楊海強，張得禮，安魯陵

（南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016）

0 引 言

許多工業(yè)機械傳動系統(tǒng)（例如凹版印刷長軸驅(qū)動、紡紗機械中的羅拉傳動、全電型注塑機等設(shè)備）中大量使用的滾珠絲杠傳動、風(fēng)力發(fā)電變槳傳動等，都會由于傳動系統(tǒng)的剛性不足而產(chǎn)生速度波動問題。針對彈性傳動系統(tǒng)的研究與速度波動控制，國內(nèi)外專家學(xué)者已經(jīng)做了大量的工作。Krzyszt of Szabat 等人[1]將卡爾曼濾波器應(yīng)用于彈性連接的高性能傳動系統(tǒng)。Jaroslaw Guzinski 等人[2]采用速度和轉(zhuǎn)矩觀測器對高速列車的彈性傳動系統(tǒng)進行了控制。A.Hace 等人[3]對輸送帶彈性傳動系統(tǒng)的速度波動進行了控制。伍建國等人[4]基于Riccati 傳遞矩陣法建立了內(nèi)圓磨床傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。余丹萍等人[5]建立了CRH3 動車組牽引傳動系統(tǒng)仿真模型并對其直接轉(zhuǎn)矩控制方法的有效性進行了驗證。緱春芳[6]建立了風(fēng)力發(fā)電機傳動系統(tǒng)模型并對齒輪部件進行了模態(tài)分析。

目前，許多彈性傳動系統(tǒng)都被簡化為兩質(zhì)點系統(tǒng)，因此很多速度波動控制算法都是基于簡化后的二質(zhì)量體傳動系統(tǒng)模型。

本研究在兩質(zhì)點系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，考慮更為復(fù)雜的三質(zhì)點機械傳動系統(tǒng)模型。筆者采用基于模型控制的算法思想，在只用一個編碼器的情況下對三質(zhì)量體系統(tǒng)的速度進行控制，達(dá)到很好的控制效果，為開環(huán)情況下解決復(fù)雜傳動系統(tǒng)速度波動問題提供有效的控制方法。

1 系統(tǒng)描述

三質(zhì)點共軸彈性傳動系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

圖1 中，3 塊大小不一的圓柱形質(zhì)量體分別通過中心軸固定在立式支撐架上，并且3 個質(zhì)量體的中心軸線處在一條水平線上。質(zhì)量體從左數(shù)起：第1 塊和第2塊、第2 塊和第3 塊之間通過具有一定柔性的彈簧連接（彈簧的柔性和彈性可足以帶動軸和質(zhì)量體的運動）。第1 塊質(zhì)量體的左端直接與直流電機（帶減速器）連接，電機轉(zhuǎn)動則可以驅(qū)動3 塊質(zhì)量體轉(zhuǎn)動。

由于彈簧柔性較大，電機、減速器和第1 塊質(zhì)量體可以看成剛性連接。當(dāng)電機開始運轉(zhuǎn)，由于彈簧的柔性作用，第2、第3 個質(zhì)量塊需要經(jīng)過很長時間的振動才能漸漸平穩(wěn)，以相對穩(wěn)定的速度運轉(zhuǎn)。

2 系統(tǒng)建模

2.1 機械部分建模

根據(jù)系統(tǒng)機械傳動特性，本研究對機械部分進行數(shù)學(xué)建模。建模時對系統(tǒng)進行如下簡化：

①把電機轉(zhuǎn)子、減速器、質(zhì)量體1 看成一個整體進行轉(zhuǎn)動慣量的計算；②忽略質(zhì)量體與支座之間的摩擦力。

機械部分動力學(xué)方程可表示為：

式中：T1—減速器輸出的扭矩；J1—電機+減速器+聯(lián)軸器+質(zhì)量塊1 的等效到質(zhì)量體1 軸上的轉(zhuǎn)動慣量；J2—質(zhì)量塊2 軸上的轉(zhuǎn)動慣量；J3—質(zhì)量塊3 軸上的轉(zhuǎn)動慣量；θ1—質(zhì)量塊1 的角位移；θ2—質(zhì)量塊2 的角位移；θ3—質(zhì)量塊3 的角位移；C1，C2—彈簧阻尼系數(shù)，C1=C2=Cs；K1，K2—彈簧扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，K1=K2=Ks。

2.2 直流電機部分建模

根據(jù)直流電動機電樞回路電壓平衡方程式和電機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程式[7-8]，建立直流電機數(shù)學(xué)模型：

式中：La—電樞電感，ua—電樞電壓，i—電樞電流，Ea—反電動勢，Ra—電樞電阻，Ke—反電動勢系數(shù)，Kt—電機電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)，Tm—電機電磁轉(zhuǎn)矩，Td—電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩，θ—電機轉(zhuǎn)子角位移，B—等效在電動機軸上的阻尼系數(shù)，J—電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量。

2.3 系統(tǒng)傳遞函數(shù)

本研究要實現(xiàn)無刷直流電機高精度和高動態(tài)性能的控制，不僅要控制電機轉(zhuǎn)速，同時還要控制速度的變化率也就是加速度。由直流電機的運動方程可知，加速度與電機轉(zhuǎn)矩成正比，而轉(zhuǎn)矩又與電動機的電流成正比。因而需要同時對電動機的速度和電流進行控制。為了實現(xiàn)高動態(tài)性能的速度控制系統(tǒng)，無刷直流電機采用轉(zhuǎn)速、電流雙閉環(huán)的控制模式。設(shè)直流電機速度環(huán)控制器傳遞函數(shù)為G(s)，由式（1～7）可以得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。在該系統(tǒng)模型中，系統(tǒng)輸入為質(zhì)量體3 目標(biāo)角速度θ˙i，輸出為質(zhì)量體3 的實際角速度 θ˙3。

3 控制算法

3.1 系統(tǒng)模型的簡化

一般無刷直流電機的電氣時間常數(shù)遠(yuǎn)小于其機電時間常數(shù)，因此電流環(huán)的動態(tài)響應(yīng)性能遠(yuǎn)大于速度環(huán)的動態(tài)響應(yīng)性能，也就是電流的變化要比速度的變化快得多。而電機反電動勢與轉(zhuǎn)速成正比，因此在直流電機有合適的電流負(fù)反饋條件下，電機反電動勢對電流環(huán)的影響很小，可以忽略。本研究忽略電機電感La以及電機轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)B 的影響，簡化電機部分傳遞函數(shù)[9]。

簡化后系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為如圖2 所示的框圖。

圖2 簡化后系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖

3.2 質(zhì)量體3 轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制方式

對質(zhì)量體3 轉(zhuǎn)速w3 的控制是通過調(diào)節(jié)質(zhì)量體2 的轉(zhuǎn)速w2實現(xiàn)的，而質(zhì)量體2 的轉(zhuǎn)速是通過控制質(zhì)量體1 的轉(zhuǎn)速w1 來進行調(diào)節(jié)。

本研究把質(zhì)量體2 和質(zhì)量體3 看成一個整體子系統(tǒng)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，質(zhì)量體2 和質(zhì)量體3 必須以相同的速度進行運轉(zhuǎn)。本研究把質(zhì)量體2 和質(zhì)量體3 的速度差看作是子系統(tǒng)的輸出量，即質(zhì)量體3 需要補償?shù)乃俣攘?，設(shè)為Δw23。本研究把Δw23乘以比例系數(shù)k，與質(zhì)量體2 的轉(zhuǎn)速相加，得到新的質(zhì)量體2 的轉(zhuǎn)速w′2，w′2中包含了質(zhì)量體3 所需補償?shù)乃俣攘?。再用PI 控制器調(diào)節(jié)質(zhì)量體1 與質(zhì)量體2 的速度差Δw12，補償電機給定轉(zhuǎn)速，達(dá)到間接調(diào)節(jié)質(zhì)量體3 的輸出轉(zhuǎn)速的目的。

閉環(huán)控制理論框圖如圖3 所示。

圖3 閉環(huán)控制理論框圖

3.3 基于模型算法的質(zhì)量體3 轉(zhuǎn)速開環(huán)控制

在很多工業(yè)自動化控制環(huán)境下，在被控設(shè)備的末端執(zhí)行器往往難以安裝測速傳感器，上述的全閉環(huán)控制很難實現(xiàn)?；谀Ｐ退惴ǖ乃枷刖驮谟诒苊庠诳刂苹芈分惺褂脗鞲衅麟y以采集的末端執(zhí)行器的速度信號（在圖1 所示的系統(tǒng)中可認(rèn)為是質(zhì)量體2 和3 的速度信號），而用簡化后的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型預(yù)估出質(zhì)量體2的轉(zhuǎn)速wm2和質(zhì)量體3 的轉(zhuǎn)速wm3，再用閉環(huán)控制的速度補償方式對速度進行控制。

控制理論框圖如圖4 所示。

4 實驗驗證

4.1 實驗系統(tǒng)的搭建

圖4 基于模型算法的控制理論框圖

為了驗證模型算法的控制效果，本研究搭建了三質(zhì)量體彈性扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)試驗臺，實物圖如圖5 所示。

實驗裝置由PLC、減速器、編碼器、轉(zhuǎn)動質(zhì)量體、彈簧組成，其中PLC 部分使用了以下模塊：使用貝加萊X20 系列標(biāo)準(zhǔn)型CPU 作為PLC 系統(tǒng)的控制器；使用X20 系列的直流電機模塊MM2436 控制直流電機；使用X20 系列的編碼器模塊X20DC1976 接收編碼器的反饋信息。其中編碼器共有2 個，一個位于第一個質(zhì)量體右端，用于測量質(zhì)量體1 轉(zhuǎn)速，即電機轉(zhuǎn)速；一個位于第三塊質(zhì)量體右端，用于測量第三塊質(zhì)量體的轉(zhuǎn)速，該編碼器僅用于觀測控制效果。

圖5 試驗臺

4.2 實驗結(jié)果與分析

實驗過程中，系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速恒定為2 500 °/s，通過質(zhì)量體3 右端的編碼器觀測質(zhì)量體3 的速度曲線。模型算法控制前質(zhì)量體3 的響應(yīng)速度曲線如圖6所示。此時，系統(tǒng)速度超調(diào)量為112%，調(diào)整時間為13.4 s。

模型算法控制后質(zhì)量體3 速度曲線如圖7 所示。此時，系統(tǒng)超調(diào)量為4.2%，調(diào)整時間為1.2 s，質(zhì)量體3的速度曲線已基本平滑。

實驗結(jié)果表明，模型算法對彈性三質(zhì)點共軸運動系統(tǒng)的速度波動有很好的控制作用。

圖6 控制前質(zhì)量體3 速度曲線

圖7 控制后質(zhì)量體3 速度曲線

5 結(jié)束語

為了解決工業(yè)機械彈性傳動系統(tǒng)中出現(xiàn)的復(fù)雜速度波動問題，本研究提出了基于模型的彈性多質(zhì)點共軸運動系統(tǒng)的控制算法，并且通過搭建三質(zhì)點共軸運動系統(tǒng)試驗臺，對該算法的有效性進行了實驗驗證。實驗結(jié)果表明：在開環(huán)情況下，該算法可以對彈性傳動系統(tǒng)的速度波動問題進行有效的控制。

在下一階段，本研究將在實際工業(yè)控制場合進一步驗證算法的有效性。由于在實際工業(yè)控制環(huán)境下，被控設(shè)備的運行情況將更加復(fù)雜，在今后的研究中，研究者可能需要進一步改進控制算法，使之能應(yīng)用于更為復(fù)雜多變的工業(yè)控制環(huán)境。

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