楊秦男 張延惠? 蔡祥吉 蔣國輝 徐學友

1)(山東師范大學物理與電子科學學院,濟南 250014)

2)(山東省科學院情報研究所,濟南 250014)

(2012年10月10日收到;2012年12月21日收到修改稿)

1 引言

混沌及分形理論是近些年來發(fā)展起來的新型非線性理論,在很多方面有著重要研究意義[1].混沌簡單來說就是研究對象系統(tǒng)無規(guī)行為中的規(guī)律性[2],而分形是混沌性質(zhì)中存在的規(guī)律性中的一種.混沌分形與氣象學、地質(zhì)學以及物理學的眾多分支學科有著廣泛的聯(lián)系,在解決非線性問題中起著重要作用.二維介觀器件體系中粒子在輸運過程中的諸多現(xiàn)象和行為都存在著混沌及分形性質(zhì),通過改變器件參數(shù)或環(huán)境(磁場等)來探究它們對粒子逃逸曲線混沌性質(zhì)的影響規(guī)律,同時發(fā)現(xiàn)體系中存在的分形自相似結(jié)構(gòu)[3-6].本文以逃逸曲線定性比較和分形維數(shù)定量計算兩種手段來研究器件中混沌吸引子的變化規(guī)律;首次運用“眼式分析”和相似比比較的方法來驗證逃逸曲線中存在的分形自相似結(jié)構(gòu).本文的研究對分析混沌逃逸規(guī)律、分形自相似結(jié)構(gòu)以及器件輸運的穩(wěn)定性控制等具有理論和實際應(yīng)用意義.

2 器件介紹及理論模型

本文采用的RIKENSide-wall Sinai Billard器件(圖1)由日本理化研究所(RIKEN)納米電子材料實驗室的Cooper和Bird在晶圓上制得,并由新南威爾士大學的Micolich等[7]進行了低溫下電子量子干涉效應(yīng)等實驗.為敘述簡便,本文的研究中將該器件簡稱為RIKEN器件.

RIKEN臺球器件可理解為如圖2所示的二維器件模型,圖中標度的量級為微米級.器件底部的兩個開口很小,粒子無法通過,因此可以忽略其對粒子逃逸的影響.器件腔內(nèi)部區(qū)域可視為勢阱,直線和底部圓弧部分為勢壘[8].粒子在器件中運動,到達開口位置時逃逸.當粒子能量增大時,粒子會從勢壘上勢能較低的區(qū)域逃逸,從而導(dǎo)致勢阱面積增大(但勢阱的形狀基本不變),粒子的逃逸率增加,相同情況下的粒子逃逸時間也變短[9-11].本文的研究主要基于統(tǒng)計單個粒子逃逸前的碰撞次數(shù),為控制變量以及簡化計算過程,認為粒子只從開口處逃逸而無法從勢壘逃逸,即二維器件腔內(nèi)部為無限深勢阱,邊界勢壘的勢能無限大.

粒子在二維器件腔內(nèi)與器件壁的碰撞視為完全彈性碰撞,碰撞前后的運動軌跡遵從反射定律[12].由于器件的對稱性,可定義兩側(cè)頂端的任意一個開口為粒子的入射口.本文以下研究定義器件左側(cè)開口為粒子入射位置,定義粒子到達器件兩側(cè)頂端任一開口位置時逃逸器件腔.

圖1 RIKEN器件的電鏡掃描圖

圖2 RIKEN器件的理論模型

3 粒子初始位置及器件參數(shù)對輸運混沌性質(zhì)的影響

粒子從入射到出射的過程中會與勢壘發(fā)生若干次碰撞,在器件參數(shù)(主要是開口寬度、腔長以及圓弧半徑)確定的情況下,粒子逃逸前的碰撞次數(shù)由入射角度決定.當入射角度微小改變時,碰撞次數(shù)可能不會明顯改變,也可能會發(fā)生劇烈變化[13].圖3(a)為入射角分別為21°和22°時粒子逃逸前的碰撞情況比較,入射角的微小改變沒有引起碰撞軌跡和次數(shù)的明顯變化;圖3(b)為入射角為41°和41.3°時粒子逃逸前的碰撞情況比較,入射角的微小改變引起了碰撞軌跡和次數(shù)的劇烈變化.這種產(chǎn)生碰撞次數(shù)劇烈變化時對應(yīng)的角度稱作奇異點,奇異點的集合就是混沌吸引子.產(chǎn)生這種劇烈變化的原因主要是粒子與器件底部弧線區(qū)域碰撞,當初始入射角近似相同的兩個粒子到達圓弧部分時,它們反射軌跡之間的夾角及距離差異會增大,因此圓弧對微小差異起到了放大的作用(以下簡稱為圓弧的放大作用).隨著反彈次數(shù)的增加這種差距會越來越大,最終導(dǎo)致了入射條件近似的粒子逃逸前碰撞次數(shù)的明顯差異.當然,器件的開口邊緣位置、拐角附近區(qū)域、直線區(qū)域等也會產(chǎn)生這種效果,下文將分別予以討論.器件中粒子逃逸的混沌現(xiàn)象由此產(chǎn)生,這個過程稱為“混沌逃逸”[3],其逃逸時間和碰撞次數(shù)等敏感依賴于粒子初始角度的改變.

圖3 (a)入射角21°(實線)與22°(虛線)比較;(b)入射角41°(實線)與 41.3°(虛線)比較

圖4為計算得到的隨粒子入射角連續(xù)微小改變,粒子碰撞次數(shù)的變化曲線(以下簡稱為粒子的逃逸曲線).圖中的黑色區(qū)域是粒子碰撞次數(shù)連續(xù)劇烈變化所導(dǎo)致,也就是奇異點所在的混沌區(qū)域;白色區(qū)域是碰撞次數(shù)變化不明顯的區(qū)域.由于碰撞次數(shù)在60次以上的入射情況(圖4(a))很少,混沌區(qū)域的碰撞次數(shù)多在60次以內(nèi),故而可以忽略掉60次以上的碰撞次數(shù),只考慮60次以內(nèi)的碰撞(圖4(b)),本文以下研究均采用此方法.

3.1 粒子初始位置

粒子從器件的左側(cè)開口入射,初始位置改變對應(yīng)的粒子逃逸曲線變化情況如圖5所示.粒子在不同初始位置下入射,其逃逸曲線中的黑色區(qū)域和白色區(qū)域分布情況基本一致,而且黑色區(qū)域所占比例不變.因此粒子初始位置改變對逃逸曲線混沌性質(zhì)的影響基本可以忽略,因為逃逸曲線混沌的產(chǎn)生主要是由于入射角的改變,而不是粒子的初始位置.在以下各節(jié)討論中,為控制參數(shù)單一變化,我們均默認粒子的初始入射位置為器件左側(cè)開口的中間位置.

3.2 開口寬度

圖4 RIKEN器件碰撞次數(shù)隨入射角變化關(guān)系 (a)碰撞次數(shù)＞60次;(b)碰撞次數(shù)＜60次

圖5 粒子初始位置對逃逸前碰撞次數(shù)的影響,右側(cè)數(shù)據(jù)為粒子到開口頂端的距離

器件開口對粒子的逃逸具有選擇作用,尤其是在開口邊緣位置這種選擇作用更明顯.圖3(b)中,當軌跡相近的兩粒子分別到達左端開口邊緣位置時,一個粒子逃逸而另一個粒子反射回器件腔無法逃逸.器件開口寬度的增大使粒子的逃逸概率增大,原逃逸過程中在開口邊緣無法逃逸的粒子現(xiàn)在會被開口選擇,逃逸器件腔.開口邊緣對粒子逃逸的選擇作用明顯減弱,由此逃逸過程中碰撞次數(shù)的奇變點減少,逃逸曲線中的混沌區(qū)域會逐漸被白色區(qū)域取代.圖6為開口寬度分別為0.05—0.30μm時的逃逸曲線比較,可以看到隨開口寬度增加,白色區(qū)域逐漸增寬增多,器件中粒子逃逸曲線的混沌性減弱.

圖6 開口寬度對逃逸前碰撞次數(shù)的影響,右側(cè)數(shù)據(jù)為對應(yīng)的開口寬度

3.3 器件腔長

圖7 為不同腔長中粒子的逃逸曲線比較.當腔長增加時粒子逃逸前在腔內(nèi)的碰撞次數(shù)增加,器件勢壘的放大作用越來越明顯.當粒子到達器件的開口位置時,放大的軌道差異最終體現(xiàn)在逃逸前的碰撞次數(shù)差異上,器件腔長的增加導(dǎo)致逃逸曲線混沌性的增強.

3.4 圓弧半徑

器件底部圓弧半徑的變化體現(xiàn)在兩個方面：一是R≤0.35μm時弧度等于180°的半圓(如圖8(a));二是R＞0.35μm時弧度小于180°的圓弧(如圖8(b)).

3.4.1 R≤0.35μm

圖9為R≤0.35μm時器件底部圓弧半徑變化時的逃逸曲線比較.在R=0時(此時器件的底部為一條直線)的粒子逃逸曲線中,入射角在0°和180°附近的碰撞次數(shù)整體較多且變化較大,存在一定的混沌性質(zhì);其他大部分角度碰撞次數(shù)沒有明顯的奇變,不存在混沌性質(zhì).當圓弧半徑增大時,粒子到達圓弧的概率逐漸增大,圓弧區(qū)域的放大作用越來越明顯,導(dǎo)致了粒子逃逸曲線中奇變點個數(shù)增多.因此圖中的黑色混沌區(qū)域越來越寬,逃逸曲線的混沌性越來越強.

圖7 器件腔長對逃逸前碰撞次數(shù)的影響,右側(cè)數(shù)據(jù)為對應(yīng)的腔長

圖8 (a)R≤0.35μm時器件形狀示意圖;(b)R＞0.35μm時器件形狀示意圖

但是圖9中的混沌區(qū)域在R=0.20μm之后并沒有明顯的增多,反而在R接近0.35μm時有了明顯的減少.如圖8(a)所示,拐角①和拐角②對粒子入射軌道的微小差距均有放大作用.R較小時兩個拐角的影響是分別獨立的;R較大(接近0.35μm)時,將很少有粒子在兩個拐角處連續(xù)碰撞,兩個拐角可視為一個拐角,其放大作用減弱.由此說明在該器件中拐角對混沌性質(zhì)的影響是明顯的：拐角越多越分散,器件的混沌性越強;拐角數(shù)量減少或相鄰拐角距離很近時,器件的混沌性有所減弱.

3.4.2 R＞0.35μm

圖10為R＞0.35μm時器件底部圓弧半徑變化時的逃逸曲線比較.很明顯,隨著圓弧半徑R的逐漸增大,圖中的黑色區(qū)域逐漸減少,奇異點的個數(shù)下降,器件的混沌性減弱.

當R＞0.35μm時,器件中拐角的數(shù)量及拐角之間的距離不再改變.圓弧的半徑(或者弧度)是影響輸運過程混沌性質(zhì)的主要原因,半徑越大(弧度越小),圓弧部分的放大效果越弱,粒子逃逸過程中碰撞次數(shù)的奇變點減少,混沌性減弱.可以預(yù)見當R→∞時,原來的弧線將逐漸變成直線,其放大作用等效于直線,其逃逸曲線將與圖9中R=0時的逃逸曲線相同,因為在極限情況下兩者所構(gòu)造的器件形狀是完全相同的.

圖9 R≤0.35μm時圓弧半徑對逃逸前碰撞次數(shù)的影響,右側(cè)數(shù)據(jù)為對應(yīng)的圓弧半徑

4 逃逸曲線中分形自相似結(jié)構(gòu)的討論

4.1 逃逸曲線中的分形自相似結(jié)構(gòu)

總結(jié)以上各種情況下的混沌逃逸曲線,奇異點較多的黑色區(qū)域和對入射條件的微小改變不敏感的白色區(qū)域相互交錯,形成一類復(fù)雜的曲線,這樣的體系顯示出混沌動力學的標志——分形結(jié)構(gòu)[3].當然該混沌系統(tǒng)中可能存在“黑帶”自相似的分形結(jié)構(gòu)[14,15],也就是說在不同的放大級別上,逃逸曲線的黑白區(qū)域分布是相似的[16].

回到原始參數(shù)下RIKEN器件中粒子逃逸曲線中來：由于該逃逸曲線為非對稱結(jié)構(gòu),無法從中央?yún)^(qū)域逐級放大來尋找其自相似結(jié)構(gòu),所以我們采用將曲線中的混沌區(qū)域逐段放大的方法來尋找.圖11為混沌區(qū)域存在的分形自相似結(jié)構(gòu),可以看到各級放大之后的圖形與上一級圖形在黑白區(qū)域的分布上是一致的,各級圖形之間有著很好的相似度.

圖10 R＞0.35μm時圓弧半徑對逃逸前碰撞次數(shù)的影響,右側(cè)數(shù)據(jù)為對應(yīng)的圓弧半徑及圓心角角度

圖11 原RIKEN器件中混沌區(qū)域的分形自相似結(jié)構(gòu) 自上而下各級圖形的取值范圍分別為(49.8°,62.2°),(51.9°,54.6°),(52.35°,52.95°),(52.449°,52.579°),(52.4694°,52.4977°),(52.47395°,52.48003°);右側(cè)數(shù)據(jù)為放大級數(shù)

4.2 自相似區(qū)域的討論

我們把自相似區(qū)域的位置用圓(或者橢圓)逐級別標示出來,以探討各放大級的位置與分形自相似性的關(guān)系.圓的直徑(或者橢圓的長軸)Di為圖11自相似結(jié)構(gòu)中對應(yīng)的第i條曲線的入射角范圍,得到如圖12(a)所示的嵌套圓結(jié)構(gòu),我們將之稱為“眼式結(jié)構(gòu)”,該結(jié)構(gòu)也是自相似結(jié)構(gòu),放大后的局部與整體是相似的.圖中的橫軸為各級自相似圖形的入射角度;由于圓(或者橢圓)表示的是一維長度量,因此不需要考慮圖像縱坐標的標度.自相似放大區(qū)域占各級圖形的比例較低(約占22%),從第三層圓開始其位置已無法仔細分辨.

為使圖形易于觀察,在圖12(a)的基礎(chǔ)上將圓的直徑各級放大(圓心位置不變)得到新的結(jié)構(gòu)D′i=Di×ai-1(4.6≥ a≥1).圖 12(b)為 a=3時的“眼式結(jié)構(gòu)”,圖中的1,2兩個圓已經(jīng)相交,第2層及以后的圓仍為嵌套關(guān)系,由此說明圖12(a)中1,2兩層的自相似性并不好.結(jié)合圖11的自相似圖形可以發(fā)現(xiàn),其中的前兩個圖形黑白區(qū)域分布有較明顯差異,而其他圖形之間無明顯差異.由此得到結(jié)論：逃逸曲線的分形自相似結(jié)構(gòu)中,各級放大區(qū)域在位置標度上也是自相似的,其相似度的好壞與逃逸曲線的相似性一致,各級放大區(qū)域在位置標度上的相似度越好逃逸曲線的自相似性越好.

統(tǒng)計圖11中各級放大區(qū)域以及相鄰放大區(qū)域間的比值(簡稱相似比),得到表1.表中給出了各級相似結(jié)構(gòu)的放大區(qū)域以及相鄰√放大級之間的相似比比值.利用標準差公式算得表1中相似比的標準差為0.0062,因此可以認為相鄰放大區(qū)域間的比值是基本相等的.由此得到結(jié)論：分形自相似結(jié)構(gòu)中,相鄰放大級之間的相似比基本一致,在本結(jié)構(gòu)中為21.71%.此方法可以用來檢驗自相似結(jié)構(gòu)中放大級是否存在缺失,對于放大級的準確尋找具有一定的意義.

圖12 (a)原始尺度的“眼式結(jié)構(gòu)”;(b)a=3時的“眼式結(jié)構(gòu)”

表1 各放大級區(qū)域及相鄰放大級之間的比值

5 逃逸曲線的分形維數(shù)及討論

分形幾何與混沌動力學具有密切的聯(lián)系,前文得到的混沌逃逸曲線需要分形幾何來描述.分形維數(shù)是衡量一個體系混沌性質(zhì)的重要參量,可以定量描述混沌性質(zhì)的強弱.對于不規(guī)則形狀的曲線一般采用盒計數(shù)法來計算其分形維數(shù),將混沌逃逸曲線入射角平均細分為ε份,找出混沌區(qū)域所占的份數(shù)N(ε),則分形維數(shù)在包含混沌區(qū)域的N(ε)個盒子中,會出現(xiàn)全部混沌區(qū)域或者部分混沌區(qū)域兩種情況,當ε改變時N(ε)也隨之改變,因此計算得到的分形維數(shù)Df是變化的.從長遠角度考慮,ε越大N(ε)中全部混沌區(qū)域所占的比例也就越多,當ε→∞時所有N(ε)個盒子均為全部混沌區(qū)域,體系的分形維數(shù)Df趨于穩(wěn)定值[17].

圖13 采用盒計數(shù)法計算原器件的分形維數(shù)

圖13 為采用盒計數(shù)法算得的原器件的分形維數(shù),逐步增大盒子的數(shù)量ε,曲線趨于穩(wěn)定的斜率k=0.734即為體系的分形維數(shù)Df.由于盒計數(shù)法中的混沌盒子數(shù)量N(ε)不會超過盒子的總數(shù)量ε,所以采用這種方法計算得到的分形維數(shù)Df≤1.采用該方法計算其他參數(shù)下器件中粒子逃逸曲線的分形維數(shù),進而可以得到分形維數(shù)與器件開口、腔長、圓弧半徑等的關(guān)系曲線,如圖14所示.

圖14(a)中開口寬度d→0時分形維數(shù)下降非?？?這主要是由于開口寬度很小時,粒子在各角度入射時均難以逃逸,碰撞次數(shù)奇變少所導(dǎo)致.由于開口很小時粒子無法入射和逃逸器件腔,所以此段曲線在實際應(yīng)用中可以忽略.此后隨著開口寬度的增加體系混沌性減弱,分形維數(shù)Df逐漸降低趨向于0.圖14(b)中腔長的增加使粒子的混沌性增強,分形維數(shù)Df逐漸增加趨向于1.圖14(c)中在R=(0,0.20)區(qū)間分形維數(shù)隨圓弧半徑增加(弧度不變)而增加,這主要是圓弧的放大作用增強所導(dǎo)致.在R=(0.20,0.35)區(qū)間,器件拐角區(qū)域合并導(dǎo)致混沌性減弱,而圓弧半徑增加導(dǎo)致混沌性增強,在二者共同影響下分形維數(shù)并沒有明顯增加.圖14(d)中圓弧半徑增加(弧度減小)導(dǎo)致其放大作用下降以及混沌性減弱,分形維數(shù)隨之減小.可以看到不同器件參數(shù)下的分形維數(shù)變化情況與第3節(jié)中討論的逃逸曲線的混沌性質(zhì)是一致的.

圖14 分形維數(shù)與器件參數(shù)的關(guān)系曲線

6 結(jié)論

1)RIKEN器件的開口寬度、腔長、圓弧、拐角等均會影響粒子逃逸曲線的混沌性質(zhì),圓弧區(qū)域(主要是弧度)對混沌性質(zhì)的影響比直線區(qū)域更顯著,器件拐角的數(shù)量及距離都會對混沌性質(zhì)產(chǎn)生影響.

2)通過對器件參數(shù)的控制改變器件的混沌性,對器件中粒子輸運過程的穩(wěn)定性控制有一定意義.

3)采用逃逸曲線定性比較和分形維數(shù)定量計算兩種方法均可以描述體系的混沌性質(zhì),兩種方法得到的混沌性質(zhì)變化規(guī)律是一致的.

4)在RIKEN器件的粒子逃逸曲線中發(fā)現(xiàn)了很好的分形自相似結(jié)構(gòu),首次運用“眼式結(jié)構(gòu)”分析法及相似比比較的方法對自相似結(jié)構(gòu)進行了驗證,得到了自相似結(jié)構(gòu)與其位置和相似比的關(guān)聯(lián)性.

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