張仲海，王 多，王太勇，林錦州，蔣永翔

(1.天津大學(xué) 機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300072;2.航天晨光股份有限公司研究院，南京 211100)

自從Benzi等［1］研究古氣象冰川問題提出隨機共振(Stochastic Resonance，SR)概念以來，SR現(xiàn)象受到了廣泛的關(guān)注。隨機共振現(xiàn)象是一種非線性現(xiàn)象，它在一定條件下，將部分高頻噪聲能量轉(zhuǎn)移到低頻信號上，在降低噪聲的同時能夠使淹沒于噪聲中的弱信號得到共振加強，極大地提高輸出信噪比，從而實現(xiàn)從強烈噪聲干擾中檢測微弱信號的目的。傳統(tǒng)的隨機共振受到絕熱近似理論［2］的限制，只適用于小參數(shù)信號(信號幅值、信號頻率、噪聲強度遠(yuǎn)小于1)，這極大地制約了隨機共振在工程實際中的應(yīng)用。

為了突破隨機共振只能適應(yīng)于小參數(shù)的限制，許多學(xué)者進(jìn)行了有益探索，取得不少階段性研究成果［3－6］，為隨機共振應(yīng)用于工程實際提供了可能。例如，文獻(xiàn)［7］提出了二次采樣隨機共振(TSSR)方法，即按照一定的變換尺度將較高采樣信號變換為較低的二次采樣信號，以滿足小參數(shù)條件，隨機共振輸出后，再按變換尺度恢復(fù)至較高采樣信號。文獻(xiàn)［8］提出一種移頻變尺度隨機共振(FRSR)方法，即通過移頻和尺度變換等手段壓縮分析頻率，從而使之滿足絕熱近似小參數(shù)條件。文獻(xiàn)［9］則通過雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)節(jié)，從而達(dá)到共振狀態(tài)。以上方法為隨機共振應(yīng)用于工程實測信號提供了理論基礎(chǔ)，但在實際應(yīng)用中，如何實現(xiàn)參數(shù)的自適應(yīng)選取是一個難題。針對自適應(yīng)隨機共振的問題，文獻(xiàn)［10］提出了一種基于近似熵測度的自適應(yīng)隨機共振方法，在固定雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)b的條件下，對變步長(或二次采樣)隨機共振［8，10］系統(tǒng)參數(shù)a和計算步長h進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)參數(shù)b選取不合適時，則無法達(dá)到真正意義上最優(yōu)的共振狀態(tài)。文獻(xiàn)［11］提出了一種基于遺傳算法的自適應(yīng)隨機共振算法，能對雙穩(wěn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b進(jìn)行優(yōu)化，但在處理大參數(shù)信號時需要在優(yōu)化前手動進(jìn)行移頻和尺度變換等操作，當(dāng)調(diào)制頻率fc和變尺度壓縮率R選取不恰當(dāng)時會影響隨機共振的輸出效果。對于某一確定的含噪信號，需要對隨機共振系統(tǒng)進(jìn)行多參數(shù)的同步調(diào)節(jié)，當(dāng)且僅當(dāng)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)、信號頻率與噪聲相互之間達(dá)到最佳協(xié)同時，才能達(dá)到最佳的共振狀態(tài)。

變步長隨機共振能突破絕熱近似理論對于小參數(shù)的限制，而應(yīng)用于大參數(shù)條件下的工程實測信號，但如何對結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和計算步長h進(jìn)行自適應(yīng)選取仍是一個難題。粒子群算法［12－13］作為一種多變量全局優(yōu)化方法，沒有遺傳算法的交叉和變異，因此效率高、速度快，具有很強的工程應(yīng)用價值。本文以變步長雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)為研究對象，利用粒子群算法的全局并行搜索優(yōu)化能力，以雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的信噪比作為粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)，對變步長雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和計算步長h進(jìn)行同步優(yōu)化，使a，b和h等三個參數(shù)達(dá)到最佳的協(xié)同，從而最優(yōu)地實現(xiàn)對大參數(shù)條件下微弱信號的自適應(yīng)檢測。

1 變步長隨機共振的基本原理

1.1 雙穩(wěn)隨機共振概述

在隨機共振的研究中，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)通常由勢函數(shù)表示:

其中，a和b是雙穩(wěn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

在不考慮噪聲的情況下得到一維非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的確定性動力學(xué)系統(tǒng)方程:

由定態(tài)方程dx/dt=0得到雙穩(wěn)系統(tǒng)的三個解為一個不穩(wěn)定的定態(tài)解x1=0和兩個穩(wěn)定的定態(tài)解x2，3=從物理意義上理解，雙穩(wěn)系統(tǒng)的響應(yīng)輸出可以表現(xiàn)為一個粒子在雙穩(wěn)勢阱內(nèi)的運動，如圖1所示。

由圖1可以看出，系統(tǒng)參數(shù)a和b不僅調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)勢壘ΔU=a2/4b，而且還改變著雙穩(wěn)系統(tǒng)兩個勢阱之間的距離

圖1 非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)Fig.1 Non-linear bi-stable system potential function

當(dāng)以單周期正弦信號Asin(2πf0t)和白噪聲n(t)為輸入信號時，對應(yīng)的Langevin方程為:

這里，

其中D是噪聲強度。

從粒子動力學(xué)角度來考察，式(3)描述了一個過阻尼的質(zhì)點布朗運動。當(dāng)A和n(t)均為0，即沒有調(diào)制和噪聲作用時，根據(jù)系統(tǒng)不同的初始狀態(tài)，質(zhì)點將處于雙穩(wěn)勢阱中的某一個。當(dāng)A＞0且足夠小時，在無噪情況下，由于外加信號的驅(qū)動作用，整個系統(tǒng)不再處于平衡狀態(tài)，勢阱按信號頻率發(fā)生周期性傾斜，但是粒子的運動將被限制在某一勢阱內(nèi)。然而，在引入噪聲的情況下，即使A＜Ac，甚至A?Ac時，質(zhì)點將越過勢壘而從當(dāng)前勢阱躍遷到另一勢阱。如果外加噪聲的強度合適，這種大幅度躍遷與周期驅(qū)動力達(dá)到很好的協(xié)同，那么原來兩個勢阱之間的隨機躍遷運動就會變成與周期調(diào)制信號頻率相一致的有序躍遷運動，隨機共振現(xiàn)象就發(fā)生了。

1.2 變步長隨機共振及其存在的問題

式(3)是一種非線性隨機微分方程，可通過四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，具體算法如下:

其中，n=1，2，…，N。

式(4)中，Sn和xn分別是雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入S(t)=Asin(2πf0t)+n(t)和輸出X(t)的第n個采樣值，h=1/fs(fs)為數(shù)值計算步長。

當(dāng)待測信號為小參數(shù)信號，滿足絕熱近似理論時，無需改變計算步長僅通過調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)就達(dá)到很好的共振狀態(tài)。而當(dāng)待測信號為大參數(shù)信號時，由于絕熱近似理論的限制，僅通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)無法產(chǎn)生共振。為了克服絕熱近似理論對小參數(shù)的限制，冷永剛等［7］提出了二次采樣隨機共振思想，即對于大參數(shù)的待測信號，通過對其進(jìn)行二次采樣，將其轉(zhuǎn)化為小參數(shù)，經(jīng)過雙穩(wěn)系統(tǒng)處理得到共振輸出后，按相應(yīng)的變換尺度恢復(fù)還原到實際信號頻率。設(shè)有一大參數(shù)的含噪信號，信號頻率為f，采樣頻率為fs，二次采樣頻率為fsr，通過改變式(4)中的計算步長h，使其等于二次采樣頻率的倒數(shù)，即h=1/fsr，把原信號頻率f變換成f0=f·fsr/fs，通過式(4)求解，就可得出頻率f0下的共振輸出。在實際數(shù)值求解過程中，可先調(diào)節(jié)計算步長h使雙穩(wěn)系統(tǒng)達(dá)到共振狀態(tài)，得到變換后的信號頻率f0，再按變換尺度R=hfs還原恢復(fù)實際信號頻率f=Rf0。以上便是變步長隨機共振(SCSR)思想。

大量分析表明，對大參數(shù)信號進(jìn)行變步長隨機共振處理時，通過適當(dāng)?shù)母淖冇嬎悴介Lh，能拓寬隨機共振系統(tǒng)輸出的頻帶寬度。不過僅改變計算步長h不能獲得很好的輸出，還需要結(jié)合非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a和b的調(diào)節(jié)，以改善非線性系統(tǒng)特性，進(jìn)而得到待檢測的微弱信號。但是，如何對結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和計算步長h進(jìn)行聯(lián)合調(diào)節(jié)，進(jìn)而使a，b，h三個參數(shù)達(dá)到最佳協(xié)同，獲得雙穩(wěn)系統(tǒng)的最優(yōu)輸出，目前還沒有一個定量的規(guī)律可循，只能憑經(jīng)驗探索性地選取，給隨機共振在工程實際中的應(yīng)用帶來很大的不便。

2 基于粒子群算法的自適應(yīng)變步長隨機共振

如何對變步長隨機共振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和計算步長h進(jìn)行自適應(yīng)選取是一個難題，本文利用粒子群算法來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù) a，b和計算步長 h的同步優(yōu)化。

2.1 粒子群優(yōu)化算法

Kennedy等［12－13］研究鳥群覓食行為時，受到啟發(fā)而提出了粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)。該算法實現(xiàn)方便，與遺傳算法相比需要設(shè)置的參數(shù)少，是一種高效、實用的搜索優(yōu)化算法。

圖2 粒子群算法優(yōu)化搜索示意圖Fig.2 Searching schematic diagram of PSO

在粒子群優(yōu)化算法中，每個粒子表征某一確定的待優(yōu)化問題函數(shù)的一個可能解。首先，初始化一組粒子種群，粒子的初始速度和位置隨機產(chǎn)生，之后，粒子群追隨當(dāng)前最優(yōu)粒子，不斷更新自己的速度和位置，在多維解空間中搜索，經(jīng)過若干次迭代找出最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子通過跟蹤其自身的當(dāng)前最優(yōu)解(即個體極值Pbest)和整個粒子群的當(dāng)前最優(yōu)解(即全局極值Nbest)來更新自己的速度和位置，直到達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)或找到最優(yōu)解。粒子的優(yōu)化運動軌跡如圖2所示。

PSO算法通常的數(shù)學(xué)描述為:設(shè)在某D維空間中，種群 X=(x1，…，xi，…，xm)由 m 個粒子組成。xi(t)=(xi1，xi2，…，xiD)T和 vi(t)=(vi1，vi2，…，viD)T分別表示t時刻種群中第i個粒子的位置和速度;Pbesti(t)=(Pbesti1，Pbesti2，…，PbestiD)T表示 t時刻第 i個粒子的個體極值，t時刻整個種群的全局極值則由Nbest(t)=(Nbest1，Nbest2，…，NbestD)T表示。那么，粒子 xi將按式(5)來更新其速度和位置。

式中，j=1，2，…，D;t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù);r1，r2為均勻分布于［0，1］之間的隨機數(shù);c1，c2為學(xué)習(xí)因子，通常取c1=c2=2;w為慣性權(quán)重，即保持原來速度的系數(shù)。

慣性權(quán)重的計算公式如下:

式中;wmax為慣性權(quán)重上限;wmin為慣性權(quán)重下限;t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù);Tmax為最大進(jìn)化代數(shù)。

粒子速度和位置更新方式如圖3所示。

圖3 粒子速度和位置更新方式示意圖Fig.3 Concept of modification of a searching point by PSO

圖3中，vPbesti表示粒子在解空間中朝著個體極值進(jìn)行搜索的速度，對應(yīng)于c1r1(t)［Pbesti(t)－xi(t)］速度部分;vNbesti表示粒子在解空間中朝著全局極值進(jìn)行搜索的速度，對應(yīng)于c2r2(t)［Nbest(t)－xi(t)］速度部分。

2.2 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

粒子群算法是根據(jù)各個粒子的適應(yīng)度大小來調(diào)整進(jìn)化搜索能力的。而適應(yīng)度函數(shù)和目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)是相關(guān)的。此處采用的適應(yīng)度函數(shù)即為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)——隨機共振輸出信噪比。本文的適應(yīng)度函數(shù)為:

式中:sr(a，b，h)為變步長隨機共振的輸出結(jié)果;SNRout(sr(a，b，h))表示隨機共振輸出的信噪比。

已知隨機共振輸出信噪比定義［14］如下:

式中:F0為信號頻率;S(F0)為信號功率;P為系統(tǒng)總功率，包括信號功率和噪聲功率;P－S(F0)即為噪聲功率。

設(shè)輸入信號為Asin(2πF0t)+n(t)，該含噪信號經(jīng)采樣頻率為Fs的采樣得到長度為L的離散序列Zl。Zl經(jīng)過二次采樣頻率為Fsr的變步長隨機共振，輸出信號sr(a，b，h)中頻率分量F'0=F0Fsr/Fs對應(yīng)于輸入頻率F0。設(shè)F'0分量的單邊譜幅值為 X(k0)，且有 k0=LF'0/Fsr=LF0/Fs，由式(8)可得:

2.3 基于粒子群算法的自適應(yīng)變步長隨機共振流程

粒子群優(yōu)化算法容易實現(xiàn)且具有全局并行搜索優(yōu)化能力，本文利用粒子群優(yōu)化算法以2.2節(jié)所述的隨機共振輸出信噪比為適應(yīng)度函數(shù)，對變步長隨機共振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b和計算步長h等三個參數(shù)進(jìn)行同步優(yōu)化。算法的流程如圖4所示。

下面給出其實現(xiàn)的具體步驟:

步驟1:種群初始化。設(shè)置種群數(shù)量、參數(shù)a、b和h的搜索范圍以及最大進(jìn)化代數(shù)Tmax，最大搜索速度取最大調(diào)整步長的10%～20%，這里的最大調(diào)整步長指的是所設(shè)定的粒子位置范圍的上限值減去粒子位置范圍的下限值所得的差值。隨機初始化搜索點的位置xi(0)和速度vi(0)，設(shè)置各個粒子的Pbesti坐標(biāo)為其當(dāng)前位置xi(0)，并計算出其相應(yīng)的個體極值，記錄整個粒子群中個體極值最大的粒子序號，設(shè)置Nbest為該最大粒子的當(dāng)前位置。

步驟2:評價每一個粒子。根據(jù)2.2節(jié)的方法計算粒子的適應(yīng)度值，與該粒子當(dāng)前的個體極值進(jìn)行比較，若大于后者，則設(shè)置Pbesti為該粒子的位置，并更新個體極值。若在該粒子的鄰域內(nèi)所有粒子的個體極值中最大的大于當(dāng)前的Nbest，則設(shè)置Nbest為該粒子的位置，記錄該粒子的序號，并更新Nbest的函數(shù)值。

步驟3:粒子的更新。根據(jù)式(5)更新所有粒子的速度和位置。

圖4 粒子群優(yōu)化算法流程圖Fig.4 Flowchart of PSO

步驟4:檢驗是否符合結(jié)束條件。判斷當(dāng)前的迭代次數(shù)是否達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)Tmax或滿足最小錯誤標(biāo)準(zhǔn)，若滿足條件則停止迭代，并輸出最優(yōu)參數(shù)，否則轉(zhuǎn)至步驟2。

步驟5:檢測結(jié)果。根據(jù)對a、b和h優(yōu)化輸出的最優(yōu)解，對原始信號進(jìn)行變步長隨機共振，尺度恢復(fù)后得到最終的微弱信號檢測結(jié)果。

3 仿真數(shù)據(jù)分析

基于粒子群算法的自適應(yīng)變步長隨機共振通過自動聯(lián)合調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和步長h，得到了自適應(yīng)條件下雙穩(wěn)系統(tǒng)的最優(yōu)輸出。下面利用仿真數(shù)據(jù)證明該自適應(yīng)方法的有效性。

設(shè)輸入信號為u(t)=A0sin(2πf0t)+n(t)，其中，A0=0.2，f0=20 Hz，添加均值為0、方差 D=3.1 的高斯白噪聲 n(t)，采樣頻率 fs=2 048 Hz，采樣點數(shù) n=2 048。該輸入信號的原始時域波形及其頻譜分別如圖5(a)和圖5(b)所示，由于強噪聲的加入，從圖5(a)上很難發(fā)現(xiàn)周期成分，在圖5(b)上也很難辨認(rèn)出60 Hz的頻率分量。

圖5 大參數(shù)數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of large parameters data

現(xiàn)利用本文提出的自適應(yīng)變步長隨機共振方法對該信號進(jìn)行處理。初始化種群:設(shè)置種群數(shù)量為40，a、b、h的搜索范圍分別為［0.1，10］、［0.1，1 000］和［0.02，0.2］，最大搜索速度取最大調(diào)整步長的20%，即a、b、h 的最大搜索速度分別為 1.98、199.98 和 0.036，最大進(jìn)化代數(shù)為150，最小錯誤標(biāo)準(zhǔn)為1×10－4。從圖5c的收斂曲線可以看出，經(jīng)過62次迭代，算法收斂，輸出的最優(yōu)參數(shù)分別為 a=6.33、b=217.39、h=0.041 3。將最優(yōu)參數(shù)代入變步長隨機共振系統(tǒng)，對原始信號進(jìn)行隨機共振處理后分別得到圖5(d)和圖5(e)所示的時域波形和頻譜。從圖5d可以看出，噪聲已經(jīng)被極大地削弱了，在圖5(e)上可以發(fā)現(xiàn)頻率為0.236 7 Hz的分量非常突出。按變換尺度 R=hfs=0.041 3×2 048=84.582 4還原恢復(fù)后，可以得到f0=Rf=84.582 4×0.236 7=20 Hz，其頻率正好對應(yīng)于原始信號中的20 Hz頻率成分。仿真結(jié)果表明，將粒子群優(yōu)化算法用于變步長隨機共振系統(tǒng)能實現(xiàn)對參數(shù)a、b和h的自適應(yīng)最優(yōu)選取，從而快速有效的檢測出大參數(shù)條件下的微弱信號。

4 工程應(yīng)用

實驗選用型號為6205－2RS JEM SKF的深溝球軸承，該軸承的尺寸和故障頻率如表1和表2如示。

表1 滾動軸承6205－2RS的尺寸參數(shù)(厘米)Tab.1 Size parameters of 6205 －2RS

表2 滾動軸承6205－2RS的故障頻率(轉(zhuǎn)頻的倍數(shù))Tab.2 Defect frequencies of 6205 －2RS

使用電火花加工技術(shù)在該軸承內(nèi)圈上布置了單點故障，故障直徑為0.017 78 cm，根據(jù)表2可以算出該滾動軸承內(nèi)圈故障的特征頻率為156.14 Hz。試驗中，該軸承用于支承電機軸，電機轉(zhuǎn)速為1 730 r/min，使用加速度傳感器采集振動信號，采樣頻率為Fs=12 kHz，采樣點數(shù)n=8 192。圖6(a)和圖6(b)所示的分別為原始采樣信號的時域波形和幅值譜，在圖6(b)的頻譜圖上根本無法辨認(rèn)156.14 Hz的滾動軸承內(nèi)圈故障頻率。由于原始信號中沖擊成分較為明顯，對其進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)處理，所得的時域波形和幅值譜分別如圖6(c)和圖6(d)所示，從圖6(d)的包絡(luò)譜中可以看到156 Hz的故障頻率，但譜線很不明顯。

現(xiàn)對該滾動軸承故障信號的包絡(luò)進(jìn)行基于粒子群算法的自適應(yīng)變步長隨機共振處理。首先初始化粒子種群:設(shè)置種群數(shù)量為80，a、b和h的搜索范圍分別為［0.01，30］、［0.01，15 000］和［0.002，0.8］，最大搜索速度取最大調(diào)整步長的20%，即a、b、h的最大搜索速度分別為 5.998、2 999.998 和 0.159 6，最大進(jìn)化代數(shù)為200，最小錯誤標(biāo)準(zhǔn)為1×10－4。

從圖7的收斂曲線可以看出，經(jīng)過103次迭代，算法收斂，輸出的最優(yōu)參數(shù)分別為 a=8.15、b=2 220.6、h=0.048 7。將最優(yōu)參數(shù)代入變步長隨機共振系統(tǒng)，對包絡(luò)信號進(jìn)行隨機共振處理后分別得到圖6(e)和圖6(f)所示的時域波形和頻譜。對比圖6(c)和圖6(e)后可以發(fā)現(xiàn)，隨機共振處理后的時域波形中的噪聲成分被極大的削弱了。在圖6(f)中可以非常清楚的看到0.266 8 Hz的頻率分量及其二倍頻，按變換尺度R=hFs=0.048 5×12 000=584.4 還原恢復(fù)后，可以得到F0=RF=584.4 ×0.266 8≈155.9 Hz，考慮到存在計算舍入誤差，即該頻率正好是軸承內(nèi)圈的故障特征頻率，這與滾動軸承存在內(nèi)圈故障的事實相吻合。

圖6 滾動軸承內(nèi)圈故障的診斷結(jié)果Fig.6 Diagnosis results of the fault of inner ring

圖7 PSO算法的最優(yōu)收斂曲線Fig.7 The optimal convergence curve of PSO algorithm

5 結(jié)論

本文提出了一種采用粒子群優(yōu)化算法的自適應(yīng)變步長隨機共振方法，選用共振輸出的信噪比作為粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)，利用粒子群算法的全局并行搜索優(yōu)化能力，對變步長隨機共振系統(tǒng)的多個參數(shù)進(jìn)行同步優(yōu)化，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b和計算步長h等三個參數(shù)的自適應(yīng)選取，從而最優(yōu)檢測出強噪聲背景下的高頻微弱信號。該方法克服了單參數(shù)優(yōu)化及步長選取依賴經(jīng)驗的缺點，充分體現(xiàn)了聯(lián)合調(diào)參的思想。將該方法用于仿真微弱信號的檢測及滾動軸承的故障診斷，結(jié)果表明所提方法能快速有效地檢測出大參數(shù)條件下的微弱信號。

［1］Benzi R，Parisi G，VulpianiA. Theoryofstochastic resonance in climatic chaner［J］.SIAM Journal on Applied Mathematics，1983，43(3):565 －578.

［2］Mcnamara B， Wiesenfeld K， RoyR. Observation of Stochastic Resonance in a Ring Laser［J］.Physical Review Letters.1988，60(25):2626 －2629.

［3］夏均忠，劉遠(yuǎn)宏，馬宗坡，等.基于調(diào)制隨機共振的微弱信號檢測研究［J］.振動與沖擊，2012，31(3):132 －135，140.XIA Jun-zhong，LIU Yuan-hong，MA Zong-po，et al.Weak signal detction based on the modulated stochastic resonance［J］.Journal of Vibration and Shock.2012，31(3):132 －135，140.

［4］李曉龍，冷永剛，范勝波，等.基于非均勻周期采樣的隨機共振研究［J］.振動與沖擊，2011，30(12):78 －84.LI Xiao-long， LENG Yong-gong，F(xiàn)AN Sheng-bo，et al.Stochastic resonance based on periodic non-uniform sampling［J］.Journal of Vibration and Shock.2011，30(12):78 －84.

［5］郝 研，王太勇，萬 劍，等.基于級聯(lián)雙穩(wěn)隨機共振和多重分形的機械故障診斷方法研究［J］.振動與沖擊，2012，31(8):181－185.HAO Yan，WANG Tai-yong，WAN Jian，et al.Mechanical faultdiagnosis based on cascaded bistable stochastic resonance and multi-fractal［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(8):181 －185.

［6］趙艷菊，王太勇，徐 躍，等.雙穩(wěn)隨機共振降噪下的經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庋芯浚跩］.振動與沖擊，2009，28(3):149－151.ZHAO Yan-ju，WANG Tai-yong，XU Yue，et al.Empirical mode decomposition based on bistable stochastic resonance denoising［J］.Journal of Vibration and Shock，2009 ，28(3):149－151.

［7］冷永剛，王太勇.二次采樣用于隨機共振從強噪聲中提取弱信號的數(shù)值研究［J］.物理學(xué)報，2003，52(10):2432－2437.LENG Yong-gang，WANG Tai-yong.Numerical research of twice sampling stochastic resonance for the detection of a weak signal submerged in a heavy Noise［J］.Acta Physica Sinica，2003，52(10):2432 －2437.

［8］Tan J，Chen X，Wang J，et al.Study of frequency-shifted and re-scaling stochastic resonance and its application to fault diagnosis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23(3):811－822.

［9］陳 敏，胡蔦慶，秦國軍，等.參數(shù)調(diào)節(jié)隨機共振在機械系統(tǒng)早期故障檢測中的應(yīng)用［J］.機械工程學(xué)報，2009，45(4):131－135.CHEN Min，HU Niao-qing，QIN Guo-jun，et al.Application of parameter-tuning stochastic resonance for detecting early mechanical faults［J］.Journal of Mechanical Engineering，2009，45(4):131－135.

［10］Qiang L，Taiyong W，Yonggang L，et al.Engineering signal processing based on adaptive step－changed stochastic resonance［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(5):2267－2279.

［11］Wang J，Zhang Q，Xu G H.Genetic Stochastic Resonance:A new fault diagnosis method to detect weak signals in mechanical systems［J］.Advanced Science Letters，2011，4(6－7):2508－2512.

［12］Kennedy J，Eberhart R.Particle swarm optimization［C］.Perth，Aust:IEEE，1995.

［13］Eberhart R，Kennedy J.A new optimizer using particle swarm theory［C］.New York，NY，USA:IEEE，1995.

［14］萬 頻，詹宜巨，李學(xué)聰，等.一種單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)信噪比增益的數(shù)值研究［J］.物理學(xué)報，2011，60(4):60－66.WAN Pin，ZHAN Yi-ju，LI Xue-cong，et al.Numerical research ofsignal-to-noise ratio gain on a monostable stochastic resonance［J］.Acta Physica Sinica，2011，60(4):60－66.