周萬富，蔡 萌，劉崇江，梁福民

(大慶油田有限責(zé)任公司 采油工程研究院，黑龍江 大慶 163453)

0 引言

在聚驅(qū)螺桿泵井采油工況下，螺桿泵采油井產(chǎn)出液是含有聚合物溶液的油水混合物復(fù)雜體系，這種產(chǎn)出液在螺桿泵采油井的抽油桿和油管所形成的環(huán)空中的流動，可視為粘彈性流體偏心環(huán)空螺旋流。研究粘彈性流體偏心環(huán)空螺旋流的速度分布對聚驅(qū)螺桿泵采油井生產(chǎn)參數(shù)的優(yōu)化提供理論依據(jù)。

關(guān)于流體偏心環(huán)空螺旋流，Ballal等[1]給出了忽略慣性力下Newton流體偏心環(huán)空螺旋流的流函數(shù)和軸向速度的解析解。張海橋等[2-3]推導(dǎo)了冪律流體環(huán)空螺旋流的視黏度和速度分布函數(shù)的解析表達(dá)式及流量的計算公式。崔海清等[4]推導(dǎo)并計算了冪律流體同心環(huán)空層流螺旋流的壓降，并通過實驗驗證了該流動的壓降方程和計算方法的正確性。張景富等[5]推導(dǎo)了在傾斜同心環(huán)空中冪律流體螺旋流層流流場的流動壓降的解析式，并引入當(dāng)量間距的概念，給出了偏心環(huán)空中冪律流體螺旋流層流壓降的計算公式。崔海清等[6-7]采用有限差分法對冪律流體偏心環(huán)空螺旋流的二次流和速度分布進(jìn)行了數(shù)值計算。季海軍等[8]推導(dǎo)了Newton流體在內(nèi)外管同時旋轉(zhuǎn)的偏心環(huán)空螺旋流的穩(wěn)定性參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并以水為例，對影響穩(wěn)定性參數(shù)分布及其峰值出現(xiàn)區(qū)域的因素進(jìn)行了分析。蔡萌[9]利用待定系數(shù)法對冪律流體偏心環(huán)空螺旋流的壓力梯度進(jìn)行了數(shù)值計算，并分析了環(huán)空內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度、偏心距及流量對其的影響。

本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，用變系數(shù)二階流體描述粘彈性流體的流變性，建立粘彈性流體偏心環(huán)空螺旋流的控制方程，利用有限差分法對上述控制方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到該流動的軸向速度分布及切向速度分布，并分析環(huán)空內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度、偏心度及壓力梯度對其的影響。

1 假設(shè)條件

不可壓縮粘彈性流體在無限長垂直偏心環(huán)空中做等溫層流流動。環(huán)空內(nèi)、外管半徑分別為Ri和Ro，其軸線平行且相距為e。外管靜止，內(nèi)管繞其自身軸線以等角速度Ωi自轉(zhuǎn)。作用于流體上的壓力梯度為P，且平行于環(huán)空內(nèi)、外管軸線。

圖1 流體偏心環(huán)空螺旋流

2 控制方程

2.1 本構(gòu)方程

(1)

(2)

(3)

這里粘度函數(shù)η，第一法向應(yīng)力差系數(shù)θ1及第二法向應(yīng)力差系數(shù)θ2都是一階Rivlin-Ericksen張量的第二不變量I2的函數(shù)，其表達(dá)形式為

(4)

θ1=A1I2n1

(5)

θ2=A2I2n2

(6)

式中：n為流性指數(shù)；k為稠度系數(shù)；A1、n1、A2、n2分別為第一、二法向應(yīng)力差系數(shù)θ1、θ2的物質(zhì)常數(shù)。

(7)

c=chξcosζ-1

(8)

s=shξsinζ

(9)

(10)

式中：ψ為流函數(shù)，m2·s-1；w為軸向速度函數(shù)，m·s-1。

2.2 連續(xù)性方程

▽·v=0

(11)

2.3 運(yùn)動方程

(12)

(13)

2.4 邊界條件方程

ψ(ξi,ζ)=0

(14)

(15)

(16)

(17)

w(ξi,ζ)=0

(18)

w(ξo,ζ)=0

(19)

(20)

其中：

(21)

3 切向速度分布

粘彈性流體偏心環(huán)空螺旋流的切線速度分布為

(22)

4 數(shù)值計算

利用有限差分法對控制方程式(1)～(21)進(jìn)行數(shù)值求解，其具體方法為：

10)輸出流函數(shù)ψi,j、軸向速度wi,j；

11)由式(22)數(shù)值計算切向速度vζi,j。

5 算例

質(zhì)量百分比濃度為0.1%HPAM水溶液的密度ρ=9.992×102kg·m-3，流性指數(shù)n=0.7861，稠度系數(shù)k=0.1289Pa·s0.7861，第一法向應(yīng)力差系數(shù)θ1、θ2的物質(zhì)常數(shù)分別為A1=0.4728N·sn1+2·m-2，n1=-1.500，A2=0.0946N·sn1+2·m-2，n2=-1.500；

水的密度ρ=9.994×102kg·m-3，粘度μ=1.060×10-3Pa·s；

環(huán)空內(nèi)管半徑Ri=1.600×10-2m，外管半徑Ro=3.500×10-2m；

圖2 不同內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度情況下的切向速度分布圖 圖3 不同偏心度情況下的切向速度分布

圖4 不同內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度情況下的軸向速度分布圖 圖5 不同偏心度情況下的軸向速度分布

圖6 不同壓力梯度情況下的軸向速度分布

由圖2可以看出：在環(huán)空偏心度相同的情況下，環(huán)空中出現(xiàn)二次流(vζ<0)，且自轉(zhuǎn)速度對二次流區(qū)域的影響不大。

由圖3可以看出：在內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度相同的情況下，環(huán)空中出現(xiàn)二次流(vζ<0)，且二次流的區(qū)域隨著環(huán)空偏心度的增大而增大。

由圖4可以看出：在環(huán)空偏心度和壓力梯度相同的情況下，在環(huán)空寬間隙(ζ=0)處，內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度對軸向速度的影響不大，且軸向速度的最大值偏向環(huán)空外管；在環(huán)空窄間隙(ζ=π)處，軸向速度隨著內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度的增大而略有增大，且軸向速度的最大值偏向環(huán)空外管。

由圖5可以看出：在內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度和環(huán)空壓力梯度相同的情況下，在環(huán)空寬間隙(ζ=0)處，軸向速度隨著環(huán)空偏心度的增大而增大，且軸向速度的最大值偏向環(huán)空外管；在環(huán)空窄間隙(ζ=π)處，軸向速度隨著環(huán)空偏心度的增大而減小，且軸向速度的最大值偏向環(huán)空外管。

由圖6可以看出：在內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度和環(huán)空偏心度相同的情況下，無論在環(huán)空寬間隙(ζ=0)處，還是窄間隙(ζ=π)處，軸向速度均隨著環(huán)空壓力梯度的增大而增大，且軸向速度的最大值均偏向環(huán)空外管。

6 結(jié)語

1)建立了用變系數(shù)二階流體本構(gòu)方程描述粘彈性流體特性的偏心環(huán)空螺旋流的控制方程。

2)利用有限差分法對變系數(shù)二階流體偏心環(huán)空螺旋流的控制方程進(jìn)行了數(shù)值計算，得到了該流動的軸向速度分布和切向速度分布；結(jié)果表明：在環(huán)空寬間隙和窄間隙處，該流動的切向速度與內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度、環(huán)空偏心度有關(guān)；軸向速度與內(nèi)管自轉(zhuǎn)速度、環(huán)空偏心度及壓力梯度有關(guān)。

3)粘彈性流體偏心環(huán)空螺旋流速度分布的數(shù)值計算為聚驅(qū)螺桿泵井生產(chǎn)參數(shù)的優(yōu)化提供了必要的理論依據(jù)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] Ballal B Y , Rivlin R S．Flow of a Viscoelastic Fluid Between Eccentric Rotating Cylinders [J]．Transactions of the Society of Rheology，1976，20(1)：65-101．

[2] 崔海清，張海橋．冪律液體環(huán)形空間螺旋流的視粘度和速度分布[J]．大慶石油學(xué)院學(xué)報，1984，8(3)：25-33．

[3] 張海橋，崔海清．冪律液體環(huán)形空間層流螺旋流的流量計算[J]．大慶石油學(xué)院學(xué)報，1984，8(4)：159-168．

[4] 崔海清，張海橋．冪律液體環(huán)形空間層流螺旋流的壓降計算[J]．石油學(xué)報，1985，6(3)：105-112．

[5] 張景富，李邦達(dá)．冪律液體偏心環(huán)空螺旋流層流壓降計算[J]．石油鉆采工藝，1992，14(3)：13-20．

[6] 崔海清，劉希圣．冪律流體偏心環(huán)空螺旋流中的二次流問題[J]．水動力學(xué)研究與進(jìn)展，1995，10(6)：610-620．

[7] 崔海清，劉希圣．非牛頓流體偏心環(huán)形空間螺旋流的速度分布[J]．石油學(xué)報，1996，17(2)：76-83．

[8] 季海軍，張新，崔海清，等．流體在內(nèi)外管同時旋轉(zhuǎn)的偏心環(huán)空中螺旋流的穩(wěn)定性參數(shù)[J]．大慶石油學(xué)院學(xué)報，2005，29(4)：29-32．

[9] 蔡萌．冪律流體偏心環(huán)空螺旋流壓力梯度的數(shù)值計算[J]．石油鉆采工藝，2010，32(2)：11-14．