王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 馬列與公共教學(xué)部，江蘇 蘇州 215104)

極小子流形的相關(guān)研究

王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 馬列與公共教學(xué)部，江蘇 蘇州 215104)

本文主要涉及極小子流形的相關(guān)研究。通過對(duì)子流形結(jié)構(gòu)的深入了解，本文使用calibrated幾何中提出的calibration，來得到極小子流形。進(jìn)一步，以Rk+h中的極小錐面為例，可以得到歐氏空間中的極小超曲面。

子流形;calibration;極小錐面

0 引言

自從Euler研究面積最小的旋轉(zhuǎn)面以及Lagrange首次導(dǎo)出極小曲面方程以來，極小曲面論題已經(jīng)歷了二百多年的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家在這方面做出了杰出的工作，如Chern［1］，Douglas［2］等。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)極小子流形的研究充實(shí)了微分幾何，對(duì)諸如拓?fù)鋵W(xué)、幾何測度論等相關(guān)學(xué)科的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。Calibration是Harvey與Lawson等人1982年［3］中開始系統(tǒng)研究的，它是研究子流形的有力工具。Federer等用Kahler形式給出calibration;Gluck等用Euler形式給出calibration，并研究了Grassmann流形上用Pontragin形式作為calibration的積分子流形。近年來理論物理學(xué)家在M-理論的研究中，也開始引用這一結(jié)果。通過對(duì)子流形［4］和超曲面［5］結(jié)構(gòu)的深入了解，本文使用calibrated幾何中提出的calibration，來得到極小子流形。進(jìn)一步，以Rk+h中的極小錐面為例，可以得到歐氏空間中的極小超曲面。

1 極小子流形

N

黎曼流形(N，)中的m維浸入(設(shè)f:M→)子流形M，若它的平均曲率處處為零，則M是極小子流形。進(jìn)一步，若M是緊致帶邊有向等距浸入光滑流形，定義它的任意一個(gè)固定邊界的變分F:M×(－ε，ε)→N，則由Ft的體積給出函數(shù)V(t)=Vol(M，(Ft)*)得到體積的第一變分公式:

其中子流形f:M→N的平均曲率向量為H，F(xiàn)的變分向量為ω，子流形M的體積元素為dV。體積的第二變分公式:

則M是歐氏空間中極小超曲面。

2 Riemann流形上的Calibration及其積分子流形

3 極小超曲面和Calibration

定理歐氏空間Rn+1中某區(qū)域上的calibrationξ可以得到Rn+1中的極小超曲面。

‖ξ‖ =1，計(jì)算可得

則ξ為D×R?Rn+1上的n－形式。

例下面討論Rn=Rk×Rh(n=k+h)中的錐面

由

我們得到Rk+h中區(qū)域a|y|2－|x|2+x21≥0上的(n－1)－形式

由定理3可知，Ck，h為Rk+h中的極小錐的條件為dξ=0，即

為極小錐面。Rn+1上的calibration局部可以決定Rn=Rk×Rh中的極小錐面Ck，h。

［1］S.S.Chern.Minimal Submanifolds in a Remannian Manifold［A］.Shiing-shern Chern Selected Papers［C］.Vol.4，New York:Springer-Verlag，1989:399-402.

［2］Douglas J.，Minimal surface of higher topological structure［J］.Ann，Math，1939(40):205-248.

［3］F.R.Harvey，H.B.Lawson.JR.Calibrated geometries［J］.Acta Math，1982(148):47-157.

［4］何太平，羅宏.常曲率空間中具正Ricci曲率的子流形［J］.數(shù)學(xué)年刊A輯，2011(6):679-686.

［5］高秀娟，朱穎莉.關(guān)于曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)研究［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2006(6):23-26.

Correlation Research on Minimal Submanifolds

WANG Qing
(Department of Marxism and Public Courses，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper mainly studies the theory of minimal submanifolds.By means of the structure of submanifolds，it uses calibration in calibrated geometry to get the minimal submanifolds.In addition，by taking the minimal conical surface in Rk+has an example，it gets the minimal hypersurface in Euclidean Space.

minimal submanifold;calibration;minimal conical surface

O189

A

1009-3907(2013)10-1283-03

2013-09-18

王慶(1979-)，男，江蘇揚(yáng)州人，講師，主要從事微分幾何與數(shù)學(xué)模型方面研究。

責(zé)任編輯:

程艷艷