慕 燦， 陳 科

(1.阜陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，工程科技學(xué)院，安徽 阜陽 236016;2.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引言

1913年格林森公司發(fā)明了曲線齒錐齒輪加工機(jī)床，宣告了弧齒錐齒輪的誕生.自20世紀(jì)60年代開始，格林森公司的弧齒錐齒輪生產(chǎn)技術(shù)日臻成熟，逐漸形成了一整套比較完善的設(shè)計(jì)和加工技術(shù)[1～4]，從而奠定了格林森公司在國(guó)際錐齒輪制造業(yè)中的主導(dǎo)地位.

弧齒錐齒輪具有承載能力強(qiáng)、重合度大、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，在高速傳動(dòng)時(shí)能顯著減少噪聲和振動(dòng)，可獲得很大的傳動(dòng)比，對(duì)安裝誤差敏感性小，因此在航空、航天、工程機(jī)械等機(jī)械領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.由于弧齒錐齒輪的幾何形狀、加工機(jī)床調(diào)整非常復(fù)雜，為了加速推廣其在各個(gè)機(jī)械行業(yè)的應(yīng)用，縮短生產(chǎn)周期，降低生產(chǎn)成本，進(jìn)一步提高其使用性能，完善弧齒錐齒輪理論，近年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)繼續(xù)開展了大量的研究工作.Gosselin[5]等推導(dǎo)出了弧齒錐齒輪載荷分配系數(shù)以及傳動(dòng)誤差的通用計(jì)算公式，Bibelt[6]、Fuents[7]等使用有限元分析方法對(duì)弧齒錐齒輪的接觸應(yīng)力進(jìn)行了仿真分析，Litvin[8]教授等采用有限元模擬仿真和物理實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，研究了低噪音高強(qiáng)度弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)、制造和應(yīng)力分析，李源等[9]采用 MSC.Mare有限元軟件分析了航空螺旋錐齒輪的嚙合過程.李盛鵬等[10]采用ANSYS軟件對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行了接觸分析.

弧齒錐齒輪用于高速、高載荷、大轉(zhuǎn)矩等工況時(shí)，齒輪副不僅產(chǎn)生復(fù)雜的接觸應(yīng)力，而且在激勵(lì)力的作用下會(huì)產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)，當(dāng)激勵(lì)力頻率與齒輪副的固有頻率接近時(shí)將產(chǎn)生共振，不僅出現(xiàn)嚴(yán)重的噪聲，齒輪副也可能受損甚至徹底失效.模態(tài)分析可以幫助設(shè)計(jì)人員確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，從而消除共振、降低噪聲，并指導(dǎo)工程師預(yù)測(cè)在不同載荷作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形式.近年，已有學(xué)者[11，12]結(jié)合三維CAD和有限元分析軟件計(jì)算了各種圓柱齒輪的固有頻率和振型，但有關(guān)結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜的格林森弧齒錐齒輪的動(dòng)力學(xué)模態(tài)分析的文獻(xiàn)則較少.本文在UG NX中利用參數(shù)化設(shè)計(jì)方法直接由其內(nèi)部驅(qū)動(dòng)程序生成格林森弧齒錐齒輪，然后將齒輪模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行模態(tài)分析以得到其低階固有頻率和振型，在此基礎(chǔ)上討論弧齒錐齒輪的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響規(guī)律，為弧齒錐齒輪的結(jié)構(gòu)優(yōu)化、噪音控制及進(jìn)一步動(dòng)力學(xué)研究打下了基礎(chǔ).

1 模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析是計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的數(shù)值技術(shù)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性包括固有頻率和振型.模態(tài)分析是其他動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，如響應(yīng)譜分析、隨機(jī)振動(dòng)分析、諧響應(yīng)分析等都需要在它的基礎(chǔ)上進(jìn)行.根據(jù)彈性力學(xué)有限元法，由達(dá)朗貝爾原理可得齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

式中，[M]，[C]，[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{X}分別為加速度向量、速度向量和位移向量，{X}={X1，X2，…，Xn}T;{F(t)}為激振力向量，{F(t)}={f1，f2，…，fn}T.

在無阻尼自由振動(dòng)情況下阻尼力項(xiàng)和外界激振力項(xiàng)為零，其運(yùn)動(dòng)微分方程為:

其對(duì)應(yīng)的特征方程為

式中，ωi為系統(tǒng)的固有頻率，φi為系統(tǒng)模態(tài)振型，i=1，2，…，n.

2 格林森弧齒錐齒輪有限元模態(tài)分析

2.1 格林森弧齒錐齒輪實(shí)體模型的建立

以一個(gè)汽車后橋主減速器中格林森弧齒錐齒輪(主動(dòng)輪，等頂隙收縮齒)作為研究對(duì)象.其主要幾何尺寸參數(shù)如表1所示.使用UG NX中GC工具箱的齒輪建模命令實(shí)現(xiàn)齒輪參數(shù)化建模，在齒輪參數(shù)對(duì)話框中對(duì)應(yīng)輸入大端模數(shù)、齒數(shù)、齒寬、法向壓力角、旋向和中點(diǎn)螺旋角等，即可得到格林森弧齒錐齒輪的實(shí)體模型，再使用UG NX的“孔”命令增加軸孔即可，如圖1所示.

表1 齒輪設(shè)計(jì)幾何參數(shù)

2.2 格林森弧齒錐齒輪有限元模型的建立

打開ANSYS workbench，從工具箱中拖放modal到項(xiàng)目視圖區(qū)建立一個(gè)模態(tài)分析系統(tǒng)，將用UG NX建立的齒輪實(shí)體模型導(dǎo)入geometry模塊，接著雙擊Model進(jìn)入模態(tài)分析界面.編輯材料屬性如下:彈性模量 EX=2.0675e8，泊松比 PRXY=0.3，密度 DENS=7.85e－6.設(shè)定目標(biāo)物理環(huán)境為CFD，可獲得質(zhì)量較高、平滑過渡的網(wǎng)格.設(shè)定最小單元尺寸為3mm，經(jīng)反復(fù)測(cè)驗(yàn)，精度能滿足要求.因?yàn)楦窳稚↓X錐齒輪的齒面為復(fù)雜的空間曲面，這里采用自動(dòng)網(wǎng)格劃分方式，求解后查看劃分結(jié)果情況:單元類型為L(zhǎng)inear Tetrahedron，8144個(gè)節(jié)點(diǎn)，38584個(gè)單元，網(wǎng)格劃分質(zhì)量較好，如圖2所示.

圖1 格林森弧齒錐齒輪實(shí)體模型

圖2 齒輪有限元模型

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

添加邊界條件并設(shè)定提取模態(tài)階數(shù).在典型的模態(tài)分析中唯一有效的載荷是零位移約束，其它的載荷形式均被忽略，因此僅在齒輪軸孔施加零位移約束.模態(tài)分析時(shí)因低階模態(tài)剛度相對(duì)較弱，對(duì)于運(yùn)動(dòng)起主導(dǎo)作用，一般只需提取5～10階即可滿足精度要求，文中提取前10階固有頻率.

圖3 模數(shù)－固有頻率變化曲線

圖4 齒數(shù)－固有頻率變化曲線

圖5 螺旋角－固有頻率變化曲線

求解并查看結(jié)果.求解完畢后使用 ANSYS Workbench后處理工具得到弧齒錐齒輪的前6階固有頻率如表2所示.從表中可以看出，固有頻率隨著階次的增加逐漸增大;由于齒輪結(jié)構(gòu)近似對(duì)稱，2和3階、5和6階、7和8階、9和10階的固有頻率基本相同.

圖6 徑向變位系數(shù)－固有頻率變化曲線

圖7 切向變位系數(shù)－固有頻率變化曲線

表2 齒輪前10階固有頻率

3 齒輪參數(shù)對(duì)固有頻率的影響規(guī)律

3.1 模數(shù)的影響規(guī)律

在齒輪其它參數(shù)均保持不變的情況下，分別計(jì)算模數(shù) m=4，6，8，10，12 五種情況下的前 10 階固有頻率，略去因結(jié)構(gòu)和約束對(duì)稱頻率相近的第二、六、八和十階(以下同)，其余各階如圖3所示.由圖可見，齒輪固有頻率隨模數(shù)的增大而減小，而且影響較為顯著.

3.2 齒數(shù)的影響規(guī)律

在齒輪其它參數(shù)均保持不變的情況下，分別計(jì)算齒數(shù)z=12，15，18，21和24五種情況下的固有頻率，如圖4所示.由曲線可以看出，固有頻率隨齒數(shù)的增大而減小.

3.3 螺旋角的影響規(guī)律

在齒輪其它參數(shù)均保持不變的情況下，分別取中點(diǎn)螺旋角 β =30°，32.5°，35°，37.5°和 40°建立五個(gè)齒輪模型，計(jì)算所得齒輪的固有頻率隨中點(diǎn)螺旋角的變化曲線如圖5所示.由圖可見，齒輪的固有頻率隨著螺旋角的加大而變化不明顯.

3.4 徑向變位系數(shù)的影響規(guī)律

在齒輪其它參數(shù)均保持不變的情況下，分別取徑向變位系數(shù) x=0.3，0.35，0.4，0.45 和0.5 建立五個(gè)齒輪模型，計(jì)算所得齒輪的固有頻率隨徑向變位系數(shù)的變化曲線如圖6所示.由圖可見，輪齒的固有頻率隨著徑向變位系數(shù)的加大而略有降低.

3.5 切向變位系數(shù)的影響規(guī)律

在齒輪其它參數(shù)均保持不變的情況下，分別計(jì)算切向變位系數(shù) xt=0.06，0.085，0.11，0.135 和0.16五種情況下的固有頻率，如圖7所示.可以看出，切向變位系數(shù)對(duì)齒輪固有頻率的影響與徑向變位系數(shù)相當(dāng)，并不十分明顯.

4 結(jié)論

(1)利用UG NX中GC工具箱的齒輪建模功能可高效建立格林森弧齒錐齒輪實(shí)體模型，大大縮短了齒輪設(shè)計(jì)的時(shí)間;同時(shí)利用UG NX與ANSYS Workbench之間的數(shù)據(jù)接口，將齒輪模型精確地導(dǎo)入ANSYS Workbench中，彌補(bǔ)了ANSYS的建模功能的不足，提高了設(shè)計(jì)的效率.

(2)通過改變格林森弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)(包括模數(shù)、齒數(shù)、螺旋角、徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù))，得出了不同參數(shù)情況下固有頻率的變化規(guī)律.分析結(jié)果表明，隨著模數(shù)和齒數(shù)的增加，齒輪的固有頻率明顯減小，而中點(diǎn)螺旋角、徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)的增加將使齒輪的固有頻率略有減小，但影響并不十分明顯.

(3)齒輪的有限元模態(tài)分析結(jié)果為格林森弧齒錐齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和進(jìn)一步動(dòng)力學(xué)研究提供了理論基礎(chǔ)，同時(shí)為齒輪的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和噪音控制提供了參考依據(jù).

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