宋文慧 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

用于EBPSK系統(tǒng)的多徑信道小波變換線性均衡器

宋文慧 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

為解決EBPSK信號(hào)使用經(jīng)典均衡算法消除多徑信道碼間干擾時(shí)，自適應(yīng)迭代的收斂速度較慢的問題，針對(duì)EBPSK系統(tǒng)運(yùn)用基于小波變換的線性均衡器，將輸入信號(hào)從時(shí)域變換到小波域后進(jìn)行最小均方(LMS)線性均衡，同時(shí)根據(jù)不同信噪比仿真比較Haar小波、db6小波、sym6小波等經(jīng)典小波的線性均衡器均衡效果.仿真結(jié)果表明:經(jīng)過小波變換后輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣的最大特征值與最小特征值之比較大，因此基于小波的線性均衡比經(jīng)典均衡算法的最小均方誤差(MSE)收斂速度明顯提高，迭代次數(shù)和計(jì)算量都有所降低，且均衡器選用不同小波函數(shù)在一定程度上會(huì)影響誤碼率，但不明顯，其中基于Haar小波比基于sym6小波和db6小波的LMS均衡算法的誤碼率要低.

多徑信道;EBPSK調(diào)制;小波線性均衡器;LMS均衡

可用無線頻譜資源的稀缺已成為制約無線通信發(fā)展的主要因素，因而通過壓縮帶寬以提高頻譜利用率的高效調(diào)制方法備受關(guān)注［1］，如擴(kuò)展的二元相移鍵控(extended binary phase shift keying，EBPSK)調(diào)制［2］.短波是不可替代的遠(yuǎn)程通信手段之一，但信號(hào)傳輸受到電離層的限制，且多徑和衰落影響較大，碼間干擾(inter-symbol interference，ISI)嚴(yán)重.由于EBPSK目前是單載波串行體制，在短波信道傳輸中如果未加任何措施，則效果并不理想，所以尋找能夠有效消除ISI的方法具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

突發(fā)通信要求在傳輸較少的訓(xùn)練序列內(nèi)建立可靠通信，而經(jīng)典均衡算法收斂速度較慢，無法消除ISI.因此，本文將針對(duì)EBPSK調(diào)制信號(hào)的特點(diǎn)設(shè)計(jì)適用的多徑均衡算法，以提高均衡器的收斂速度.

本文首先分析EBPSK系統(tǒng)通過多徑信道的接收機(jī)結(jié)構(gòu).然后分析經(jīng)典線性均衡算法［3］收斂速度的限制，并針對(duì)EBPSK系統(tǒng)分析采用基于小波變換的線性均衡算法［4］提高收斂速度的可行性，以及小波函數(shù)和變換層數(shù)的選擇和計(jì)算量的比較.最后通過仿真比較適用于EBPSK系統(tǒng)的基于小波變換的LMS算法.

1 EBPSK系統(tǒng)多徑信道下的經(jīng)典均衡

1.1 EBPSK調(diào)制和解調(diào)

設(shè)碼元長(zhǎng)度T持續(xù)N個(gè)載波周期，傳統(tǒng)的BPSK調(diào)制通過在正弦載波的零相位處將其反相來實(shí)現(xiàn)0-1轉(zhuǎn)換，這種碼元對(duì)稱調(diào)制(即0和1的調(diào)制時(shí)段均為T)雖能完全抑制載波，但信號(hào)頻譜卻非最窄.若取相位調(diào)制時(shí)間τ持續(xù)K個(gè)載波周期，且K＜N，調(diào)相角 θ=π，并消除幅度調(diào)制，則EBPSK調(diào)制信號(hào)［1－2］的統(tǒng)一表達(dá)式可簡(jiǎn)化定義為

由此可見EBPSK碼元“0”和“1”的調(diào)制區(qū)間不再相等，因而波形差異減小.為此，文獻(xiàn)［5］構(gòu)思了數(shù)字沖擊濾波器在接收信號(hào)中“1”的相位跳變點(diǎn)處產(chǎn)生幅度沖擊，而“0”則沒有，其接收機(jī)框圖如圖1所示.該接收機(jī)可直接對(duì)每個(gè)碼元起始時(shí)刻的波形幅度進(jìn)行門限檢測(cè)或積分判決，大大簡(jiǎn)化了接收機(jī)結(jié)構(gòu).以3對(duì)共軛極點(diǎn)、1對(duì)共軛零點(diǎn)的沖擊濾波器為例，其傳遞函數(shù)為

式中

圖1 多徑信道下的EBPSK接收機(jī)

1.2 經(jīng)典線性均衡算法

多徑信道下，EBPSK系統(tǒng)由于受ISI影響，傳輸性能將較大退化.通信系統(tǒng)中的常用方法為在接收端使用均衡器以降低或消除ISI.假設(shè)均衡器輸入數(shù)據(jù)向量為Xk，濾波器權(quán)向量為Wk，誤差輸出為εk，均衡器的估計(jì)輸出為yk，期望輸出為dk，則有

LMS算法在自適應(yīng)迭代過程中使用簡(jiǎn)單的梯度估值，可導(dǎo)出最速下降法的自適應(yīng)算法，即

LMS算法的優(yōu)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量較小.但由于其系數(shù)收斂下降路徑是對(duì)權(quán)向量的估計(jì)，因此梯度估計(jì)中包含噪聲分量.

線性均衡器的收斂速度取決于輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值與最小特征值之比，該比值越大，收斂越快.針對(duì)EBPSK信號(hào)，若采用線性均衡器，由于其碼率較高且采樣率較高，因而對(duì)收斂速度提出的要求更高.如何減小收斂時(shí)間、加快收斂速度是提高自適應(yīng)均衡適用于EBPSK接收機(jī)的重點(diǎn).

提高LMS收斂速度的策略大體分為2類:①增大輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣最大特征值與最小特征值之比.文獻(xiàn)［6］提出利用信道特性來修改均衡器的輸入信號(hào)，但該方法對(duì)于AR信道效果并不理想;Goldstein等［7］首先提出多級(jí)維納濾波器(MSWF)，在低維子空間近似維納濾波，從而提高收斂速度.②通過改進(jìn)權(quán)值收斂方式來提高收斂速度.文獻(xiàn)［8］用基于等位基因仿真原核生物交換(SPILL)算法的自適應(yīng)均衡，通過在迭代過程中修改抽頭權(quán)值加速收斂速度，但計(jì)算量將增加.

小波變換［9－10］可靈活地在時(shí)間－尺度(時(shí)域－頻域)中任意變換，利用小波域多分辨率的特點(diǎn)，可增大輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣最大特征值與最小特征值之比，且小波變換計(jì)算量不大.因此，小波變換可有效提高自適應(yīng)線性均衡的收斂速度，且不會(huì)過多地增加計(jì)算量.

2 小波變換線性均衡

小波變換在時(shí)頻域都有表征信號(hào)局部特征的能力，即在低頻部分有較高的頻域分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻域分辨率，因此在信號(hào)分析方面表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢(shì).在線性均衡中［11－12］，由于自適應(yīng)收斂的速度與信號(hào)的自相關(guān)矩陣相關(guān)，因此通過變換到小波域，使信號(hào)在小波域的分量矩陣具有較快收斂速度，且噪聲分量較小.

在離散小波變換［10］中，設(shè)尺度函數(shù)為 φ(x)，對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為ψ(x)，相應(yīng)的二進(jìn)制離散形式為

在數(shù)學(xué)上信號(hào)可以用Mallat算法［13］進(jìn)行小波域分解，輸入信號(hào)X(k)可以表示為

與線性均衡器一致，小波變換均衡器的估計(jì)輸出y(n)可表示為輸入信號(hào)與均衡器抽頭權(quán)值的卷積［14］，即

式中，rj，k(n)是x(m)和 ψj，k(m)的卷積，而rj，k(n)可以通過rj，0(n－2jk)來表示，即

因此，小波變換線性均衡器可以表示為如圖2所示.

圖2 基于小波變換的線性均衡器結(jié)構(gòu)［14］

小波變換的線性均衡器算法中，收斂速度和MMSE與小波函數(shù)的選擇有關(guān).小波函數(shù)應(yīng)滿足正交性、良好的時(shí)頻變換特點(diǎn)、奇異性和與原信號(hào)的相似性.其中當(dāng)原信號(hào)與小波函數(shù)越相似(即原信號(hào)在小波域的值越大)，誤差較小.

3 EBPSK系統(tǒng)多徑信道下的小波變換線性均衡

文獻(xiàn)［15］通過改變EBPSK調(diào)制參數(shù)中N和K的關(guān)系，在主徑內(nèi)產(chǎn)生保護(hù)間隔，從而消除ISI.但通常情況下，提高N會(huì)造成碼率下降和計(jì)算量增加.與傳統(tǒng)的BPSK相比，EBPSK每個(gè)碼元的采樣點(diǎn)較多，輸入均衡器的信號(hào)長(zhǎng)度較長(zhǎng)，若使用經(jīng)典均衡算法，很難在接收較短訓(xùn)練序列時(shí)快速達(dá)到穩(wěn)定的收斂狀態(tài).而通過把接收信號(hào)變換到小波域，使得信號(hào)在小波域的分量系數(shù)具有較大的最大特征值與最小特征值之比，即可提高收斂速度.

3.1 小波函數(shù)的選擇

小波變換時(shí)，若小波與給定的信號(hào)匹配，即匹配濾波器的輸出達(dá)到最大，則信號(hào)就能夠在小波某基函數(shù)空間獲得最大投影，即信號(hào)與該小波空間正交的噪聲最小，因而可減小噪聲誤差.小波與信號(hào)的匹配可分兩類:一類是波形匹配;另一類是統(tǒng)計(jì)意義上的能量匹配，在不同的應(yīng)用領(lǐng)域，它們對(duì)小波的匹配要求也不同.

EBPSK均衡器的輸入為經(jīng)過沖擊濾波的調(diào)制信號(hào)，因此應(yīng)選擇與沖擊濾波器輸出信號(hào)波形“最匹配”的小波進(jìn)行小波變換.

3.2 小波變換層數(shù)的選擇

由小波變換理論可知，層數(shù)的選擇決定分解的頻率.小波變換需在頻率和分辨率之間權(quán)衡.當(dāng)層數(shù)較大時(shí)，則對(duì)應(yīng)的分解頻率較小，分辨率較高;當(dāng)層數(shù)較小時(shí)，則對(duì)應(yīng)的分解頻率較大，分辨率較低［16］.

小波變換用于均衡時(shí)，分解后并沒有消除非正交的噪聲分量，而只是將時(shí)域變換到小波域進(jìn)行自適應(yīng)迭代訓(xùn)練.因此，小波變換層數(shù)的選擇對(duì)于迭代速度和MSE不會(huì)有影響.選擇層數(shù)時(shí)考慮迭代速度和計(jì)算量.根據(jù)EBPSK信號(hào)特點(diǎn)，取層數(shù)J=1時(shí)，迭代速度已較快，且計(jì)算量較小，因此，本文取層數(shù)J=1.

3.3 計(jì)算量

LMS的計(jì)算量為2nk次乘法，其中n為輸入信號(hào)長(zhǎng)度，k為迭代次數(shù).小波域LMS(WLMS)的小波變換過程將帶來計(jì)算量的增加，經(jīng)過小波變換就相當(dāng)于通過一組共軛鏡像濾波器組(PRQMF)［17］，若小波層數(shù)為J，則其計(jì)算量為nJ，因此WLMS的計(jì)算量為n(2k+J).由于小波分解層數(shù)J遠(yuǎn)小于迭代次數(shù)k，且EBPSK均衡器輸入信號(hào)長(zhǎng)度n較大，則當(dāng)?shù)螖?shù)k降低后，計(jì)算量將減小，迭代時(shí)間也將縮減.

4 算法仿真

設(shè)置EBPSK調(diào)制參數(shù)N=20，K=2，載波頻率為fc=5 MHz，碼率為250 Kbit/s，信噪比為1 dB.信道有 4 徑，時(shí)延矩陣為［0，0.7 ×10－6，1.5 ×10－6，2 ×10－6］，對(duì)應(yīng)的幅度衰落為［1，0.75，0.5，0.25］.由于最大時(shí)延為2 μs，因此延時(shí)影響100 個(gè)采樣點(diǎn)，即L=100，則均衡器階數(shù)為n=LNns，其中ns=10為EBPSK接收機(jī)采樣率.根據(jù)EBPSK沖擊包絡(luò)信號(hào)的特征，小波函數(shù)取Haar小波，J=1，自適應(yīng)均衡迭代取500次.

4.1 學(xué)習(xí)曲線

線性均衡的收斂速度是由步長(zhǎng)參數(shù)控制的，均衡器抽頭迭代算法為

式中，Γ為均衡器輸入信號(hào)的自相關(guān)埃爾米特矩陣，Γ=UΛUH.U為Γ的歸一化矩陣，其對(duì)角元素等于Γ的特征值.所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，即較小時(shí)，極點(diǎn)位置遠(yuǎn)離單位圓，收斂迅速.其中，λk為Γ的特征值.因此，比值λmax/λmin決定收斂速度.

輸入信號(hào)經(jīng)過離散小波變換得到小波的系數(shù)后求其自相關(guān)矩陣，與原輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣相比，其自相關(guān)矩陣特征值的最大值與最小值之比更大(見圖3).因此，當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)μ=0.09時(shí)，WLMS比LMS減少近200次迭代，具有更快的收斂速度，突發(fā)通信時(shí)可更快速地達(dá)到MSE收斂的穩(wěn)定狀態(tài)，提高通信性能.比較圖4中LMS和WLMS的最終MSE可以看到，WLMS對(duì)于最終穩(wěn)定時(shí)的MSE數(shù)值影響不大.由于WLMS算法只改變輸入信號(hào)在時(shí)頻域分量的投影，并不消除噪聲，因此穩(wěn)定時(shí)的MSE不會(huì)減少.

圖3 自相關(guān)矩陣比較

圖4 MSE學(xué)習(xí)曲線收斂速度比較

4.2 誤碼率

圖5為由LMS和WLMS在相同參數(shù)下得到的誤碼率曲線，由圖可見，LMS均衡后誤碼率較均衡前提高約1 dB.由于小波變換后信號(hào)在小波域的投影系數(shù)比在時(shí)域投影系數(shù)更“集中”，因此小波基非正交的噪聲分量減少，WLMS均衡的誤碼率略低于LMS均衡;而不同小波的線性均衡器對(duì)誤碼率的影響不大.

圖5 誤碼率比較

5 結(jié)論

1)基于小波變換的輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值與最小特征值的比值較大.

2)基于小波變換的LMS線性均衡EBPSK調(diào)制解調(diào)器比未均衡系統(tǒng)的解調(diào)性能提高1 dB，且多徑信道下的均方誤差收斂速度明顯提高.

3)均衡器使用不同小波函數(shù)在一定程度上會(huì)影響誤碼率，但不明顯，其中基于Haar小波比基于sym6小波和db6小波的LMS算法的誤碼率更低.

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Wavelet based linear equalizer in EBPSK multipath channel system

Song Wenhui Wu Lenan
(School of Information Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

The adaptive iterative convergence of classic equalize algorithm to eliminate inter-symbol interference in the extended binary phase shift keying(EBPSK)modulation system is slow.In order to improve it，this paper uses wavelet based linear equalizer for EBPSK system，which transforms the input signal from the time domain into the wavelet domain，then uses least mean square(LMS)linear equalizer.Meanwhile，under various signal-to-noise ratios this paper compares the results of different classical wavelet based linear equalizer，i.e.，the Haar，db6，sym6 wavelet.Simulation results show that after wavelet transforming the ratio of the maximum and minimum eigenvalues of the autocorrelation matrix of the input signal is larger.Thus，the convergence speed of minimum mean square error

(MSE)based on wavelet-based linear equalizer is faster than that of the widely used classic equalization algorithm，and the number of iterations and computation cost are reduced.Selecting different wavelet function for equalizer affects the error rate to some extent，but the effect is not obvious，while the error rate based on Haar wavelet LMS equalization algorithm is lower than that of sym6 wavelet and db6 wavelet.

multipath channel;extended binary phase shift keying modulation;wavelet linear equalizer;least mean square(LMS)equalizer

TN911.2

A

1001－0505(2013)01-0012-05

10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.003

2012-04-05.

宋文慧(1988—)，女，碩士生;吳樂南(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，wuln@seu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60872075).

宋文慧，吳樂南.用于EBPSK系統(tǒng)的多徑信道小波變換線性均衡器［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，43(1):12－16.［doi:10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.003］