0=630 G,有絕熱壓縮磁場)條件下,計(jì)入和不計(jì)入電子束自身場這兩種情況,初始位置為R0=0.125 cm的測試電子,其k值隨迭代次數(shù)的演化曲線.從圖中可見,沒有自身場情況下的運(yùn)動是穩(wěn)定的(K熵小于零),有自身場情況下的運(yùn)動是不穩(wěn)定的(K熵大于零).這就表明,電子束自身場會起到破壞拉曼型正向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦须娮舆\(yùn)動穩(wěn)定性的負(fù)面作用.

但是,對于拉曼型反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄?計(jì)算結(jié)果表明電子束自身場的作用與正向?qū)б艌鲋械那闆r正好相反.對應(yīng)Conde和Bekefi的反向?qū)б艌鰧?shí)驗(yàn)參數(shù)(B0=-10900 G,Bw0=1470 G,有絕熱壓縮磁場)[6],圖5給出在計(jì)入和不計(jì)入電子束自身場這兩種情況下,初始位置為R0=0.125 cm的測試電子,其k值隨迭代次數(shù)的演化曲線.從圖5中可見,沒有自身場情況下的運(yùn)動是不穩(wěn)定的(K熵大于零),有自身場情況下的運(yùn)動是穩(wěn)定的(K熵小于零).這就表明,電子束自身場有利于拉曼型反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦须娮舆\(yùn)動穩(wěn)定性.

圖4 正向?qū)б艌鯞0=4060 G,B w0=630 G,電子束自身場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性K熵的影響 曲線1代表無自身場,曲線2代表有自身場

圖5 反向?qū)б艌鯞0=-10900 G,B w0=1470 G,電子束自身場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性K熵的影響 曲線1代表無自身場,曲線2代表有自身場

下面探討產(chǎn)生上述現(xiàn)象的物理原因.從數(shù)學(xué)物理上講,微分方程解的穩(wěn)定性是指解對初始條件的敏感性,為此我們來考察電子進(jìn)入搖擺器靠近入口處初期階段的運(yùn)動狀況.眾所周知,縱向?qū)б艌鲋阅芊乐闺娮舆\(yùn)動軌道發(fā)散而產(chǎn)生聚束作用,是因?yàn)樗c電子的橫向速度共同產(chǎn)生一個洛倫茲力,該洛倫茲力使電子在橫平面做拉莫爾運(yùn)動,把電子在橫平面的運(yùn)動軌道大致約束在瞬時拉莫爾圓軌道,穩(wěn)定了電子的運(yùn)動.如果不考慮電子束自身場,那么橫向初始速度為零的電子從縱向射入搖擺器后,其橫向速度的獲得是由搖擺器的橫向磁場與電子的縱向速度共同產(chǎn)生一個橫向的洛倫茲力來提供.由于搖擺器絕熱壓縮段的橫向磁場由零逐漸增加到一個恒定幅值Bw0(參見(14),(15)式,其中絕熱壓縮磁場分布函數(shù)一些文獻(xiàn)[30]采用解析式,因此電子在搖擺器入口附近的橫向速度也由零緩變增加.當(dāng)考慮電子束自身場,情況就大不同了,會產(chǎn)生一種附加的效應(yīng)：電子一進(jìn)入搖擺器就感受到電子束自身產(chǎn)生的徑向靜電場(參見(11)式),立刻受到徑向電場力作用而獲得一個橫向速度v⊥E,于是縱向?qū)б艌鯞0立即與之產(chǎn)生一個橫向的洛倫茲力,產(chǎn)生由于自身場附加的拉莫爾運(yùn)動,其瞬時拉莫爾半徑RLE近似關(guān)系為;隨后,電子在穿越搖擺器絕熱壓縮區(qū)過程中橫向速度繼續(xù)增加,獲得增量Δv⊥E(＞0),瞬時拉莫爾半徑也對應(yīng)產(chǎn)生波動量.顯然,由于正向?qū)б艌鯞0＞0,故ΔRLE＞0,自身場附加的橫向位移變化越來越大,起到了削弱電子運(yùn)動穩(wěn)定性的作用;而對于反向?qū)б艌鯞0＜0,則ΔRLE＜0,自身場附加的橫向位移變化越來越小,起到了改善電子運(yùn)動穩(wěn)定性的作用.

5 結(jié)論

本文以Conde和Bekefi實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例,就搖擺器絕熱壓縮場和電子束自身場對拉曼型自由電子激光器中相對論電子在正向?qū)б艌龊头聪驅(qū)б艌鰞煞N情況下的運(yùn)動穩(wěn)定性做了對比研究.結(jié)果表明：1)在正向?qū)б艌龊头聪驅(qū)б艌鰞煞N情況下,搖擺器絕熱壓縮磁場對電子運(yùn)動穩(wěn)定性都無實(shí)質(zhì)性影響,但對電子運(yùn)動影響大;2)電子束自身場在拉曼型正向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦惺闺娮舆\(yùn)動穩(wěn)定性變差,而在拉曼型反向?qū)б艌鲎杂呻娮蛹す馄髦袆t可改善電子運(yùn)動穩(wěn)定性.

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