趙志宏，張 明，楊紹普，邢海軍

(1.石家莊鐵道大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

非線性系統(tǒng)的分岔與混沌的研究自20世紀(jì)80年代就引起了人們的廣泛關(guān)注，已取得大量的研究成果。許多典型的例子具有相同或相似的非線性動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)這些行為的研究是非線性動(dòng)力學(xué)的主要課題。Duffing方程作為典型的非線性動(dòng)力學(xué)模型，是研究重力擺和端部有集中質(zhì)量的彈性梁的典型例子，而van der Pol系統(tǒng)是自激系統(tǒng)的例子。為了得到更多的動(dòng)力學(xué)行為，人們開始研究在非線性振動(dòng)系統(tǒng)的模擬中有廣泛應(yīng)用的Duffing和van der Pol方程的組合Duffingvan der Pol方程，在對(duì)此系統(tǒng)的研究中，大多數(shù)研究的是單頻激勵(lì)下某一參數(shù)變化的振動(dòng)狀態(tài)［1］，在實(shí)際工程中，外部激勵(lì)多為多頻激勵(lì)，即系統(tǒng)存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的激勵(lì)源，或者是機(jī)械運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致路面對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的激勵(lì)加上機(jī)械本身的動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生的激勵(lì)所形成。多頻激勵(lì)產(chǎn)生的混沌行為往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，甚至?xí)瓜到y(tǒng)徹底崩潰。因此，有必要研究多頻激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的影響，這對(duì)解決工程實(shí)際問題也有很大的幫助。

楊德森等［2］研究了多頻激勵(lì)Duffing系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)，本文主要對(duì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)進(jìn)行研究，Duffing-van der Pol系統(tǒng)已經(jīng)作為物理學(xué)、電子學(xué)、機(jī)械工程學(xué)等許多領(lǐng)域的研究模型。例如，用于模擬流量導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題。人們對(duì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究工作［3－6］，Maccari［5］利用漸進(jìn)攝動(dòng)法研究了Duffing-van der Pol系統(tǒng)的主共振，給出了產(chǎn)生倍周期運(yùn)動(dòng)的充分條件。董建寧等［6］利用數(shù)值方法研究了多頻激勵(lì)作用下Duffing-van der Pol的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)近似解幅頻曲線的影響，并利用奇異性理論得到了系統(tǒng)的全部分岔響應(yīng)曲線。本文對(duì)比研究了多頻激勵(lì)幅頻曲線與單頻激勵(lì)幅頻曲線，利用多尺度法分析Duffing-van der Pol系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下的主共振幅頻特性，并通過數(shù)值仿真研究了Duffing-van der Pol系統(tǒng)在不同多頻激勵(lì)對(duì)振動(dòng)狀態(tài)的影響。

1 多頻激勵(lì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的解析分析

Duffing-van der Pol系統(tǒng)在兩個(gè)頻率的激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為［7－8］:

其中:ω0為系統(tǒng)的固有頻率，β為非線性阻尼系數(shù)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，ω1和ω2分別為兩個(gè)外激勵(lì)的幅值和頻率，ε為小參數(shù)。如果系統(tǒng)阻尼較小，這時(shí)很小的激勵(lì)幅值F1也會(huì)激發(fā)出強(qiáng)烈的共振，因此研究主共振時(shí)要對(duì)系統(tǒng)的外激勵(lì)幅值和頻率加以限制。本文主要研究主共振時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)，對(duì)方程(1)進(jìn)行如下變換:

則變換為:

運(yùn)用多尺度法得到方程(3)的平均方程為:

其中:

當(dāng)系統(tǒng)作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，有a=0，φ=0，此時(shí):

方程(5)消去φ，可以得到:

方程組(6)得到的是Duffing-van der Pol系統(tǒng)在多頻激勵(lì)條件下，作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)的主共振幅頻和相頻特性。通過對(duì)式(6)進(jìn)行大量的數(shù)值仿真得到，系統(tǒng)主共振的解有多值特性，在一定的頻率范圍內(nèi)，幅頻方程具有不穩(wěn)定解。不穩(wěn)定的解出現(xiàn)在中間解，穩(wěn)定解出現(xiàn)在兩邊較大或較小的解處。通過系統(tǒng)主共振幅頻特性曲線，能夠分析出多頻激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的影響。

2 多頻激勵(lì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)主共振狀態(tài)的幅頻特性曲線分析

選取Duffing-van der Pol系統(tǒng)(1)的一組參數(shù)為:α=5，f=1，β =0.3，ω0=1，F(xiàn)2=0，ω2=0。圖 1 給出了不同激勵(lì)條件下系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線。對(duì)比在不同參數(shù)下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，可以得到各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)響應(yīng)的影響。

首先，考慮多頻激勵(lì)幅值參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)主共振幅頻特性的影響。圖1(a)中虛線表示的是Duffingvan der Pol系統(tǒng)受到單頻激勵(lì)F1cos(ω1t)作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線;兩條實(shí)線表示的是，系統(tǒng)在兩項(xiàng)外部激勵(lì)作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，選取的參數(shù)為F2=2，ω2=2 和F2=3，ω2=2。由圖1(a)可知，與單頻激勵(lì)條件下系統(tǒng)的主共振振幅相比較，加入第二項(xiàng)激勵(lì)F2cosω2t以后，系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)會(huì)改變，并且隨著外激勵(lì)的振幅的增大，系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的改變?cè)酱蟆?/p>

系統(tǒng)在兩個(gè)頻率外激勵(lì)作用下主共振曲線和系統(tǒng)的共振域發(fā)生變化，主共振曲線向右發(fā)生移動(dòng)。隨著第二項(xiàng)外激勵(lì)幅值的增加時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線偏移量變大，系統(tǒng)的幅值相應(yīng)變小。

接著研究多頻激勵(lì)頻率參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的影響。圖1(b)中虛線表示的是單頻激勵(lì)條件下，Duffingvan der Pol系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線;兩條實(shí)線表示的是，系統(tǒng)在兩個(gè)頻率外部激振作用下的主共振幅頻響應(yīng)曲線，選取的參數(shù)為 F2=2，ω2=2和 F2=2，ω2=1.5。從圖中可以得到，當(dāng)外激勵(lì)頻率ω2變大，且與ω1越接近時(shí)，幅頻曲線的偏移量越大，系統(tǒng)的共振域改變也相應(yīng)越大，系統(tǒng)的幅值變化越大。相反，當(dāng)外激勵(lì)頻率ω2繼續(xù)變大，且與ω1相差越來(lái)越多時(shí)，幅頻曲線的偏移量越小，系統(tǒng)的共振域改變也相應(yīng)越小，系統(tǒng)的幅值變化越小。

通過分析可知，與單頻激勵(lì)相比，多頻激勵(lì)的加入使主共振曲線也相應(yīng)的發(fā)生變化，即影響到系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的變化。而且，當(dāng)系統(tǒng)加入外激勵(lì)以后，系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)會(huì)改變，并且隨著外激勵(lì)振幅越大，系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的改變?cè)酱?當(dāng)加入多頻激勵(lì)的頻率與原頻率接近時(shí)，系統(tǒng)可能發(fā)生共振，導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)變化明顯。換句話說(shuō)，加入多頻激勵(lì)的頻率與原頻率相差的越大，系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)改變的越小，越接近原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖1 Duffing-van der Pol系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線Fig.1 Curve of amplitude-frequency response characteristics of Duffing-van der Pol system

3 數(shù)值分析

分岔是當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)于一定的參數(shù)值，系統(tǒng)(方程)的解失去穩(wěn)定性而同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)解的現(xiàn)象。本文采用最大值法畫出分岔圖，并計(jì)算相應(yīng)條件下的Lyapunov指數(shù)譜。分別在單頻激勵(lì)和多頻激勵(lì)條件下，對(duì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析。非線性系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)具有十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，可以用最大Lyapunov指數(shù)表示系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)空間軌跡的發(fā)散率，如果Lyapunov指數(shù)為正，意味著在系統(tǒng)的相空間中，無(wú)論初始兩條軌跡的間距多么小，其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無(wú)法預(yù)測(cè)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)具有混沌特征［9］;若為負(fù)值則系統(tǒng)對(duì)初值不敏感，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)收斂到平衡點(diǎn)。Duffing-van der Pol系統(tǒng)一階微分方程如下式所示［10］:

利用 F1作為分岔參數(shù)，參數(shù)選取 ω1=1，應(yīng)用MATLAB求解式(7)，采用最大值法畫出分岔圖如圖2、圖3、圖4 所示。

圖2(a)是單頻外激勵(lì)條件下ω1=1振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的分岔圖，圖2(b)是單頻激勵(lì)下振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的Lyapunov指數(shù)曲線，從Lyapunov指數(shù)曲線圖中，可以清楚地看到與分岔圖所揭示的系統(tǒng)狀態(tài)一致的變化規(guī)律。當(dāng)F1在0到3，4到6，9到12時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)主要處于混沌狀態(tài)，此參數(shù)區(qū)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)多為大于零的值，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定。3到4，12到15時(shí)，系統(tǒng)比較穩(wěn)定，其運(yùn)動(dòng)收斂到平衡點(diǎn)。

圖2 單頻激勵(lì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under single-frequency excitation

圖3 多頻激勵(lì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

圖4 多頻激勵(lì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

圖3(a)是系統(tǒng)多頻激勵(lì)條件下振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的分岔圖，圖3(b)是多頻激勵(lì)下振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的Lyapunov指數(shù)曲線，與單頻激勵(lì)ω1=1相比，系統(tǒng)增加了 F2=2，ω2=0.9的外激勵(lì)項(xiàng)?？梢钥闯靓?與ω1很接近時(shí)，系統(tǒng)在絕大部分區(qū)域呈現(xiàn)出來(lái)的混沌狀態(tài)，說(shuō)明此系統(tǒng)與單頻激勵(lì)的系統(tǒng)相比系統(tǒng)穩(wěn)定性大大減弱了。多頻激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)的影響比較明顯。圖3與圖2的差異性是因?yàn)楫?dāng)ω1=1，F(xiàn)2=2，ω2=0.9 時(shí)，頻率接近，系統(tǒng)可能發(fā)生共振，振動(dòng)最強(qiáng)烈，所以系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)改變明顯。

圖4(a)是多頻激勵(lì)條件下振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的分岔圖，圖4(b)是多頻激勵(lì)下振動(dòng)狀態(tài)隨激勵(lì)幅值F1變化的的Lyapunov指數(shù)曲線，與單頻激勵(lì)ω1=1相比，系統(tǒng)增加了F2=2，ω2=10的外激勵(lì)項(xiàng)。從Lyapunov指數(shù)曲線圖中，可以看到與圖2(a)分岔圖所揭示的系統(tǒng)狀態(tài)一致的變化規(guī)律。當(dāng)F1在0到3，4到6，9到12時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)主要處于混沌狀態(tài)，此參數(shù)區(qū)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)多為大于零的值，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定。3到4，12到15時(shí)，系統(tǒng)比較穩(wěn)定，其運(yùn)動(dòng)收斂到平衡點(diǎn)。通過圖4和圖2系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)曲線可知，兩種激勵(lì)條件下，在各參數(shù)的區(qū)間上Duffing-van der Pol系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)基本相同，也就是說(shuō)所加入的外激勵(lì)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)改變較小。這種情況是在兩個(gè)外激勵(lì)的頻率相差較大時(shí)出現(xiàn)的，與上面的解析分析的結(jié)果相符。圖4與圖2一致性的原因是當(dāng)ω1=1，F(xiàn)2=2，ω2=10時(shí)，頻率相差較大，系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生共振，所以系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)改變不明顯。

4 結(jié)論與展望

本文通過分析多頻激勵(lì)對(duì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)的影響可知，幅頻特性曲線、分岔圖、Lyapunov指數(shù)曲線可以表示系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)。并且隨著兩個(gè)激勵(lì)項(xiàng)的振幅和頻率的改變，系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)呈現(xiàn)出一定規(guī)律的改變。與楊德森等人提出的多頻激勵(lì)Duffing系統(tǒng)相比，Duffing-van der Pol在加入多頻激勵(lì)時(shí)幅頻特性曲線更復(fù)雜，除了發(fā)生平移，幅值還發(fā)生了一定規(guī)律的減小，即減小幅值的一種方法。Duffing-van der Pol系統(tǒng)在加入的多頻激勵(lì)的幅值較大和加入的多頻激勵(lì)的頻率與單頻激勵(lì)的頻率相差較小時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)改變的越大。通過數(shù)值仿真可知，以上兩種情況與解析得出的結(jié)論比較一致。

本文利用 MATLAB對(duì)Duffing-van der Pol系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)特性進(jìn)行了研究，Duffing-van der Pol系統(tǒng)的次共振情況還有待進(jìn)一步研究。

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