譚立輝，張志剛

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006)

1936 年，Armstrong［1］發(fā)現(xiàn)在通信信號(hào)對(duì)正弦信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，可以有效抑制噪聲，人們隨之對(duì)調(diào)頻信號(hào)中的“頻率”這一物理量展開研究。1937年，Carson等人［2］在電路理論中推廣了頻率的定義，使之成為隨時(shí)間變化的函數(shù)。如果實(shí)信號(hào)f(t)被描述成ρ(t)cos θ(t)的形式，那么把瞬時(shí)頻率定義為相位的導(dǎo)數(shù)是很自然的，因?yàn)樗跁r(shí)間范圍內(nèi)的平均值就是瞬時(shí)頻率。但我們知道，對(duì)于給定的實(shí)信號(hào)f(t)，可以寫出很多種形如ρ(t)cos θ(t)的形式，因此如何選取合適［ρ(t)，θ(t)］用來定義瞬時(shí)頻率是當(dāng)時(shí)困擾科學(xué)家的一個(gè)問題。這個(gè)問題直到1946年，才由Gabor［3］引入的解析信號(hào)方法得到解決。在此研究的基礎(chǔ)上，Ville［4］在1948年給出了一種統(tǒng)一的瞬時(shí)頻率的定義:

在信號(hào)處理中，我們把ρ(t)，θ(t)分別稱為信號(hào)的幅度和相位，ωf(t)=［θ(t)］稱為信號(hào)的瞬時(shí)頻率，而稱之為共軛周期解析信號(hào)。

用解析信號(hào)的方法求幅度、相位和瞬時(shí)頻率已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于通信和系統(tǒng)鑒定等領(lǐng)域，但用此方法求得的幅度、相位和瞬時(shí)頻率也存在一些無法合理解釋的物理現(xiàn)象，比如說，用解析信號(hào)的方法求得的瞬時(shí)頻率可以不是頻譜中的頻率之一，解析信號(hào)的頻譜對(duì)于負(fù)頻率為零，但瞬時(shí)頻率卻可以是負(fù)的［5－6］。因此，我們希望求得的相位幅度對(duì)［ρ(t)，θ(t)］不僅滿足等 式［ρ(t)cosθ(t)］=ρ(t)sinθ(t)，而且還能進(jìn)一步滿足 Bedrosian等式［7］

通過對(duì)Bedrosian等式的研究，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式成立的一個(gè)條件就是周期解析信號(hào)與共軛周期解析信號(hào)的乘積必須是周期解析信號(hào)［8－9］。因此在本文中，我們將利用后移不變子空間的結(jié)論，給出周期解析信號(hào)與共軛周期解析信號(hào)的乘積仍為周期解析信號(hào)的充要條件。特別地，當(dāng)周期解析信號(hào)對(duì)應(yīng)的Z變換過圓周解析時(shí)，其對(duì)應(yīng)的共軛周期解析信號(hào)是有理函數(shù)且此有理函數(shù)的極點(diǎn)恰為周期解析信號(hào)對(duì)應(yīng)的Z變換的零點(diǎn)。作為上述結(jié)論的應(yīng)用，我們研究了具有長度為n的Fourier級(jí)數(shù)的周期解析信號(hào)保持幅度不變的條件。

1 若干引理

其中sgn表示符號(hào)函數(shù)，當(dāng)k≠0，sgn(k)=k/|k|;當(dāng)k=0，sgn(k)=0。自然周期解析信號(hào)具有下面Fourier級(jí)數(shù)展開形式:

引理1［10］假設(shè)不恒等于零的函數(shù)f(z)∈aHp(D)，1≤p＜∞ 。那么對(duì)于z∈D，fa(z)有唯一的分解:fa(z)=Ofa(z)Ifa(z)，其中Ofa(z)∈Hp(D)是fa(z)對(duì)應(yīng)的外部函數(shù)，它能表示成下面的形式

其中c是模為1的復(fù)常數(shù);Ifa(z)是其對(duì)應(yīng)的內(nèi)部函數(shù)，它能進(jìn)一步分解為Ifa(z)=Bfa(z)Sfa(z)，其中Bfa(z)是由fa(z)的零點(diǎn)構(gòu)成的Blaschke積，它可表示為:

其中 {zi}是fa(z)在單位圓D上的零點(diǎn)序列 (其重點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算)，m表示fa(z)在z=0處的重點(diǎn)數(shù)，而表示zk的共軛;Sfa(z)是奇異內(nèi)函數(shù)。

顯然，對(duì)于幾乎處處的t∈［0，2π］，周期解析信號(hào)fa(eit)∈H2［0，2π］可分解為

2 主要結(jié)論

那么，對(duì)于幾乎處處的t∈［0，2π］，有

因此，對(duì)于幾乎處處的t∈［0，2π］，有下面的等式成立

自然，我們有

又因?yàn)镺fa(eit)∈H2［0，2π］，h(eit)∈H2［0，2π］，根據(jù) Holder不等式和 F.和 M.Reize定理［10］，所以我們有當(dāng)n＜0時(shí)，有cn(fagda)=0。

事實(shí)上，上述結(jié)論已經(jīng)被我們運(yùn)用到對(duì)Bedrosian等式的刻畫中去了［11］。作為上述結(jié)果的進(jìn)一步應(yīng)用，我們將用它來刻畫長度為n的Fourier級(jí)數(shù)的周期解析信號(hào)保持幅度不變的條件。

記Suppf=［inf{n，cn(f)≠0}，sup{n，cn(f)≠0}］表示f(eit)∈L2［0，2π］的 Fourier級(jí)數(shù)支集，令Pm，n［0，2π］表示所有滿足f(eit)∈L2［0，2π］且其支集滿足 Supp［f(eit)］:=［inf{n，cn(f)≠ 0}，sup{n，cn(f)≠0}］?［m，n］的函數(shù)f(eit)的集合，其中m，n為有限整數(shù)。對(duì)于Pm，n［0，2π］中的函數(shù)，通過簡單的計(jì)算，我們有以下引理:

由引理2，定理1和引理3，我們有:

因此存在h(eit)∈H2［0，2π］使得

顯然地，如果f(eit)∈Pm，n［0，2π］，m＜0＜n，我們知道其對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)fa(eit)∈P0，n［0，2π］。下面，我們刻畫具有有限長Fourier級(jí)數(shù)的周期解析信號(hào)保持幅度不變的條件:

［1］ARMSTRONG E H.A method of reducing disturbances in radio signaling by a system of frequency modulation［J］.Proceedings of the Institute of Radio Engineers，1936，24(5):689－740.

［2］CARLSON J L，F(xiàn)RY T C.Variable frequency electric circuit theory with application to the theory of frequencymodulation［J］.Bell System Technical Journal，1937，16:513－540.

［3］GABOR D.Theory of communications［J］.Journal Institute of Electrical Engineers，1946，93:429 －457.

［4］VILLE J.Théorie et applications de la notion de signal analytique［J］.Cables et Transmissions，1948，2:61 －74.

［5］BOASHASH B.Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal［J］.Proceedings of the IEEE，1992，80:520－538.

［6］COHEN L.Time-frequency analysis［M］.New Jersey:Prentice Hall，Englewood Cliffs，1995.

［7］HUANG N E，SHEN Z，LONG S R，et al.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis［J］.Proceedings of the Royal Society A，1998，454:903－995.

［8］BROWN J.A Hilbert transform product theorem ［J］.Proceedings of the IEEE，1986，74:520－521.

［9］TAN L H，YANG L H，HUANG D R.Construction of periodic analytic signals satisfying the circular Bedrosian identity ［J］.IMA Journal of Applied Mathematics，2010，75(2):246－256.

［10］GARNETT J B.Bounded analytic function［M］.New York:Academic Press，1987.

［11］TAN L H，YANG L H，HUANG D R.The structure of instantaneous frequencies of periodic analytic signals［J］.Science China:Series A，2010，53(2):347 －355.

［12］OPPENHEIM A V，SCHAFER R W.Discrete-time signal processing［M］.New Jersey:Prentice Hall，Englewood Cliffs，1989.