于利剛 李朝暉 王仁乾 馬黎黎

1 引言

水下吸聲覆蓋層在水聲學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用比較廣泛,特別是對潛艇的隱身具有重要的意義,因此,相關(guān)的研究一直得到了廣泛的關(guān)注.如何提高低頻吸聲性能,是水下吸聲覆蓋層研究的難點(diǎn).為了提高低頻吸聲性能,傳統(tǒng)的吸聲覆蓋層中通常含有宏觀的空腔結(jié)構(gòu)[1,2],但是宏觀的空腔結(jié)構(gòu)的引入會(huì)降低覆蓋層的高頻吸聲性能和耐高壓性能.近年來,一些新興的聲學(xué)理論和材料在水下吸聲覆蓋層方面的應(yīng)用研究得到了發(fā)展.聲子晶體理論是近年來聲學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),該理論在水下吸聲覆蓋層的應(yīng)用得到了嘗試[3-7].聲子晶體覆蓋層中含有周期性結(jié)構(gòu),其共振吸聲可以提高覆蓋層的低頻吸聲性能.隨著壓電聚合物材料性能的不斷提高,壓電聚合物材料成為發(fā)展智能型水下吸聲覆蓋層的理想材料.聚合物壓電材料不僅可以通過機(jī)械阻尼吸聲,還可以通過壓電效應(yīng)將聲波轉(zhuǎn)換為電能,由分流電路損耗掉[9-11].另外,充滿黏滯流體的多孔金屬板也是一種新型的水下吸聲材料.研究表明,選擇合適的黏滯流體,采用較薄的多孔金屬板就可以獲得很好的低頻吸聲性能[12].雖然新興聲學(xué)理論和材料在水下覆蓋層方面的應(yīng)用研究取得一定的進(jìn)展,但是滿足到實(shí)際應(yīng)用的要求,還需要較長的時(shí)間.

相比較而言,較為傳統(tǒng)的理論和材料在水下吸聲覆蓋層的應(yīng)用研究仍具有一定的潛力.含有微小空氣腔體的黏彈性復(fù)合材料一直是水聲領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[13-24].微小的空氣腔體的引入可以改變黏彈性聚合物復(fù)合材料的特性聲阻抗,也可以提高材料的機(jī)械阻尼.為了保持復(fù)合材料的耐壓性能,微小空氣腔體由玻璃球殼包覆.玻璃微球的直徑一般為幾十微米,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于入射聲波的波長,因此認(rèn)為復(fù)合材料的性質(zhì)均勻.Baird等[19]指出利用含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料,采用等效參數(shù)的方法,優(yōu)化設(shè)計(jì)多層結(jié)構(gòu)的水下吸聲覆蓋層,但是到目前為止相關(guān)的研究并不多見.

本文對含有玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料覆蓋層的水下吸聲性能進(jìn)行了理論分析.采用Haberman[20]的等效參數(shù)方法分析了玻璃微球的體積含量對復(fù)合材料力學(xué)和聲學(xué)性能的影響.采用聲波在多層介質(zhì)中傳播的一維模型,分析了玻璃微球體積含量對復(fù)合材料覆蓋層吸聲性能的影響,以提高覆蓋層的低頻吸聲性能,同時(shí)保證高頻吸聲系數(shù)大于某一限值(0.7)為優(yōu)化目標(biāo),采用遺傳算法對玻璃微球體積含量在覆蓋層厚度方向上的分布進(jìn)行優(yōu)化.從聲阻抗匹配的角度分析了多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)提高吸聲性能的機(jī)理.另外,借鑒橡膠行業(yè)的生產(chǎn)技術(shù),簡單分析了以含玻璃微球的復(fù)合材料為原材料,制備多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)覆蓋層的生產(chǎn)工藝.

2 黏彈性復(fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)參數(shù)與玻璃微球體積含量的關(guān)系

2.1 等效參數(shù)模型

Haberman等[20]采用自洽理論推導(dǎo)出含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料的等效力學(xué)參數(shù)公式(1)—(8),計(jì)算了不同玻璃微球體積含量的復(fù)合材料板對水下聲波的傳輸損耗,但是沒有計(jì)算復(fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)參數(shù).為了更好地了解玻璃微球?qū)?fù)合材料力學(xué)和聲學(xué)性質(zhì)的影響,本文采用Haberman的公式分析了玻璃微球體積含量對復(fù)合材料力學(xué)和聲學(xué)性質(zhì)的影響.

圖1為含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)示意圖.μ,λ,K為拉梅常數(shù)、剪切模量和體積壓縮模量,上標(biāo)eff,M,C,I分別為復(fù)合材料、聚合物基材(Matrix)、玻璃球殼(Coating)、球殼內(nèi)包含的(Inclusion)空氣.fI為玻璃球殼中的空氣在復(fù)合材料中占的體積比,Δa/a為球殼的厚度和半徑之比.σ為泊松比,上標(biāo)x在具體計(jì)算中將會(huì)被eff,M,C,I代替.本文采用了文獻(xiàn)[19]給定的聚合物基材、玻璃和空氣的參數(shù).表1,2分別為黏彈性聚合物的和玻璃微球的參數(shù).

表1 黏彈性聚合物的力學(xué)參數(shù)

圖1 含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)示意圖

采用迭代法可以計(jì)算出含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料的體積模量Keff和剪切模量μeff,而復(fù)合材料的密度、縱波波速分別為

圖2 不同頻率下(f=5,10,15,20,25,30 kHz)復(fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)參數(shù)隨玻璃微球的體積含量的變化 (a),(b)為剪切模量的絕對值和損耗角的正切值tan(δ1);(c),(d)為體積模量的絕對值和損耗角的正切值 tan(δ2);(e),(f)為縱波聲速的絕對值和損耗角的正切值 tan(δ3)

2.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

由于黏彈性聚合物材料的力學(xué)和聲學(xué)參數(shù)是頻率 f的函數(shù),因此計(jì)算了不同頻率(f=5,10,15,20,25,30 kHz)下,復(fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)參數(shù)隨體積含量φ的變化.如圖2(a),(b)所示,復(fù)合材料的剪切模量的絕對值和損耗角正切值 tan(δ1)隨頻率的升高而增大,增大的幅度隨頻率的升高而減小.在 f較低的情況下,隨 φ 的變化不大;在頻率較高的情況下,會(huì)隨 φ 的升高而減小,近似線性變化.而剪切模量損耗角的正切值tan(δ1)隨φ的升高而增大,在φ較大時(shí)近似線性變化.如圖2(c)所示,不同頻率的體積模量的絕對值幾乎是重合的,說明隨頻率的變化不大.當(dāng)φ較小時(shí),隨著 φ 的增加而顯著減小;而當(dāng) φ 較大時(shí),隨著 φ 的增大而緩慢減小.如圖2(d)所示,復(fù)合材料的體積模量損耗角的正切值tan(δ2)隨頻率的升高而增大,增大的幅度隨頻率的升高而減小.當(dāng)φ較小時(shí),tan(δ2)隨著φ的升高而顯著增大;當(dāng)φ較大時(shí),tan(δ2)隨著φ的升高而緩慢增大;當(dāng)φ≈10%時(shí),tan(δ2)到達(dá)最大值;φ繼續(xù)增大,tan(δ2)逐漸減小.對比圖2(a),(c)可以看出,大約比大兩個(gè)數(shù)量級.對比圖 2(b),(d)可以看出,雖然當(dāng)φ=0時(shí),tan(δ2)=0,但是當(dāng)φ增加,tan(δ2)比 tan(δ1)大很多.例如φ=10%,f=10 kHz時(shí),tan(δ1)和 tan(δ2)分別為 0.0275 和0.270,相差接近一個(gè)數(shù)量級.因此,如圖2(e),(f)所示,復(fù)合材料縱波聲速隨φ的變化趨勢與體積模量相似.總之,由于玻璃微球的引入,黏彈性復(fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)阻尼會(huì)顯著增加.由于玻璃微球的體積含量φ在一定范圍的變化可以顯著影響復(fù)合材料的聲學(xué)性質(zhì),可以通過改變玻璃微球的體積含量形成多種聲學(xué)性質(zhì)不同的復(fù)合材料.

3 含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料吸聲性能分析

3.1 聲波在多層介質(zhì)中傳播的一維模型

本文參考聲波在多層介質(zhì)中的傳播理論[25]針對水下覆蓋層的邊界條件,建立聲波在多層黏彈性復(fù)合材料中傳播的一維模型.如圖3所示,假設(shè)N層黏彈性復(fù)合材料粘貼在一層鋼板上,復(fù)合材料和水接觸,而鋼板和空氣接觸,復(fù)合材料和鋼板的橫向尺寸遠(yuǎn)大于其厚度,水和空氣為半無限大空間.當(dāng)聲波由水中垂直入射到復(fù)合材料覆蓋層上,在各個(gè)界面上發(fā)生反射和透射.設(shè)界面1的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速為P1,U1界面2的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速為P2,U2兩個(gè)界面的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系可以表示為

其中ρ1c1為第一層復(fù)合材料覆蓋層的特性聲阻抗,l1為覆蓋層的厚度,k1=ω/c1為波數(shù),c1為復(fù)合材料中的縱波聲速,B1為聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的傳遞矩陣.同理,界面1與界面3的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系為

B2為第二層復(fù)合材料的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的傳遞矩陣.同理,界面1與界面N+2的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系

BN+1為鋼板的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的傳遞矩陣.界面1的表面聲阻抗為

ρN+2cN+2為空氣的特性聲阻抗.界面1的反射系數(shù)為

吸聲系數(shù)為

P1i,P1r為界面1的入射聲壓和反射聲壓.界面1的表面聲阻抗Z1為復(fù)數(shù),可表示為：Z1=Zr1+jZi1·ρ0c0為水的特性聲阻抗,聲波在水中的損耗很小,水的特性聲阻抗可以看作實(shí)數(shù).通常要達(dá)到好的吸聲效果,吸聲材料要有較高的機(jī)械阻尼,其特性聲阻抗要與吸聲體系中的其他介質(zhì)相匹配.

圖3 聲波在多層黏彈性復(fù)合材料覆蓋層中傳播的示意圖

3.2 玻璃微球體積含量對單層結(jié)構(gòu)覆蓋層的吸聲性能的影響

應(yīng)用聲波在多層介質(zhì)中傳播的一維模型,分析了玻璃微球的體積含量φ對單層結(jié)構(gòu)覆蓋層的吸聲性能的影響.單層結(jié)構(gòu)覆蓋層的厚度l=10 mm,而水和鋼板的參數(shù)如表3所示.為了突出覆蓋層的低頻吸聲性能,橫坐標(biāo)頻率 f采用對數(shù)坐標(biāo).當(dāng)聚合物中玻璃微球的體積含量φ=0%,覆蓋層的吸聲系數(shù)α很小.當(dāng)φ增大到5%,α?xí)@著提高.隨著φ的進(jìn)一步增大,α隨頻率變化的起伏較大.α在低頻的共振峰會(huì)移向更低頻率,帶寬變窄,高頻的吸聲系數(shù)降低.當(dāng)φ由5%增大到10%時(shí),α在低頻共振峰值升高;當(dāng)φ由10%增大到25%時(shí),低頻共振峰值逐漸降低.低頻共振峰值隨φ的變化,與聲速損耗角的正切值隨φ的變化相一致.隨著φ的增大,吸聲系數(shù)峰值之間的極小值顯著降低.例如,φ=25%時(shí),3450 Hz對應(yīng)的吸聲系數(shù)只有0.40.總之,隨著φ的增大,吸聲系數(shù)在低頻的峰值會(huì)移向更低的頻率,峰值先升高,然后逐漸降低.隨著φ的增大,較高頻率的吸聲系數(shù)降低.含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料覆蓋層的低頻和高頻吸聲性能存在一定的矛盾,在應(yīng)用過程中,需要平衡低頻和高頻吸聲性能.

表3 水、鋼板和空氣的參數(shù)

3.3 玻璃微球體積含量在覆蓋層厚度方向的分布對吸聲性能的影響

為了平衡復(fù)合材料覆蓋層的低頻和高頻吸聲性能,本文將玻璃微球的體積含量在覆蓋層厚度方向的分布進(jìn)行了優(yōu)化,在一些關(guān)鍵的頻段改善覆蓋層表面和水的聲阻抗匹配.將復(fù)合材料根據(jù)玻璃微球的體積含量φ從0到30%,以0.5%的間隔形成61種不同復(fù)合材料.將吸聲覆蓋層在厚度方向上等分成N層,每一層所用的材料可以從61種不同的復(fù)合材料中選取.雖然聲學(xué)中對多層聲阻抗匹配的問題已有較為成熟的理論[26,27],但是通常理論上要求的匹配材料在現(xiàn)實(shí)中不存在,因此本文采用遺傳算法對復(fù)合材料在厚度方向的分布進(jìn)行了優(yōu)化.遺傳算法優(yōu)點(diǎn)是只須設(shè)定優(yōu)化的目標(biāo),可以避開具體的物理過程,達(dá)到優(yōu)化的目的.

圖5 不同層數(shù)(N)的多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的玻璃微球體積含量φ在覆蓋層厚度方向上的分布 (a)N=10;(b)N=25;(c)N=50

定義吸聲系數(shù)α=0.7對應(yīng)的最小頻率為低頻截止頻率 fc.優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足 f＞fc,α≥0.7的前提下,使 fc盡可能小.將吸聲覆蓋層在厚度方向上分別等分成10,25,50層進(jìn)行了優(yōu)化.優(yōu)化后φ在厚度方向上的分布如圖5所示,三種優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均玻璃微球體積含量分別為12.3%,12.72%,14.44%.雖然分層不同,但是φ的分布有一定的相同點(diǎn)：由內(nèi)向外φ先減小,然后逐步增加,增加的過程中有起伏.雖然給定了φ從0到30%的61種復(fù)合材料,但是優(yōu)化算法只選擇了φ從2.5%到24%之間的復(fù)合材料.三種不同分層的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)譜圖如圖6(a)所示,吸聲系數(shù)的截止頻率 fc分別為2490,2580和2670 Hz,分層越多,fc越小.當(dāng) f＞fc,三種優(yōu)化結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)均大于0.7.分層越多,越有利于提高覆蓋層的低頻吸聲性能,但是對制備工藝的要求會(huì)更高.

圖6 (a)不同層數(shù)的多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)譜圖;(b)多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)與單層結(jié)構(gòu)(φ=12.72%和φ=6%)的吸聲系數(shù)譜圖

將多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)覆蓋層的吸聲性能與玻璃微球體積含量φ=12.72%和φ=6%的單層結(jié)構(gòu)覆蓋層做了比較.如圖6(b)所示,多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)和單層結(jié)構(gòu)(φ=12.72%)的截止頻率 fc相同,均為2580 Hz.盡管多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的高頻吸聲系數(shù)相對較弱,但是單層結(jié)構(gòu)(φ=12.72%)在4050—5230 Hz之間的α小于0.7,最小值為0.56.φ=6%是單層結(jié)構(gòu)滿足 f＞fc,α≥0.7的前提下,復(fù)合材料中的最大玻璃微球體積含量.雖然單層結(jié)構(gòu)(φ=6%)在 f＞6730 Hz的頻帶范圍的吸聲性能優(yōu)于多層優(yōu)化結(jié)構(gòu),但是其低頻截止頻率 fc為3440 Hz,比多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)高出了860 Hz.

將多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)覆蓋層的玻璃微球體積含量φ在厚度方向上進(jìn)行有序分布,形成兩種多層結(jié)構(gòu)覆蓋層,如圖7(a),(b)所示.多層結(jié)構(gòu)圖7(a)的玻璃微球體積含量φ在厚度方向上由內(nèi)向外增加;而多層結(jié)構(gòu)圖7(b)的φ由內(nèi)向外減小.如圖8所示,對比了多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)與多層結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)頻譜.盡管多層結(jié)構(gòu)(a)在高頻的吸聲性能優(yōu)于多層優(yōu)化結(jié)構(gòu),但是其低頻截止頻率 fc為2750 Hz,比多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)高出170 Hz,而且在4300—5300 Hz之間的α小于0.7.多層結(jié)構(gòu)(b)除了在3100—3500 Hz的吸聲系數(shù)α略大于多層優(yōu)化結(jié)構(gòu),其他頻帶的α均小于多層優(yōu)化結(jié)構(gòu).

通過以上的對比分析可以看出,相對于單層結(jié)構(gòu)和有序分布的多層結(jié)構(gòu),多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的低頻截止頻率較低,低頻的吸聲系數(shù)峰值之間的谷值較高.雖然高頻的吸聲系數(shù)較低,但是仍然大于0.7.

圖7 多層結(jié)構(gòu)(a)和(b)的玻璃微球體積含量在厚度方向的分布

由(15),(16)式可以看出,覆蓋層的表面聲阻抗和水的聲阻抗匹配越好,反射吸聲越小,吸聲系數(shù)越大.水的特性聲阻抗近似為實(shí)數(shù)(ρ0c0=1.5×106kg·m-2·s-1),因此表面的聲阻抗的實(shí)部Zr1要盡可能接近水的特性聲阻抗,而虛部盡快接近0.對比了多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)、多層結(jié)構(gòu)(a)和單層結(jié)構(gòu)(φ=12.72%)覆蓋層在4000—6000 Hz之間的表面聲阻抗.如圖9(a)所示,盡管三種結(jié)構(gòu)的覆蓋層的Zr1均小于水的特性聲阻抗,但是多層結(jié)構(gòu)在4500—5700 Hz之間的Zr1較大.如圖9(b)所示,對比三種結(jié)構(gòu)的覆蓋層的Zm1,多層結(jié)構(gòu)在4300—5800 Hz之間的Zm1曲線更接近Zm1=0.因此,多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)覆蓋層在低頻的吸聲系數(shù)峰值之間的谷值較高.

圖8 多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)與多層結(jié)構(gòu)(a),(b)的吸聲系數(shù)譜圖對比

圖9 多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)(N=25)與多層結(jié)構(gòu)(a),單層結(jié)構(gòu)(φ=12.72%)的覆蓋層的表面聲阻抗譜圖 (a)實(shí)部;(b)虛部

4 多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)吸聲覆蓋層的制備工藝分析

根據(jù)目前橡膠行業(yè)的技術(shù)條件,制備黏彈性復(fù)合材料的多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜,其制備工藝可以分為：

1)將一定體積的玻璃微球粉末與黏彈性聚合物生膠混煉,使得玻璃微球在聚合物中分散均勻,并按照設(shè)計(jì)要求,制備出不同玻璃微球體積含量的生膠;

2)將工序1)生成的不同玻璃微球體積含量的生膠,按照設(shè)計(jì)尺寸,壓延成一定面積和厚度的生膠片;

3)將工序2)生成的生膠片按照優(yōu)化的厚度分布疊在一起,生膠片有一定的黏性,各層膠片會(huì)自然粘貼到一起;

4)將工序3)生成的多層生膠片進(jìn)行硫化,便可以生成多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的黏彈性復(fù)合材料覆蓋層.

日常生活中常見的汽車輪胎就是一種黏彈性聚合物復(fù)合材料的多層結(jié)構(gòu),多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)的黏彈性復(fù)合材料覆蓋層的制備可以借鑒輪胎的制造工藝.

5 結(jié)論

玻璃微球的引入可以提高黏彈性復(fù)合材料的機(jī)械阻尼,影響?zhàn)椥詮?fù)合材料的力學(xué)和聲學(xué)性能.增加玻璃微球體積含量可以使復(fù)合材料覆蓋層的低頻吸聲系數(shù)的峰值移向更低頻率,但是高頻的吸聲系數(shù)會(huì)降低.采用遺傳算法對玻璃微球體積含量在覆蓋層厚度方向上的分布進(jìn)行優(yōu)化,可以在保證覆蓋層的高頻吸聲系數(shù)大于某一限值(例如0.7)的條件下,盡可以能提高其低頻吸聲性能.含玻璃微球的黏彈性復(fù)合材料多層優(yōu)化結(jié)構(gòu)覆蓋層中不含有宏觀的腔體,其耐壓性能有保證.另外,其結(jié)構(gòu)簡單,對制備工藝的要求不高.本文形成的理論方法可以實(shí)用于水下吸聲覆蓋層的設(shè)計(jì).

[1]He Z Y,Wang M 1996 Appl.Acoust.9 12(in Chinese)[何祚鏞,王曼1996應(yīng)用聲學(xué)9 12]

[2]Ma L L,Wang R Q 2006 Tech.Acoust.25 175(in Chinese)[馬黎黎,王仁乾2006聲學(xué)技術(shù)25 175]

[3]Ivansson S M,2006 J.Acoust.Soc.Am.119 3558

[4]Zhao H G,Liu Y Z,Wen J H,Yu D L,Wen X S 2007 Phys.Lett.A 367 224

[5]Chen H Y,Luo X D,Ma H R 2007 Phys.Rev.B 75 024306

[6]Ivansson S M 2008 J.Acoust.Soc.Am.124 1974

[7]Zhao H G,Liu Y Y,Wen J H,Yu D L,Wen X S 2007 Acta Phys.Sin.56 4700(in Chinese)[趙宏剛,劉耀宗,溫激鴻,郁殿龍,溫熙森2007物理學(xué)報(bào)56 470]

[8]Jiang H,Zhang M L,Wang Y R,Hu Y P,Lan D,Wei B C 2009 Chin.Phys.Lett.26 106202

[9]Zhang J M,Chang W,Varadan V K,Varadan V V 2001 Smart Mater.Struct.10 414

[10]Philip B,Abraham J K,Varadan V K,Natarajan V,Jayakumari V G 2004 Smart Mater.Struct.13 N99

[11]Yu L G,Li Z H,Ma L L 2012 Acta Phys.Sin.61 024301(in Chinese)[于利剛,李朝暉,馬黎黎2012物理學(xué)報(bào)61 024301]

[12]Wang X L 2007 J.Acoust.Soc.Am.122 2626

[13]Meyer E,Brendel K,Tamm K 1958 J.Acoust.Soc.Am.30 1116

[14]Gaunaurd G C,¨Uberall H 1978 J.Acoust.Soc.Am.63 1699

[15]Gaunaurd G C,¨Uberall H 1982 J.Acoust.Soc.Am.71 282

[16]Gaunaurd G C,Barlow J 1984 J.Acoust.Soc.Am.75 23

[17]Kerr F 1992 Int.J.Eng.Sci.30 169

[18]Cherkaoui M,Sabar H,Berveiller M 1994 J.Eng.Mater.Technol.116 274

[19]Baird A M,Kerr F H,Townend D J 1999 J.Acoust.Soc.Am.105 1527

[20]Haberman M R,Berthelot Y H,Jarzynski J 2002 J.Acoust.Soc.Am.112 1937

[21]Liang B,Zhu Z M,Cheng J C 2006 Chin.Phys.15 412

[22]Liang B,Zhu Z M,Cheng J C 2007 Chin.Phys.Lett.24 1607

[23]Liang B,Zhu Z M,Cheng J C 2007 Phys.Rev.E 75 016605

[24]Qin B,Liang B,Zhu Z M,Cheng J C 2007 Acta Acoust.32 110(in Chinese)[秦波,梁彬,朱哲民,程建春2007聲學(xué)學(xué)報(bào)32 110]

[25]Folds D L,Loggins C D 1977 J.Acoust.Soc.Am.62 1022

[26]Tomas E Gomez A A 2004 IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.and Frequency Control 51 624

[27]Stephen P K,Gordon H,Tomas E,Gomez A A 2004 IEEE Trans.Ultrason.Ferroelectr.and Frequency Control 51 1314