張 毅，楊建國(guó)，李自漢

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

0 引言

隨著制造業(yè)對(duì)加工精度要求的不斷提高，近年來(lái)針對(duì)如何進(jìn)一步減小數(shù)控機(jī)床的誤差進(jìn)行了一系列研究。研究表明：無(wú)論是傳統(tǒng)的三軸數(shù)控機(jī)床，還是引入了旋轉(zhuǎn)軸的多軸數(shù)控機(jī)床，機(jī)床定位誤差都是最重要的誤差來(lái)源。在機(jī)床實(shí)際加工過(guò)程中，定位誤差在最終形成的加工誤差中所占比例可高達(dá)70%［1］。尤其是在大、中型機(jī)床中，定位誤差對(duì)加工精度的影響更為顯著。因此，對(duì)定位誤差進(jìn)行有效的測(cè)量、建模和補(bǔ)償，是提高機(jī)床運(yùn)動(dòng)性能和加工精度的首要途徑。

機(jī)床定位精度受到機(jī)床零部件加工精度、裝配精度以及機(jī)床溫度場(chǎng)變化引起的熱變形的綜合影響。傳統(tǒng)的螺距誤差補(bǔ)償只能進(jìn)行恒溫條件下的定位誤差補(bǔ)償，并不考慮溫度變化對(duì)定位誤差的影響，因此，在機(jī)床的實(shí)際加工過(guò)程中，隨著機(jī)床溫度的不斷變化，補(bǔ)償精度會(huì)逐漸降低。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)床誤差和溫度場(chǎng)變化之間的關(guān)系做了大量研究。Pahk等人［2］用多元回歸分析方法建立了機(jī)床定位誤差預(yù)測(cè)模型，通過(guò)補(bǔ)償提高了機(jī)床定位精度。王維等人［3］對(duì)一臺(tái)立式加工中心的定位誤差進(jìn)行了全溫度范圍內(nèi)的誤差建模和補(bǔ)償研究，取得了良好的補(bǔ)償效果。此外，楊建國(guó)［4］、Wu［5］和張琨［6］等人也在這方面進(jìn)行了理論和試驗(yàn)探索，研究了機(jī)床定位誤差的影響因素及其變化規(guī)律。

然而，以上模型基本都將機(jī)床熱誤差和溫度場(chǎng)的變化近似視為線(xiàn)性變化規(guī)律，沒(méi)有充分考慮到機(jī)床熱變形是一個(gè)復(fù)雜的、時(shí)變的非線(xiàn)性過(guò)程［7-8］，所以其模型預(yù)測(cè)精度有待于進(jìn)一步提高。本文在對(duì)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了基于自然指數(shù)模型的機(jī)床定位誤差建模方法，建立了定位誤差與機(jī)床坐標(biāo)位置、環(huán)境溫度變量及機(jī)床關(guān)鍵構(gòu)件溫度變量之間的非線(xiàn)性預(yù)測(cè)模型，可以對(duì)不同溫度條件下的定位誤差做出預(yù)測(cè)，并在一臺(tái)機(jī)床上進(jìn)行了實(shí)際誤差補(bǔ)償試驗(yàn)，大幅提高機(jī)床定位精度。

1 滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)及熱源分析

滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是數(shù)控機(jī)床的重要傳動(dòng)部件，負(fù)責(zé)將伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)(或主軸)的平移運(yùn)動(dòng)。圖1所示為常見(jiàn)的機(jī)床平動(dòng)軸滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，主要由伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、前端軸承、絲杠螺母、絲杠和后端軸承構(gòu)成。通常來(lái)說(shuō)，滾珠絲杠機(jī)構(gòu)的加工精度、裝配精度以及由溫度變化引起的熱誤差都是降低機(jī)床定位精度的主要誤差來(lái)源。其中，前兩種誤差來(lái)源不會(huì)在機(jī)床的加工過(guò)程中發(fā)生變化(或者變化相對(duì)較小)，可以視作幾何誤差，屬于靜態(tài)誤差的范疇;而由溫度變化引起的熱誤差則會(huì)在機(jī)床的加工過(guò)程中隨著溫度的變化而發(fā)生改變，屬于動(dòng)態(tài)誤差范疇。因此在對(duì)機(jī)床定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，需要綜合考慮幾何誤差和熱誤差的影響。

圖1 滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

從圖1中可以看出，滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)主要有四大熱源：伺服電機(jī)功率損耗產(chǎn)生的熱量、絲杠前、后端軸承的摩擦發(fā)熱，以及螺母在絲杠上來(lái)回運(yùn)動(dòng)的摩擦發(fā)熱。要研究機(jī)床熱誤差與溫度場(chǎng)分布之間的關(guān)系，就必須對(duì)這四個(gè)主要熱源的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集，這里分別用 Tmotor、Tb1、Tb2和 Tnut來(lái)表示。此外，機(jī)床所處環(huán)境溫度也會(huì)對(duì)機(jī)床熱誤差造成一定影響，所以需要測(cè)量環(huán)境溫度Tamb。幾個(gè)主要熱源產(chǎn)生的大量熱量會(huì)在機(jī)床零部件內(nèi)部進(jìn)行熱傳導(dǎo)，也會(huì)和周?chē)諝庵g發(fā)生對(duì)流傳熱，形成復(fù)雜的溫度場(chǎng)分布情況，引起滾珠絲杠的熱膨脹變形，并最終導(dǎo)致不同溫度條件下的定位誤差各不相同。相關(guān)文獻(xiàn)表明［7-8］，機(jī)床的熱變形(誤差)和溫度場(chǎng)之間存在復(fù)雜的非線(xiàn)性變化規(guī)律，下面將對(duì)定位誤差的變化規(guī)律和影響因素做進(jìn)一步研究。

2 定位誤差變化規(guī)律分析及建模

2.1 機(jī)床關(guān)鍵構(gòu)件溫度對(duì)定位誤差的影響

為了全面了解機(jī)床定位誤差在不同溫度條件下的變化規(guī)律，本試驗(yàn)以五軸機(jī)床的X軸為例，首先在機(jī)床冷態(tài)時(shí)，用激光干涉儀測(cè)量定位誤差，然后讓機(jī)床以一定的進(jìn)給速度進(jìn)行熱機(jī)，每隔30min重新測(cè)量定位誤差，直到機(jī)床達(dá)到熱平衡狀態(tài)。與此同時(shí)，通過(guò)溫度傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量各關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度變化。圖2所示為從機(jī)床冷態(tài)開(kāi)始到熱平衡過(guò)程中不同時(shí)刻的各關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度變化曲線(xiàn)。圖3所示為不同時(shí)刻的X軸定位誤差曲線(xiàn)。

圖2 不同時(shí)刻的機(jī)床關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度變化曲線(xiàn)

圖3 不同時(shí)刻的機(jī)床X軸定位誤差曲線(xiàn)

從圖2可以看出，在機(jī)床開(kāi)始運(yùn)行階段，各測(cè)點(diǎn)的溫度增長(zhǎng)速率較快，說(shuō)明機(jī)床產(chǎn)熱量大于散熱量;隨著機(jī)床的不斷運(yùn)行，各部件的產(chǎn)熱量和散熱量基本趨于相等，溫度增長(zhǎng)速率減緩，并在約135min之后基本穩(wěn)定在某一溫度值左右波動(dòng)。其中，絲杠螺母，前、后端軸承均表現(xiàn)出了這樣的變化規(guī)律，當(dāng)?shù)竭_(dá)熱平衡時(shí)，各自的溫度分別穩(wěn)定在33℃、38℃和36℃左右。然而，在240min的運(yùn)行過(guò)程中，伺服電機(jī)的溫度一直保持較快增長(zhǎng)，且沒(méi)有明顯的變緩和到達(dá)熱平衡的趨勢(shì)，最高溫升將近35℃。不同于滾珠絲杠和前后軸承的摩擦生熱，伺服電機(jī)的熱量主要來(lái)源于功率損耗，和伺服電機(jī)的配置參數(shù)、負(fù)載等有關(guān)，而且電機(jī)與滾珠絲杠之間存在一定的距離，可以認(rèn)為電機(jī)生熱對(duì)絲杠的熱膨脹影響不是很大，從測(cè)量得到的溫度和定位誤差數(shù)據(jù)分析來(lái)看，兩者之間的確不存在明顯的數(shù)學(xué)關(guān)系，所以在誤差模型中，可以不考慮伺服電機(jī)溫度的影響。

本組測(cè)量試驗(yàn)是在ISO 230-3［9］推薦的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度(20℃)下進(jìn)行的，因此在0min時(shí)(機(jī)床處于冷態(tài)時(shí))測(cè)量得到的定位誤差，可以認(rèn)為是與溫度無(wú)關(guān)的幾何誤差，主要由機(jī)床構(gòu)件的加工精度和裝配精度決定，屬于靜態(tài)誤差。隨著機(jī)床運(yùn)行時(shí)間的增長(zhǎng)，各部件的溫度逐漸升高，使得X軸的定位誤差也發(fā)生了改變。從圖3中可以看出，不同時(shí)刻的定位誤差曲線(xiàn)形狀基本相同，但是誤差曲線(xiàn)的整體變化趨勢(shì)(可用誤差曲線(xiàn)的一次擬合斜率來(lái)描述)隨著溫度的升高而逐漸變大，因此所有的定位誤差曲線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)“扇形圖譜”，即：以進(jìn)給軸原點(diǎn)為中心，隨著機(jī)床的不斷熱機(jī)，定位誤差曲線(xiàn)尾部逐漸上翹，從而形成一簇形狀相似的誤差曲線(xiàn)。

基于以上分析，可以將定位誤差分成兩個(gè)組成部分，如式(1)所示，一部分為幾何誤差EG，用來(lái)描述定位誤差曲線(xiàn)的基本形狀;另外一部分為熱誤差ET，用來(lái)描述定位誤差曲線(xiàn)隨溫度的整體變化趨勢(shì)。EG和ET分別可由式(2)和式(3)來(lái)表達(dá)。

式中：δ表示X軸的定位誤差;x表示X軸的坐標(biāo)位置;T表示與X軸有關(guān)的關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)構(gòu)成的溫度向量;n表示幾何誤差擬合多項(xiàng)式的階次;kT表示與溫度向量T有關(guān)的熱誤差系數(shù)。

對(duì)于幾何誤差部分，一個(gè)重要的問(wèn)題是確定擬合多項(xiàng)式的階次。階次太低，擬合精度不高;階次太高，會(huì)帶來(lái)較大的計(jì)算負(fù)擔(dān)，不利于誤差的實(shí)時(shí)補(bǔ)償，同時(shí)也容易形成過(guò)擬合現(xiàn)象，影響模型的魯棒性。表1列出了不同階次的多項(xiàng)式對(duì)0min時(shí)的定位誤差的擬合精度對(duì)比，不難看出，多項(xiàng)式階次越高，擬合精度越好，但是由于四次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式的擬合精度已經(jīng)非常接近，為了簡(jiǎn)化誤差模型，這里選取n=3作為X軸定位誤差幾何部分的最終擬合階次。*SSE：誤差平方和;RMSE：均方根誤差

表1 定位誤差幾何部分多項(xiàng)式擬合精度對(duì)比

對(duì)于熱誤差部分，kT是唯一需要確定的模型參數(shù)，它決定了定位誤差曲線(xiàn)的整體變化趨勢(shì)。需要注意的是，這里將0min時(shí)測(cè)量得到的定位誤差曲線(xiàn)作為基準(zhǔn)曲線(xiàn)(kT=0)，其余時(shí)刻定位誤差曲線(xiàn)的熱誤差系數(shù)kT都是相對(duì)于基準(zhǔn)曲線(xiàn)而言的。通常來(lái)講，環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床的熱變形影響是統(tǒng)一的、均勻的，該部分試驗(yàn)主要研究的是不同機(jī)床構(gòu)件局部熱變形對(duì)熱誤差的影響，因此在計(jì)算各關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度變化時(shí)應(yīng)該以當(dāng)前環(huán)境溫度作為基準(zhǔn)，具體定義為：

表2列出了不同時(shí)刻定位誤差曲線(xiàn)的熱誤差系數(shù)和關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度變化情況。從圖2和表2不難看出：絲杠螺母與前、后端軸承的整體溫度變化趨勢(shì)基本相同，而且絲杠螺母與滾珠絲杠通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)副直接接觸，兩者之間的溫度變化情況存在較大的關(guān)聯(lián)性，為了簡(jiǎn)化模型，可以考慮只用ΔTnut來(lái)描述整個(gè)滾珠絲杠運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的溫度變化趨勢(shì)。

表2 定位誤差曲線(xiàn)熱誤差系數(shù)和各關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)溫度變化

圖4 熱誤差系數(shù)隨絲杠螺母溫度變化測(cè)量值及擬合曲線(xiàn)

式中：kT表示隨ΔTnut變化的X軸定位誤差曲線(xiàn)的熱誤差系數(shù);表示其初始值表示達(dá)到熱平衡狀態(tài)時(shí)的穩(wěn)定值;

表示影響X軸定位誤差的溫度常量，該常量通常與滾珠絲杠的材料特性、裝配結(jié)構(gòu)及散熱條件等有關(guān)。

利用最小二乘法可以確定式(5)中的各項(xiàng)模型參數(shù)。通過(guò)計(jì)算結(jié)果和圖4可知：當(dāng) ΔTnut=τ=4.6℃時(shí)，kT可增長(zhǎng)到熱變形穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的63%，隨著機(jī)床的不斷升溫，kT可最終達(dá)到0.0549。

2.2 環(huán)境溫度對(duì)定位誤差的影響

如上所述，機(jī)床內(nèi)部熱源引起的熱變形通常是局部的、時(shí)變的和非線(xiàn)性的，而環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床的熱變形影響則是整體的、相對(duì)穩(wěn)定的和線(xiàn)性的。為了研究不同的環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床定位誤差的影響，該部分試驗(yàn)仍以X軸為例進(jìn)行研究。

圖4顯示了不同時(shí)刻定位誤差曲線(xiàn)的熱誤差系數(shù)隨絲杠螺母溫度變化的曲線(xiàn)。從圖中可以看出：在機(jī)床升溫的初始階段，熱誤差系數(shù)kT增長(zhǎng)速度較快，隨著機(jī)床的不斷熱機(jī)運(yùn)動(dòng)，kT增長(zhǎng)速度逐漸放緩，并趨于穩(wěn)定，當(dāng)ΔTnut增長(zhǎng)到約12℃時(shí)，kT基本維持在0.05左右波動(dòng)，即達(dá)到熱變形平衡狀態(tài)。

基于以上分析，可以發(fā)現(xiàn)kT與ΔTnut的變化情況基本符合“先快后慢再穩(wěn)定”的自然指數(shù)模型增長(zhǎng)規(guī)律，因此可由式(5)來(lái)描述兩者間的數(shù)學(xué)關(guān)系：

首先在標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度中測(cè)量X軸的定位誤差，然后環(huán)境溫度每升高或降低2℃，用激光干涉儀進(jìn)行一次全行程范圍內(nèi)的定位誤差測(cè)量。在18℃ ～26℃的環(huán)境溫度變化范圍內(nèi)，共測(cè)得5條定位誤差曲線(xiàn)，如圖5所示。其中，環(huán)境溫度的變化量定義為：

圖5 不同環(huán)境溫度下的X軸定位誤差曲線(xiàn)

表3 定位誤差曲線(xiàn)熱誤差系數(shù)和環(huán)境溫度變化對(duì)應(yīng)關(guān)系

從圖5中可以得出以下結(jié)論：

(1)環(huán)境溫度的改變能引起機(jī)床定位誤差的顯著變化。如果需要控制或提高機(jī)床定位精度，就必須嚴(yán)格控制環(huán)境溫度(如：放置在恒溫室內(nèi))或者對(duì)由環(huán)境溫度變化引起的熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)和補(bǔ)償。在實(shí)際加工環(huán)境中，控制環(huán)境溫度通常會(huì)帶來(lái)較大的開(kāi)銷(xiāo)，因此對(duì)這部分誤差進(jìn)行補(bǔ)償具有重要意義。

(2)當(dāng)環(huán)境溫度變化時(shí)，沿X軸線(xiàn)各點(diǎn)的定位誤差變化趨勢(shì)基本一致，只是變化量大小有所不同。

(3)所有不同環(huán)境溫度條件下的定位誤差曲線(xiàn)同樣構(gòu)成“扇形圖譜”，而且環(huán)境溫度的變化量和定位誤差曲線(xiàn)的熱誤差系數(shù)kT基本呈線(xiàn)性關(guān)系。這是因?yàn)榄h(huán)境溫度對(duì)于整個(gè)機(jī)床而言是均勻溫度場(chǎng)，對(duì)每個(gè)機(jī)床構(gòu)件的影響基本相同，所以環(huán)境溫度導(dǎo)致的熱膨脹變形可近似看作線(xiàn)性變化過(guò)程。

表3列出了定位誤差曲線(xiàn)熱誤差系數(shù)和環(huán)境溫度變化測(cè)量值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)最小二乘法可以確定二者之間如式(7)所示的數(shù)學(xué)擬合模型，擬合曲線(xiàn)如圖6所示。

圖6 熱誤差系數(shù)隨環(huán)境溫度變化測(cè)量值及擬合曲線(xiàn)

式中：kT表示隨ΔTamb變化的X軸定位誤差的熱誤差系數(shù);kamb表示擬合模型的一次項(xiàng)系數(shù);pamb表示擬合模型的常數(shù)項(xiàng)。

2.3 基于自然指數(shù)模型的定位誤差建模

通過(guò)上述不同溫度條件下的定位誤差測(cè)量試驗(yàn)，掌握了機(jī)床定位誤差的變化規(guī)律和影響因素，將式(1)～式(7)進(jìn)行綜合，可以得出X軸定位誤差的數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)測(cè)量得到的定位誤差數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)，采用最小二乘法對(duì)上式的所有參數(shù)進(jìn)行求解，可以得到該機(jī)床X軸定位誤差的具體模型。

3 誤差模型對(duì)比及實(shí)時(shí)補(bǔ)償試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的基于自然指數(shù)模型的機(jī)床定位誤差建模方法的有效性，下面將和傳統(tǒng)的多元回歸分析方法進(jìn)行模型預(yù)測(cè)精度的對(duì)比，并在如圖7所示的機(jī)床上進(jìn)行實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償試驗(yàn)。

圖7 激光干涉儀測(cè)量X軸定位誤差

在多元回歸分析模型中，也將X軸的定位誤差分為兩個(gè)部分：幾何誤差EG和熱誤差ET。對(duì)于EG，采用X軸坐標(biāo)位置的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合;對(duì)于ET，則采用多元線(xiàn)性回歸的方法進(jìn)行建模。選取環(huán)境溫度變化量ΔTamb、絲杠螺母溫度變化量ΔTnut及前端軸承溫度變化量ΔTb1作為影響熱誤差的主要溫度變量，可以建立如式(9)所示的定位誤差模型：

仍然采用以上測(cè)量試驗(yàn)的數(shù)據(jù)確定式(9)中的各項(xiàng)系數(shù)。為了驗(yàn)證兩種誤差模型在任何溫度條件下的預(yù)測(cè)精度，試驗(yàn)選擇環(huán)境溫度為23℃，并且經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的熱機(jī)運(yùn)動(dòng)，X軸絲杠螺母溫度升溫約5℃，在此溫度條件下測(cè)量得到如圖8所示的定位誤差曲線(xiàn)，并和兩種模型的誤差預(yù)測(cè)曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比?？梢钥闯觯夯谧匀恢笖?shù)模型的機(jī)床定位誤差模型比多元線(xiàn)性回歸模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。表4所示為兩種模型的預(yù)測(cè)殘差數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，從中也可看出基于自然指數(shù)的定位誤差模型預(yù)測(cè)精度更高。

圖8 誤差測(cè)量值及兩種誤差模型預(yù)測(cè)值對(duì)比曲線(xiàn)

表4 誤差模型預(yù)測(cè)殘差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)比/μm

圖9 補(bǔ)償前后X軸定位誤差曲線(xiàn)對(duì)比

本試驗(yàn)用自行研發(fā)的機(jī)床誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)通過(guò)數(shù)控系統(tǒng)提供的外部機(jī)械原點(diǎn)偏移功能［4］對(duì)定位誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，補(bǔ)償前后的定位誤差曲線(xiàn)如圖9所示。值得注意的是，補(bǔ)償后的X軸定位誤差值和圖8及表4中的自然指數(shù)模型預(yù)測(cè)值殘差略有不同，這是因?yàn)檠a(bǔ)償精度不僅取決于誤差模型的預(yù)測(cè)精度，還和機(jī)床的伺服系統(tǒng)控制參數(shù)、運(yùn)動(dòng)部件的慣性、部件間的摩擦系數(shù)等因素密切相關(guān)。盡管如此，通過(guò)誤差補(bǔ)償也可將X軸定位精度提高約91%，補(bǔ)償前定位誤差絕對(duì)值的最大值為29.9μm，補(bǔ)償后最大值僅為2.5μm。因此誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償試驗(yàn)證明：該誤差模型及其補(bǔ)償方案具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)機(jī)床定位誤差進(jìn)行測(cè)量、建模和補(bǔ)償研究，可以得到如下結(jié)論：

(1)機(jī)床定位誤差不僅受到機(jī)床零部件加工精度、裝配精度等因素的影響，而且受到機(jī)床溫度場(chǎng)變化的影響。

(2)基于自然指數(shù)模型的機(jī)床定位誤差建模方法可以描述熱誤差和溫度場(chǎng)之間的非線(xiàn)性變化規(guī)律，在從機(jī)床冷態(tài)開(kāi)始到熱平衡的整個(gè)過(guò)程中均具有較高的預(yù)測(cè)精度。該模型可以根據(jù)不同的環(huán)境溫度和絲杠螺母溫度對(duì)定位誤差做出預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償能夠大幅提高機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度。

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