劉 明，李文輝，黃福貴

(海軍駐景德鎮(zhèn)地區(qū)航空軍事代表室，江西景德鎮(zhèn) 333001)

0 引言

在直升機(jī)飛行性能計算中，為了提高飛行性能的計算可信度，越來越多地采用了高精度的飛行力學(xué)模型。但是如果直接將這些高精度模型用于飛行性能計算的大量迭代中，會導(dǎo)致計算量過大而難于實(shí)施。在飛行性能的優(yōu)化計算中，這個問題也會非常突出，常常使得優(yōu)化計算無法進(jìn)行。另外，無論是采用Flightlab等商業(yè)軟件還是自研程序，對于直升機(jī)飛行力學(xué)模型這樣的需要求解各種復(fù)雜配平的數(shù)學(xué)模型，希望在整個飛行包線范圍內(nèi)都能自動穩(wěn)定收斂，得到正確的配平結(jié)果是十分困難的，少數(shù)幾個計算數(shù)據(jù)點(diǎn)的不收斂結(jié)果很有可能導(dǎo)致錯誤的性能計算結(jié)果和優(yōu)化結(jié)果的失真。解決這個問題，一個可行的方法就是采用代理模型。

目前常用的代理模型主要有多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、徑向基函數(shù)模型、Kriging模型等，其中多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛的代理模型，相比其它兩種常用代理模型，它最大的優(yōu)勢是能夠有效過濾計算中的數(shù)值噪聲［1］，剔除由于飛行力學(xué)模型迭代殘差和收斂不穩(wěn)定帶來的計算結(jié)果數(shù)值抖動，保證代理模型擬合結(jié)果的光順平滑，從而提高整個代理模型擬合過程的自動化程度、可靠性和適用性，有利于后續(xù)的飛行性能計算和優(yōu)化。

本文提出一種將多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型應(yīng)用于直升機(jī)飛行性能計算的方法。首先闡述了多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的求解方法，然后給出代理模型的構(gòu)造流程，最后對算例直升機(jī)進(jìn)行原始模型計算結(jié)果、代理模型計算結(jié)果和試飛結(jié)果的對比，還有算例直升機(jī)氣動參數(shù)可行域求解，驗(yàn)證本方法在工程實(shí)踐中的可行性和優(yōu)越性。

1 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的求解方法

設(shè)代理模型共有m個設(shè)計變量，則Y為m維向量，對第i個設(shè)計向量的擬合階數(shù)是orderi，共有p個采樣點(diǎn)，對第j個樣本點(diǎn)響應(yīng)值fj(x)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的基本形式如下:

由于樣本點(diǎn)數(shù)量可能會超過未知數(shù)的數(shù)量，上式可能為超靜定的線性矩陣方程，可以通過Gram-Schimdt正交化方法QR分解來求解。采用傳統(tǒng)Gram-Schimdt正交化方法求解列正交矩陣Q時，舍入誤差較大，導(dǎo)致求解最小二乘法時會出現(xiàn)不穩(wěn)定，需要采用修正的 Gram-Schimdt正交化方法［2］。對于A矩陣可以拆分為n個列向量a1，a2，…，an，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基q1，q2，…，qn:

矩陣Q=［q1q2…qn］

通過修正Gram-schmidt方法可以求得矩陣A的QR分解A=QR，其中QQT=I，且矩陣R為上三角矩陣，于是上式可以變形為:

通過上三角追趕法就可以求得系數(shù)向量X。

進(jìn)行多變量的高階多項(xiàng)式響應(yīng)面擬合時，矩陣A常常是病態(tài)矩陣，而且階數(shù)越高、變量數(shù)量越多，病態(tài)越嚴(yán)重。當(dāng)病態(tài)嚴(yán)重到一定程度后，計算中就會出現(xiàn)不可用的擬合結(jié)果。因此還需要對樣本點(diǎn)設(shè)計變量的分布區(qū)間進(jìn)行平移和壓縮，映射到區(qū)間［－100，100］。設(shè)第j個設(shè)計變量的分布區(qū)間上下限為［ymax，ymin］，則對某個樣本點(diǎn)的設(shè)計變量平移公式為:

得到平移后的設(shè)計變量。通過實(shí)踐證明，使用映射后的設(shè)計變量進(jìn)行最小二乘法擬合可以有效降低矩陣A的病態(tài)程度，保證直升機(jī)飛行性能代理模型構(gòu)造的數(shù)值穩(wěn)定。

得到代理模型的系數(shù)后就可以按多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的基本形式得到樣本點(diǎn)區(qū)間內(nèi)任意變量組合的響應(yīng)值了。

2 建立直升機(jī)需用功率的代理模型

下面介紹計算用于直升機(jī)飛行性能分析的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的構(gòu)建流程:

1)確定設(shè)計空間的擬合階數(shù)和樣本點(diǎn)

對于給定的直升機(jī)，對需用功率影響較大的飛行參數(shù)有:飛行重量、壓力高度、大氣溫度、平飛速度、爬升速度、重心位置、旋翼轉(zhuǎn)速等。如果要進(jìn)行氣動參數(shù)優(yōu)化，還可以加入平尾面積、平尾位置、平尾安裝角等氣動參數(shù)。根據(jù)直升機(jī)的一般飛行包線和統(tǒng)計設(shè)計參數(shù)范圍，可以確定設(shè)計空間的上下限。

然后是確定對每個飛行參數(shù)的擬合階數(shù)，飛行重量、壓力高度、大氣溫度、爬升速度對需用功率的影響比較接近線性關(guān)系，可以使用一階線性或者二階多項(xiàng)式擬合。平飛速度對需用功率的影響相對復(fù)雜，使用5階或者6階多項(xiàng)式就可以較好地擬合。對于氣動參數(shù)則需要結(jié)合其自身特點(diǎn)進(jìn)行分析，確定所需擬合階數(shù)。

確定擬合階數(shù)后就可以確定每個參數(shù)的采樣個數(shù)，采樣個數(shù)需要高于參數(shù)的擬合階數(shù)，樣本點(diǎn)的總數(shù)為所有變量的采樣個數(shù)乘積。

2)使用直升機(jī)飛行力學(xué)軟件計算樣本點(diǎn)需用功率

使用直升機(jī)飛行力學(xué)軟件對第一步確定的樣本點(diǎn)逐一進(jìn)行計算得到對應(yīng)的需用功率，并將沒有收斂的數(shù)據(jù)點(diǎn)剔除掉，以免對擬合結(jié)果造成誤差。

3)構(gòu)造模型擬合方程，使用最小二乘法對樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合

對樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)按前面的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型進(jìn)行組織，得到矩陣方程，并依次進(jìn)行QR分解和上三角追趕求解擬合系數(shù)。

4)使用得到的代理模型進(jìn)行需用功率計算，檢查代理模型精度

使用得到的代理模型對樣本點(diǎn)和其它測試點(diǎn)的需用功率進(jìn)行計算，對比樣本點(diǎn)的需用功率和代理模型的計算結(jié)果，判斷代理模型是否滿足所需的精度要求。如果代理模型精度不能滿足要求，則調(diào)整樣本點(diǎn)設(shè)置并提高多項(xiàng)式的擬合階數(shù)，直到滿足精度要求為止。

具體流程圖見圖1。

3 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型在直升機(jī)飛行性能計算中的應(yīng)用

對算例直升機(jī)使用前面的方法構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型，各樣本點(diǎn)和擬合參數(shù)選擇如表1，總共有1701個樣本點(diǎn)。

圖1 代理模型構(gòu)建流程

表1 代理模型構(gòu)建參數(shù)

代理模型構(gòu)建完成后，分別使用代理模型與原始模型兩種方法計算算例直升機(jī)的平飛和垂直飛行需用功率曲線，再將計算結(jié)果與試飛結(jié)果比對，得到圖2、圖3和圖4。

圖2 不同平飛速度對應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計算結(jié)果對比

圖3 不同無地效懸停重量對應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計算結(jié)果對比

圖4 不同爬升速度對應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計算結(jié)果對比

可以看到代理模型對需用功率的計算結(jié)果和試飛結(jié)果基本一致，除小速度平飛狀態(tài)外，代理模型和原始模型計算結(jié)果的誤差基本在0.5%之內(nèi)，滿足性能計算的精度要求。

采用多目標(biāo)粒子群算法對直升機(jī)短翼參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，分別使用代理模型和原始模型兩種方法進(jìn)行求解，得到的可行域邊界如圖5，可以看到兩者求得的可行域邊界基本一致，代理模型滿足優(yōu)化計算的要求。同時需用計算時間從36min減小到2.5min，極大地提高了計算速度(見圖6)。

圖5 短翼參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化的代理模型和原始模型的計算結(jié)果對比

圖6 多目標(biāo)優(yōu)化的代理模型和原始模型計算需用時間對比

4 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型在直升機(jī)飛行性能計算中應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)

通過在實(shí)際工程的直升機(jī)飛行性能計算中運(yùn)用多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型，相比傳統(tǒng)直接對直升機(jī)需用功率進(jìn)行計算，多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型主要有以下優(yōu)點(diǎn):

1)方便多人協(xié)同工作和前后工作銜接

實(shí)際工作中，一個型號的性能計算工作往往是有多人參與的，不同人對性能分析的輸入?yún)?shù)和使用軟件不同可能導(dǎo)致不同的計算結(jié)果。同一個型號性能計算工作的時間跨度也可能很大，工作途中對參數(shù)和軟件的修改可能造成前后的計算結(jié)果不一致。采用代理模型后，就減小了對軟件和參數(shù)的意外調(diào)整的可能，能夠方便統(tǒng)一每人的工作以及同一型號的前后結(jié)果。

2)極大地提高了計算速度，沒有收斂性問題

代理模型在完成構(gòu)造后只需要遠(yuǎn)小于直接計算的計算量就可以得到滿足精度要求的結(jié)果，能夠有效減小性能計算工作的計算量，完全避免了直接計算中的收斂性問題。

3)使得高精度模型應(yīng)用于直升機(jī)飛行性能計算成為可能

由于代理模型構(gòu)造所需的樣本點(diǎn)既可以從自研程序讀入，也可以使用商業(yè)軟件，且具有計算速度快的特點(diǎn)，在完成飛行性能的高精度模型構(gòu)造后，就能將高精度模型用于直升機(jī)飛行性能計算與參數(shù)優(yōu)化，避免了高精度模型所需計算量過大和程序之間接口的問題。

4)可推廣運(yùn)用于電子飛行包和電子飛行手冊等其它需要飛行性能計算的領(lǐng)域

電子飛行包和電子飛行手冊等的應(yīng)用，需要提供飛行性能計算功能，但是硬件平臺計算能力非常有限，不能滿足直接計算所需的計算速度要求，這就可以采用代理模型來提供飛行性能計算結(jié)果，在減小計算量的同時保證了結(jié)果精度。在某些不適合提供完整性能計算模型的場合也可以使用代理模型替代。

5 結(jié)論

由前面論述可以看出:

1)多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型對直升機(jī)需用功率擬合精度較高，并且數(shù)值穩(wěn)定，滿足工程運(yùn)用的要求，可用于直升機(jī)性能計算、氣動參數(shù)優(yōu)化選擇和電子飛行手冊等多個領(lǐng)域。

2)使用代理模型進(jìn)行飛行性能計算，相比傳統(tǒng)原始模型，計算速度快，沒有收斂性問題，方便多人協(xié)同工作和前后工作銜接，具有很高的工程實(shí)用價值。

［1］穆雪峰.多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化中常用代理模型的研究［J］.計算力學(xué)學(xué)報.2005(10).

［2］宋葉志.Fortran95/2003科學(xué)計算與工程［M］.北京:清華大學(xué)出版社.2011.