杜 妍，楊玉華

（1.天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津300000；2.華北電力大學(xué)數(shù)理系，河北保定071003）

1 引言

電磁懸浮技術(shù)是集電磁學(xué)、電子技術(shù)、控制工程、信號處理、機(jī)械學(xué)、動力學(xué)為一體的機(jī)電一體化技術(shù)。隨著電子技術(shù)、控制工程、信號處理元器件、電磁理論及新型電磁材料的發(fā)展和轉(zhuǎn)子動力學(xué)的進(jìn)展，磁懸浮技術(shù)得到了長足的發(fā)展［1]。電磁懸浮技術(shù)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，并已成為進(jìn)行相關(guān)高科技研究的重要手段。電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)是用實(shí)驗(yàn)的方法去研究電磁學(xué)理論的規(guī)律。目前關(guān)于電磁感應(yīng)浮力實(shí)驗(yàn)的演示及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析信息量相對較少，而電磁感應(yīng)原理已廣泛應(yīng)用于諸多科研領(lǐng)域。因此，對電磁感應(yīng)浮力實(shí)驗(yàn)演示及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析是十分必要的。自行設(shè)計加工制成了交流電電磁感應(yīng)浮力演示裝置，對實(shí)驗(yàn)原理及現(xiàn)象進(jìn)行了探討，研究成果可用于教學(xué)展示、科研等方面參考。

2 電磁感應(yīng)浮力實(shí)驗(yàn)原理分析

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置簡介

演示實(shí)驗(yàn)裝置主要由一個銅線圈和一塊鋁板構(gòu)成。實(shí)驗(yàn)過程概述如下：在銅線圈l內(nèi)通入交變電流i，下方放置鋁板，則鋁板處將有磁場產(chǎn)生。此磁場會激發(fā)出電場和渦流。渦流將進(jìn)一步產(chǎn)生反作用于線圈的磁場，使線圈受到一個電磁感應(yīng)浮力，最終克服重力產(chǎn)生懸浮效果。實(shí)驗(yàn)裝置模型如圖1所示。

2.2 交變電流產(chǎn)生磁場

根據(jù)畢奧－沙伐定律，有：

式中：idl為元電流，R為線電流回路到作用點(diǎn)之間的距離。

i-Bz幾何關(guān)系如圖2所示，可以推出B點(diǎn)所受電磁磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。?/p>

其中，idl為元電流，R為線圈半徑，r為渦流半徑，α為r與y軸夾角，l為線圈上B點(diǎn)到A點(diǎn)的距離，ε為dl和eR之間的夾角。線電流回路產(chǎn)生的磁場呈對稱分布，如圖3所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置模型圖

圖2 i-Bz幾何關(guān)系分析圖

圖3 線電流回路產(chǎn)生的磁場分布示意圖

對線電流回路產(chǎn)生的磁場進(jìn)行進(jìn)一步分析可知，磁場的水平分量將左右抵消，因此真正作用在圖2中A點(diǎn)的只有磁場的垂直分量Bz。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)我們得到Bz的表達(dá)式：

其中 i＝imsinwt。

2.3 由磁場產(chǎn)生電場及渦流

法拉第電磁感應(yīng)定律告訴我們，交變磁場B和它感應(yīng)出的電場強(qiáng)度E之間存在微分關(guān)系：

利用柱坐標(biāo)系，可求得Bz感應(yīng)出的電場強(qiáng)度：

其中ρ為渦流回路半徑微元。根據(jù)磁感應(yīng)產(chǎn)生的情況分析，我們認(rèn)為E只有φ方向而無ρ和Z方向分量，所以Eφ對Z的偏導(dǎo)為零。從而

麥克斯韋方程組揭示了渦流和它激發(fā)它的電場之間的定量關(guān)系：

注意，此處考慮到鋁板電感，增加了jwl一項(xiàng)。其中R0為鋁板電阻。

2.4 由渦流產(chǎn)生反作用于線圈的磁場及電磁感應(yīng)浮力

首先計算渦流J產(chǎn)生的電流大小為：

圖4 J-F幾何關(guān)系分析圖

其中d0為面積微元的厚度。

J－F幾何分析如圖4所示，并將（9）式代入畢奧-沙伐定律，有：

B′方向?yàn)槠矫姒模u流J方向和兩點(diǎn)距離方向矢量確定的平面）的法線方向。B″方向?yàn)樗椒较颉ＴO(shè)ε為平面δ與水平方向的夾角，γ為B′和水平方向的夾角，則ε與γ互為余角。由于最終要求的浮力是垂直向上的，因此這里需求B′的徑向分量Br。由圖4可知：

利用法拉第電磁感應(yīng)定律求得線圈所受電磁感應(yīng)浮力為：

由電磁感應(yīng)浮力F的最終表達(dá)式可以看到，（12）式中包含因子sinwt·coswt，由數(shù)學(xué)知識易知sinwt·coswt＝1／2sin2wt，此時線圈在一個周期內(nèi)所受浮力平均值將為0?？紤]到實(shí)驗(yàn)中用于產(chǎn)生渦流的鋁板內(nèi)除有電阻外還有電感存在，因此在上述（8）式分母位置上增加jwl一項(xiàng)，使sinwt產(chǎn)生90°相位偏移，此時浮力平均值不再為0。并且我們認(rèn)為 wl＞＞R0，從而有：

本實(shí)驗(yàn)中僅討論鋁板內(nèi)存在的自感。在各向同性的線性介質(zhì)中，如磁場由某一電流回路產(chǎn)生，則穿過此回路所限定面積的磁通，與回路中電流有正比關(guān)系，也就是與回路相交鏈的磁鏈ψL和電流成正比：ψL＝LI；磁路中磁動勢、磁通和磁阻的關(guān)系為F＝φ·R；磁鏈又等于導(dǎo)電線圈匝數(shù)N和穿過該線圈的各匝的平均磁通量φ的乘積：ψL＝Nφ。當(dāng)電流一定時，產(chǎn)生的磁動勢一定，所以磁阻越大，磁通就越小，計算出的鋁板電感也就越小。實(shí)驗(yàn)中將用鐵芯和鐵板搭建成鐵磁回路，因?yàn)殍F的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣，所以鐵磁回路可以增大磁通，進(jìn)一步增大電感，防止電磁感應(yīng)浮力為零的現(xiàn)象發(fā)生。

3 仿真分析

因?yàn)榇藢?shí)驗(yàn)推導(dǎo)出的最終公式中的積分無法求出解析解的表達(dá)式，所以難以對電磁感應(yīng)浮力進(jìn)行定量討論。但利用微元法及Matlab軟件可以近似測繪出電磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz、渦流J和渦流回路半徑r之間的定性關(guān)系曲線，如下所示。

表1 仿真參數(shù)表

3.1 仿真參數(shù)與仿真數(shù)據(jù)圖

3.1.1 Bz隨渦流環(huán)路半徑r的變化趨勢

取渦流半徑為0.1mm，通入1A電流時產(chǎn)生的Bz從圓心開始隨半徑的變化趨勢如圖5所示，可以看出，圓心處磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，并且磁感應(yīng)強(qiáng)度隨半徑增大而減小。

3.1.2 J隨渦流環(huán)路半徑r的變化趨勢

圖5 Bz曲線

圖6 J曲線

取渦流半徑為0.1mm，通入1A電流時產(chǎn)生的J從圓心處開始隨半徑的變化趨勢如圖6所示，可以看出，圓心處電流密度最大，并且電流密度隨半徑增大而減小。

4 電磁感應(yīng)浮力實(shí)驗(yàn)過程、現(xiàn)象及分析

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置及參數(shù)

基于上述分析，可設(shè)計出電路圖如圖7所示，并給出相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)。將線圈、數(shù)字萬用表、保險裝置、自耦調(diào)壓器依次串聯(lián)。其中，鐵芯和鐵板構(gòu)成磁回路，鋁板用于產(chǎn)生渦流及感應(yīng)磁場，萬用表打在電流檔，用于測量電路中電流大小，自耦調(diào)壓器用于逐步增大電壓。

圖7 實(shí)驗(yàn)電路連接圖

4.2 實(shí)驗(yàn)過程詳述

4.2.1 完整鐵磁回路條件下的磁懸浮現(xiàn)象

按上述電路圖連接好電路并檢查無誤后，閉合開關(guān)，逐步增大電路中電壓使電流增大。當(dāng)電流達(dá)到一定數(shù)值時，可以看到線圈在電磁感應(yīng)浮力和重力共同作用下向上升起，且達(dá)到一定高度時，處于動平衡懸浮狀態(tài)。由于電磁感應(yīng)浮力是一種震蕩性質(zhì)的力，因此線圈是一種懸浮振動。另外線圈的溫度也顯著升高，這是由于感應(yīng)電流的熱效應(yīng)所致。觀察過程中及時記錄下通入電流的大小及對應(yīng)線圈升起的高度?？紤]到銅線圈承受的最大電流為20A，當(dāng)萬用表示數(shù)接近20A時應(yīng)立即斷電，線圈下落。

4.2.2 非完整鐵磁回路條件下的磁懸浮現(xiàn)象

將鋁板上放置的鐵芯取走，只保留一半鐵磁回路，再次按上述步驟進(jìn)行試驗(yàn)，可以觀察到當(dāng)通入同樣大小的電流時，線圈上升的高度明顯小于第一次實(shí)驗(yàn)。

4.2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

實(shí)驗(yàn)過程中記錄在完整鐵磁回路和非完整鐵磁回路兩種情況下的起飛電流，最大電流（斷電時電流）及線圈升起的高度，數(shù)據(jù)整理如下。

從表3中可以看出，鐵磁回路的完整與否對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很大影響，原因解釋如下：在鐵磁回路不完整時，因?yàn)榭諝獾拇艑?dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鐵芯磁導(dǎo)率，所以磁通、電感同時減小，因此電磁感應(yīng)浮力也顯著減小。

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)表

表3 測量數(shù)據(jù)表

5 優(yōu)化電磁感應(yīng)浮力的設(shè)想

為了使電磁感應(yīng)浮力演示裝置的磁懸浮效果更好，結(jié)合上述分析提出以下設(shè)想：

（1）線圈應(yīng)纏繞均勻，以便在實(shí)驗(yàn)過程中線圈各部分受力均勻，懸浮更為穩(wěn)定。

（2）線圈形狀應(yīng)盡可能接近扁平狀，以增大線圈半徑，從而增大浮力。

（3）提供較強(qiáng)的磁場。

［1] 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導(dǎo)論［M] .北京：高等教育出版社，2007.

［2] 劉自華，湯光華，隆 平，賀新元，何志杰.電磁感應(yīng)浮力演示裝置實(shí)驗(yàn)分析［J] .實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2009，（7）：26－29.