劉海濤，張鐵

(1.廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院，廣東湛江524088;2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣東廣州510640)

工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)精度不僅依賴于零部件的制造和裝配精度，以及運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定效果，而且與運(yùn)動(dòng)控制模型參數(shù)的精確程度和外部干擾密切相關(guān)。但在進(jìn)行基于模型的控制器設(shè)計(jì)時(shí)，常常不得不忽略某些不確定性因素，如高頻動(dòng)態(tài)特性、運(yùn)動(dòng)部件間的摩擦、信號(hào)的檢測(cè)噪聲等，而這些因素往往成為影響軌跡跟蹤精度的主要原因。因而一些現(xiàn)代的非線性魯棒控制算法受到研究者的關(guān)注，如自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制和魯棒控制等。其中有限時(shí)間控制具有較好的瞬時(shí)響應(yīng)特性和較高的跟蹤精度，因而特別適合于工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的高品質(zhì)控制。有限時(shí)間控制［1－2］是指系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，常見(jiàn)的有限時(shí)間控制方法有齊次系統(tǒng)方法［3］，有限時(shí)間Lyapunov函數(shù)構(gòu)造法［4］、終端滑?？刂疲?－7］等。這些控制方法近年來(lái)的在機(jī)器人控制領(lǐng)域取得了許多研究成果，如文獻(xiàn)［8］采用齊次系統(tǒng)方法結(jié)合PD和重力補(bǔ)償策略提出了一種有限時(shí)間穩(wěn)定的機(jī)器人控制方法，可獲得局部的有限時(shí)間穩(wěn)定。文獻(xiàn) ［9］提出的一種非線性PD+機(jī)器人控制器卻是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，僅把傳統(tǒng)PD控制的線性位置誤差項(xiàng)代換為誤差的分?jǐn)?shù)冪形式，卻獲得了更好的控制性能。文獻(xiàn) ［10］利用Backstepping方法構(gòu)造了一種有限時(shí)間控制器，但只考慮了機(jī)器人的位置控制。最近，文獻(xiàn) ［11］提出了基于逆動(dòng)力學(xué)方法的全局有限時(shí)間機(jī)器人跟蹤控制方法，同樣也是對(duì)機(jī)器人的傳統(tǒng)逆動(dòng)力學(xué)方法加以修正，通過(guò)Lyapunov直接穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間穩(wěn)定理論證明了全局有限時(shí)間穩(wěn)定性。但是文獻(xiàn) ［11］假設(shè)了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是完全精確已知的，并且未考慮各種不確定性因素的影響，如未建模動(dòng)力學(xué)、模型誤差、干擾力矩和摩擦力等，眾所周知，六自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是相當(dāng)復(fù)雜難以精確獲得的，因而其魯棒性難以保證。

結(jié)合工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際應(yīng)用，并考慮了常用交流伺服電機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，利用Backstepping方法設(shè)計(jì)了一種具有強(qiáng)魯棒性且有限時(shí)間穩(wěn)定的機(jī)器人軌跡跟蹤控制方法。

1 問(wèn)題的描述

1.1 機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)拉格朗日原理，對(duì)于一個(gè)多輸入多輸出的n自由度工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

為實(shí)現(xiàn)器人的高精度控制，必須同時(shí)考慮交流伺服電機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，即機(jī)器人n個(gè)關(guān)節(jié)上交流伺服電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可表示為如下形式:

式中:τm∈Rn是電磁扭矩向量;qm∈Rn是電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角向量;τL∈Rn是電機(jī)的負(fù)載扭矩向量;Jm∈Rn×n為瞬時(shí)慣性矩陣;Dm∈Rn×n是電機(jī)阻尼系數(shù)矩陣;u∈Rn為電壓輸入向量。這里假設(shè)采用三菱交流伺服電機(jī)，在轉(zhuǎn)矩模式下，輸入電壓與輸出轉(zhuǎn)矩成正比，因此得出式 (3)，實(shí)際上忽略了交流伺服電機(jī)矢量控制的動(dòng)態(tài)特性。

另外，機(jī)器人關(guān)節(jié)角與電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的關(guān)系如下:

其中N∈Rn×n為機(jī)器人n個(gè)關(guān)節(jié)的減速比矩陣。

由式 (1)— (4)可得，機(jī)器人－電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可表示為

實(shí)際上，模型 (5)的相關(guān)參數(shù)是很難甚至不可能精確獲得的，因此基于模型的控制方法不得不考慮參數(shù)不確定性的影響。為便于分析與設(shè)計(jì)，假設(shè)計(jì)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)參數(shù)可以表達(dá)為如下形式:

其中:

其中，a0，a1，a2，ε均為大于零的常數(shù)，通常利用試差法可以獲得，對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，關(guān)節(jié)位置及速度是有界的，因而上述假設(shè)是符合實(shí)際的。

1.2 相關(guān)定理

引理1.假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V(x):U→Rn，使其滿足下列條件:

(1)V(x)正定;

(2)存在正實(shí)數(shù)c＞0和0＜α＜1，以及一個(gè)包含原點(diǎn)的開(kāi)鄰域U0?U，使得下列條件成立條件:

則系統(tǒng) (7)為有限時(shí)間穩(wěn)定的，若U=U0=Rn，則系統(tǒng) (7)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。并且系統(tǒng)在初始狀態(tài)x(0)=x0下的調(diào)整時(shí)間滿足:

其中V(x0)是V(x)的初始值。

引理2.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

引理3.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

1.3 問(wèn)題的描述

機(jī)器人有限時(shí)間軌跡跟蹤控制的目的就是使機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量q能有效地跟蹤期望的關(guān)節(jié)量qd，并且使跟蹤誤差e能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零，其中e(t)，∈Rn分別定義為e=q－qd，。

2 控制器設(shè)計(jì)

為了便于控制器的設(shè)計(jì)和分析，Sig(·)α向量定義如下:

其中 ξ= ［ξ1，…，ξn］T∈Rn，0 ＜ α ＜1，sgn(·)是標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)函數(shù)，定義如下:

令x1=e，x2=，則動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(7)可表示為:

其中

為獲得系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定，引入輔助控制量φ (x1)∈Rn，并且φ (0)=0。令誤差變量z=x2－φ(x1)，則式 (16)可表示為

通過(guò)Backstepping方法來(lái)設(shè)計(jì)控制器u，以獲得系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。

第一步:定義Lyapunov函數(shù)

則其導(dǎo)數(shù)為

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定，須保證式 (20)滿足引理1的條件 (2)，因而設(shè)計(jì)輔助控制量φ (x1)= － K1Sig(x1)α，其中 K1=diag(k11，k12，…，k1n)，并代入式 (20)可得

如果z=0，則有

為此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

第二步:定義Lyapunov函數(shù)

對(duì)V2求導(dǎo)并將式 (18)代入得:

其中 K2=diag( k21，k22，…，k2n)，定義 μ=(1+α)/2，1/2＜μ＜1，將式 (25)代入式 (24)可得

顯然，由引理1可知，該系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。但是由于不確定性集合函數(shù)ρ(q，，)是未知的，因此控制器 (23)是無(wú)法實(shí)際應(yīng)用的。基于此，引入變結(jié)構(gòu)項(xiàng)以提高對(duì)不確定性的魯棒性，即將控制器設(shè)計(jì)為:

其中 K3=diag(k31，k32，…，k3n)。

證明:將控制器式 (27)代入式 (24)，可得

如果選擇k3i≥ε，則有

因此，由引理1可知，系統(tǒng) (18)是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，并且系統(tǒng)在初始狀態(tài)下的調(diào)整時(shí)間為

說(shuō)明1:由于變結(jié)構(gòu)項(xiàng)的引入提高了系統(tǒng)的魯棒性，但是系統(tǒng)的高頻切換會(huì)產(chǎn)生“抖振”現(xiàn)象，容易激發(fā)高頻未建模的動(dòng)力學(xué)，重則會(huì)損壞物理器件。因此，為避免產(chǎn)生“抖振”，引入邊界層的方法加以消除，但這會(huì)犧牲控制精度，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要加以權(quán)衡。

其中δ為較小的正常數(shù)，稱為邊界層厚度。

說(shuō)明2:由于φ(x1)=－K1Sig(x1)α，當(dāng)x1i=0時(shí)，φ(x1)的導(dǎo)數(shù)可能會(huì)產(chǎn)生奇異，因此對(duì)其修正如下:

說(shuō)明3:冪指數(shù)α的選擇會(huì)影響控制效果，α越小，誤差收斂速度越快，但所需的控制量越大，重則也會(huì)產(chǎn)生“抖振”，因此通常選擇0.6＜α＜0.8。

3 仿真

為驗(yàn)證文中控制算法的有效性，現(xiàn)對(duì)2自由度的工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行數(shù)值仿真，其動(dòng)力學(xué)模型如下:

機(jī)器人的實(shí)際動(dòng)力學(xué)參數(shù)和估計(jì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1，交流伺服電機(jī)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)為Jm=diag(0.67×10－4，0.42 ×10－4)，Dm=diag(0.21，0.15)，N=diag(8，1)，Kτ=diag(19/40，19/80)?？刂葡到y(tǒng)的輸入?yún)⒖夹盘?hào)為qd1=sin(2πt)，qd2=sin(2πt)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為q1(0)=0.5，q2(0)=0.5，引入外界干擾信號(hào)τd=0.001+0.002q+0.005?？刂破鞯南嚓P(guān)參數(shù)設(shè)置如下:K1=diag(20，20)，K2=diag(30，30)，K3=diag(5，5)，α=0.7，δ=0.1，Δ=0.1。

為說(shuō)明所提控制算法 (簡(jiǎn)記為BFTC)的優(yōu)點(diǎn)，與Yusin SU等人［11］提出的有限時(shí)間逆動(dòng)力學(xué)跟蹤控制方法 (簡(jiǎn)記為FIDC)進(jìn)行比較，該控制算法為:

其中 Kp=diag(50，40)，Kd=diag(20，20)，α1=0.5，α2=2α1/(α1+1)=2/3。

表1 機(jī)器人的物理參數(shù)

仿真結(jié)果如圖1—3所示，由圖1—2可以看出，所提控制方法 (BFTC)的軌跡跟蹤位置誤差、速度誤差均遠(yuǎn)小于文獻(xiàn) ［11］的控制算法，具有較強(qiáng)的魯棒性，即使存在較大參數(shù)不確定性和外界干擾的情況下，仍能獲得滿意的跟蹤性能，并且在兩種算法情況下所需的控制量相當(dāng)。另外該算法的瞬時(shí)響應(yīng)速度更快，但初始時(shí)刻需要稍大的控制量，保證了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。而文獻(xiàn) ［11］的控制算法 (FIDC)假設(shè)了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型精確已知，雖獲得了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性能，但魯棒性難以保證，因而不適合用于工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際控制。

圖1 軌跡跟蹤誤差

圖2 速度跟蹤誤差

圖3 控制輸入量

4 結(jié)論

結(jié)合工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際情況，綜合考慮了交流伺服電機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)Backstepping的遞推方法設(shè)計(jì)的有限時(shí)間穩(wěn)定控制器，一方面保證了跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂，瞬時(shí)特性好;另一方面引入了變結(jié)構(gòu)項(xiàng)，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)未精確已知和存在外界干擾的情況下，仍能獲得滿意的控制效果。通過(guò)與其他有限時(shí)間控制算法的仿真比較，說(shuō)明該算法是有效的、可行的。

【1】BHAT S P，BEMSTEIN D S．Finite-time Stability of Homogeneous systems［C］//Proceeding of the American Control Conference，Albuquerque，New Mexico，1997:2513 －2514．

【2】HAIMO V T．Finite Time Controllers［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24(4):760 －770．

【3】BHAT S P，BEMSTEIN D S．Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(3):751 －766．

【4】HONG Yiguang，WANG Jiankui，CHENG Daizhan．Adaptive Finite-time Control of Nonlinear Systems with Parametric Uncertainty［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(5):858 －862．

【5】TANG Yu．Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robots［J］．Automatica，1998，34(1):51 －56．

【6】FENG Yong，YU Xinghuo，MAN Zhihong．Non-singular Terminal Sliding Mode Control of Rigid Manipulators［J］．Automatica，2002，38(12):2159 －2167．

【7】NEILA Mezghani，DAMAK Tarak．Adaptive Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robotic Manipulators［J］．International Journal of Automation and Computing，2011，8(2):215－220．

【8】HONG Yiguang，XU Yangsheng，HUANG Jie．Finite-time Control for Robot Manipulators［J］．Systems＆ Control Letters，2002，46(4):243 －253．

【9】SU Yuxin．Global Continuous Finite-time Tracking of Robot Manipulators［J］．International Journal of Robust and Nonlinear Control，2009，19(17):1871 －1885．

【10】ZHAO D，LI S，ZHU Q，et al．Robust Finite-time Control Approach for Robotic Manipulators［J］．Control Theory ＆Applications，IET，2010，4(1):1 －15．

【11】SU Yuxin，ZHENG Chunhong．Global Finite-time Inverse Tracking Control of Robot Manipulators［J］．Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2011，27(3):550 －557．